kudryavtsev1 (947411), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Если же функция 1 непрерывна в каждой точке х Г Е, то для любого в> О существует лишь 6 =- 6(в; х), такое, что прн р(х, х') < 6, х' Е, х'~,' Е выполняется неравенство ) /(х) — 1(х')~ < е. В этом случае выбор 6 зависит не только от е, но, вообще говоря, н от точки х. Подчеркнем, что в и>учае, когда функция ! равномерно непрерывна на множестве Е, выбор соответствующего 6 зависит только от е и не зависит от выбора рассматриваемых точек множества Е. Рассмотрим примеры.
1. Функция 1(х) = — х равномерно непрерывна на всей числовой осн, ибо, если задано е' О, достаточно взять 6 =- в, тогда если ~х' — х" ~ < 6, то в силу равенств 1(х') = = х', 1(х") = х" получим ! 1(х') — 1(х") ! < е,. 1 2, Функция !(х)=- яп —, хФО, не будет равномерно непрерывной на своей области определения, т. е. на числовой оси, из которой удалена точка х = — О. В самом деле, если взять, например, е = 1, то при >набом сколь угодно малом 6 ) О найдутся точки х' и х", например, точки вида 1 х'= — + 2лп 2 !9.5, Ровномерноя непрерывность функций (п — достаточно большое натуральное число), такие, что ) х' — х ) < 6, а вместе с тем ! 1(х') — Дх") ! ) 1.
В качестве достаточного признака равномерной непрерывности функций одного переменного на интервале отметим следующий. Лсмл(а. Если функция ((х) о((ределена и имеет ограниченную производную на некотором ин(первале (а, Ь), то онп равномерно ненрерывнп нп этом интервале. Действительно, если )г(х)(<с (с — постоянная) на (а, Ь), то с помощью формулы конечных приращений Лагранжа (см. п. 11.2) получим ()(х") — 1(х') ~ = (~'($)(х" — х') ( < с(х" — х'(, п(х'<Ь, а<х" (Ь, а($<. Ь.
(19.12) Поэтому для е ) О достаточно взять 6 = —, тогда если ~х" — х'! < 6, а< х'< Ь, а< х" < Ь, то в силу (!9.12) ~ 1(х ) — Кх')!<е, что и означает равномерную непрерывность функции 1 на (а, Ь). Лемма доказана, Аналогичный результат имеет место для любого промежутка, конечного или бесконечного. Обобщение этого критерия на мно- гомерный случай будет дано в и. 39.2. Принципиальное значение имеет следующая теорема.
Теорема 5. (Кантор). Функция, непрерывная на ограниченном замкнутом лиожестве, равномерно непрерывна. С л е д с т в и е, Функция, непрерывная на отрезке, является равномерно непрерывной. Доказательство проведем от противного. Пусть существует функция Е определенная и непрерывная на некотором ограниченном замкнутом множестве Е, но неравномерно непрерывная на нем. Тогда существует такое е, )О, что для любого 6) 0 найдутся точки ха ~с Е и х6( Е (индекс «6» у точек означает, что этп точки зави- сят от выбора 6), для которых р(х6, х6) < 6 и вместе с тем (г(ха) — ((х6) ~ е„. Возьмем какую-либо последовательность чисел 6„ ! (п! (ак, чтобыИгп6„=0,например,бн=„-, а=1, 2..... Пусть х' =х6, н ю хан = х6, и, значит, "(е! (и! п Р (хд, х ) « —, ~) (хм ) — ! (х' ) ~)~ее.
(19.13) Р(п! Множество Е ограничено, а х ~Е, п=-1, 2, „поэтому ,оп последовательность (х„' ) также ограничена и из нее по теореме Больцано — Вейерштрасса (см. п. 18.1) можно выделить сходя- щук!ся подпоследовательпость (х' ~; пусть !пп х' ь- ° ь 8 Пх Предел и непрернннагть 4инпиий многих перемепннх 878 Точка $ является точкой прикосновения замкнутого множества Е, и потому $ ~ Е. ° '-"и'1 Рассмотрим теперь подпоследовательность (х" ) последова(л)! ) ,(пн)1 тельностн (хп 1, соответствующую подпоследовательностн (х' (л) ) Докажем, (то 1!пт х" ' =.5.
Действительно, р (х" В <р(хп "', х' "1+р (х'"", 5) ( 1 ! р(х""н~ 5) и так как р(х' . $! — пО и — -нО прн й-)-со, ,(пл) 1 л„ то и Р(х" н, $)- 0 пРн А- со, п(лл) а это и означает, что (лн' Х" " -нгп при )г-пос, ,(п,)) В силу непрерывности функции ! в точке 5~ Е, 1(х' г ! — 1(5) (и(,)) и 1(х" " ) -~-)'($) при й- со, и, значит, 1(Х" ") — 1(ХЛ ~)- О При /г- со. (19.14) ,(п)( ( „(п)( Но по конструкции последовательностей (х' ) н (х" (гм. 19.13) ~1(х" н ) — 1(х ' и ) ~~~ел (19.15) для всех й=1, 2.....
Очевидно, условия (!9.14) и (19.15) противоречат друг другу. Зто и доказывает теорему 5. Отметим, что при отказе от условий ограниченности и замкнутости множества теорема перестает бить верной. Например, 1 функция у =- — опрсделена и непрерывна на интервале (О; 1), кох торый хотя и является ограниченным множеством, но не является замкнутым; зта функция неравномерно непрерывна на интервале (О; 1).
Функция у = х' определена и непрерывна на всей вещественной оси, которая хотя н является замкнутым множеством, но не является ограниченным. Зта функция также неравномерно не- ур Б ровноллврнов нворарнвность фанввнс вту прерывпа на вещее!венной оси. Доказательство неравномерной не! прерывности фун!спий у = — „и у = хт на указанных множествах будет дано в этом пункте несколько дальше. Часто оказывается более удобным несколько другой подход к понятию равномерной непрерывности, а имтпю с помощью так называемого модуля непрерывности функции Определение 10. Пусть функции 1 определена на лсножестве Ес:.Е".
Ее модулем нвирерьснноси!и еа(6: й Е) называется функция са(6; ); Е) =- зпр (7'(х") — 1(х')), к' ~ Е, х" ~ Е. (19,16) ры.*') <б Часто для краткости вместо ы(б; 1; Е) таиеспся просто са(61 1) или даже со(6). Нетрудно убедиться, что -р а(') — И И= -у (~И.") — И'И),. ~Е ."ЕЕ, р1»Ь с") < б р(»Ь»') <б т.
е. в правой части равенства (19.16) под знаком верхней грани можно писать или не писать знак абсолютной величины, от чего величина указанной верхней грани не меняется. Очевидно также, что со(б) )~0. Далее, если 0(6,(б,, то (у: у=1(х») — 1(х'). р(х', х ) < 6,) с= с:(у!у=!(х) — с(х), р(х х) <6), откуда ьпр (1(х") — 1(х')) < зпр ()(х") — 1(х')), р!»ь»о< б, р !»' .") < б, т. е. са(6,) < ол(бт), иначе говоря, модуль непрерывности является монотонно возрастакицеа функцией. ол(61 й О) задача !2. !!усть ьл — область и ев.
»токааать. что сли !1т б =о, б-о то ! — постоянная фуиккин П р и не р ы. 1. Найдем са(6) для функпии у = х', — оо <" х(+ оо. Для любого 6)0 и любого фиксированного х имеем са(61 х')= епр (х" — х' ! )~хт — (х — б)'=йхб — бт. (19.17) 1"" — '1 -6 НЬ Предел и непрерывность фрнкциа лнагих перехынных Это неравенство верно при л~обом х,, и так как при любом фиксированном 6 1цп (2х„б — бх) = -1- со, х-х+о то нз (19.17) получаем сс(6; х") = + сс. — ос ~хс" + ис. Найдем теперь модуль непрерывности для функции у = х' на отрезке !О; 1!.
Пусть О < х" — 6 < х' < х" < 1, тогда, в силу неравенства х" — х" < х' — (х" — 6) =2х'6 — 6'< 26 — 6~, получим ы(6; х') = зпр (х — х'") < 26 — Ь', (19.18) 1х" — х'1 < 6 с другой стороны, беря х'=1 — 6, хе=1, будем иметь ги(6; хг) = зцр !х" — х'~) ~~ 1х" — х'1< 6 ) 1 — (1 — 6)'=26 — бг.
(!9.19) Из оценок (19.18) и (!9.19) следует, что на отрезке !О; 1! гс (6; х') = 26 — бг. х Записав зто выражение в ниде Рис. 72 ы (6; хх) = 1' — (1 — 6)г, О < х < 1, видим, что ы(6; х')совпадает с приращением функции на участке длины 6, на котором она растет наиболее быстро (рис. 72). 1 2, Рассмотрим функцию у=яп —, х+О. С одной стороны, сс(6; яп — ) = енр ~~з!и — — яп — ~~ < < знр ~~з!п — ~+~з!и — ~~ ( знр (2)=-2.
1 1 С другой стороны, беря х„= —, х„=-, вы 2 — +2лн л+ 2лп 2 6 . 6 бнрая и фиксируя и так, что !х„~ < —,, !х ~ < — и, значит, О б. Роннолернал непрерывность 4снхчкй )х„— х„) < )х„)+ )х,) < 6, будем иметь 1 1 . 1 . 1 ы (6;з(п — ) > з(гг —. — >Ип —, =1+1=2. «н х„ Полученные оценки да!от о>(6; з)п — )=2. ! 3. Рассмотрим функцию у=- — на интервале (О; 1).
х При лгобом г),иксироваггноьг 6, 0<.бч. 1, имеем о>~6; — )= зпр ( — — — )= знр ~ — — — ) )~ ! 1 ! 1 ! 1 1 *! б » — — — == — — -«оо при хо — «+О. «ь ха+ б х, (хо+ б) Таким образом, В терминах модуля непрерывности равномерная непрерывность может быть выра>кена следующим образом. Теорема 6. Дллтоео чтобы фрнкгги>г), определенналнамножестве Е, было равномерно неггрерывна на етом множесгпве, необходимо и достаточно, чтобы И т о> (6; 1; Е) = О. (19.20) б +о Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция г равномерно непрерывна на множестве Е, т. е.
выполнены условия (19.10) — (19.11); тогда для любого в»0 сушествуст 6 = бф» О, такое, что если х' ~ Е, х" 'с Е, р(х', х") ( бь, то )1(х") — 1(х')) ч" —, Отсгода следует, что для любого 6 (6 выполняется неравенство зпр ()1'(х") — )(х'))) «(:(е, о гхч к"] ч б 2 т. е. если О< 6<. 6в, то о>(6)< е, что и означает, что Ит о> (6) = О. Необходимость условия (19.20) доказана, б <ьо л! Здесь хо таково, что О ( хо < 1 — б. Е /К Предел и кепрерь«аноета «/«унк«)ис многих переменим» Докажем достаточность условия (19.20).
Выполнение условия (19.20) означает, что для любого в ) 0 существует такое 6 > О, что если 0 < 6 < б„то в(6; /; Е) < в, поэтому (см. (!9.16)) при р(х', х")<ба, х' Е- Е, х" ~ Е, и подавно (/ (х") — /(х') (<е, т. е. функпия / равномерно непрерывна на Е Теорема доказана. Мы видели выше, что на отрезке!О, И «о(6; ха) = 26 — 6»„поэтому 1)щв(6; х)=О 6 +о и, следовательно, функция х' равномерно непрерыьна на этом отрезке, как и должно быть согласно теорел)е 5. Модуль непрерывности той же функции х", но уже рассматриваемой на всей веществен)) ной оси, так же как и модули непрерывности в~б; з(п „вЂ” /), х ~ О, и в«6; — /1, 0 < х < 1, не стремятся к нулю при 6-ь + О, н потому )( ( 'х/' все эти функции не являются равномерно непрерывными на соответствующих множествах. Введем теперь еще некоторые понятия, полезные для дальнейшего.
Определение 11. Пусть Е ~ Е'. Величина с( = зцр р(х', хл) к'ее. «" е и назыеаетсл диаметром мноехестеа Е и сбсзначаеп)ся д(Е). У и Р а ж н с н и и. 5. Г!Усть Оь — и-исРный ваР с нснтуои в некоторой точас х)с) и радиусои г: О" = 0(х)~), г), тогда «)(Яп) =- йо 6. Докааат«ь что ино«ксстао Е ~ Еп ограннчс;в тогда н только тогда, когда г)(Е)( + о«.. Определение 12. //успгь функция / определена на мнсжесп)ее Е, тогда величина в(д(Е); /: Е) называсрлся колебанием фаянса(ии / на мнсжесгпее Е и обоаначаетсл в(/; Е) или прас)по в(/). Очевидно, что в силу (19.1б) в /; Е)= анр (/(х') — /(х')). »еь, "ее Заключительное замечание.
Из сказанного в этом параграфе следует, в частноств, что в ряде вопросов, относящихся 283 геев Частные производном и час»ные диф4еренциави к функциям многих переменных, всю их специфику можно в достаточной мере усмотреть уже в двумерном пли трехмерном случае. Благодаря удачно выбранным определениям и обозначениям доказательства теорем автоматнчески переносятся со случш1 и =- 2 на произвольный и-мерный случай, иногда лишь приво)н1 к йекоторому техническому усложнению записи. Случай же и =- 2 имеет преимущество геометрической наглядности и более простой записи, когда в ней участвуют координаты точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
