kudryavtsev1 (947411), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Однако наряду с указанным обобщением бывает полезно и другое обобщение этою понятия, а именно — понятие так называемой прямоугольной окрестности. Определение 5. Пусть х=(хт)~Е", 62.>0, 2=1, 2,..., и. Множество Р(х; 6„..., б„)= =(У=(уд:хт — бг(ут(х; +Ь„т'=-1, 2,, и) (18 т) назтлвается тьл1ернмл- параллелепит1едолт, а точка х — его т(ентпролп э тв Мтгожегтоа на нлогкогти и о оаоотванотое Если 6, = 6, = ...
= Ьо = 6, то Р(х; 6, 6,..., 6) назьшаетсл п-мерным кубом с центром в точке х и обозначается Р(х; 6). Если п = 1, множество Р(х; 6) является интервалом с пентром в точке х длины 26; если и = 2, множество Р(х; 6„6,) является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат, и длины соответственно 26, и 26,; при и = 3 множество Р(х; 6„6тн 6,) представляет собой прямоугольный параллелепипед с ребрами, параллельными осям координат, соответственно длины 26,, 26, и 26о. Под и-мерным параллелепипедом, соответственно и-мерным кубом понимается также множество, определенное вышеуказанными условиямн хотя бы в одной системе координат (а не обязательно в данной, как это было сделано выше). В дальнейшем и-мерный параллелепипед и и-мерный куб понимаются лишь в узком смысле, т.
е. в смысле данного выше определения при фиксированной системе координат. Определение 6. Всякий и-мерный иараллелептгтид Р(х; 6,..., 6„) называется прялгоугольной окрестностпью точки х. Лемма 2. Какова бы ни была е-окрестность 0(х; а) точки х ~ Е". сущеапвует ее прямоугольна окрестность Р(х; 6,,..., 6„), такая, чтпо Р(х; 6„,. „6„)с:0(х; з), (18. 8) и наоборопк какова бы ни была прямоугольная окрестность Р (х; 6,,..., 6„) точки х ~ Е", существует ее е-окрестпность 0(х; а), такая, что 0(х; е) с: Р (х; 6„... „6„).
(18. 9) Доказательство. Пусть задана окрестность 0(х;е). Заметим, что если у=(у.,)Е Р(х; 6) (рис. 65), то, согласно (18.7), о р (х, у) = ~гг ~ч~ (х,. — у )т ~ )ггба+... +6о ( 6 )l и г=- ! Поэтому, если выбрать 6( —.', то у~О(х; а) (см. рис. 65). 1 о Так как у — произвольная точка и-мериого куба Р(х; 6), то это и сапачает, что Р (х; 6) ~ О (х; в). Таким образом, (18.8) доказано. Обратно, пусть задана прямоугольная окрестность Р(х бм, 6 ) И!. Окрестность и пределы последовотельпостей точек Положим е=гп(пбт и рассмотрим О(х; е) (рис. 66).
Если !=!,г,..., п р =(у() ~ 0 (х; е), т. е. р(х, у) (е, то ~ уь — х„) <1Г ~чт',(ут — хт)е=-р(х, у)п, а=пйп6, -,: 6„ т= зля любого /с=1, 2,..., п, т. е., согласно определению (18.7), у~Р(х; 6„...,6„). Так как у — произвольная точка шара 0(х; е), о зто и означает, что 0(х; е) ~Р(х; би..., бп). Лемма 2 доказана. Рис. бб Рис.
бб Определение 7. Пусть каждому натуральному числу т постав- гени в соотпветствие некоторая троса х("'( ~ Е" (необязатпельно раз- чые точки для разных т). Тогда множестпво (хо'(, тп = 1, 2,...), со- гтояцее из точек пространства Е с различными номерами, назы- тается последовательностью точек Е" и обозначается хо"~, т=-1, 2,..., или (х( ~). Последовательность (у(л>) называется подпоследователь- гюстью последовательности (х(по) и обозначается х( ь), Ус=1, 2,..., или (х('"ь)), (й] (м ) если для любого 7г существует такое тд, что у =х( ь), грачем если )г,п" 7ге, то ть,(тл,. Определение 8.
Точка х ~ Е" называется пределом последо- тательности (х("'() и пшиется х =-1(п(х(л'>, (18. 16) Е 18. ЛЛножестеа на плотности а е пространстве если 1>ш р(лиа>, х) = О. (!8.11) Если х = !пп х"">, то будем есл>ори>пь, ипо последоватлельнсхтпь х>"'> сход>ипся к точке х. Иоследоаательность, которая сходи>пся к некоторой пвчке, называе>пся сходни!вися. Используя понятие окрестности, легко получаем, что х= 1пп х>"'> тогда и только тогда, когда для любого е > О сущее! ствует такоет„что для всех т> т х'"'~0(х; е). (18.
12) Используя лемму 2, получаем также: х = Втп х'"'> в том и только том случае, когда для любой прямоугольной окрестности Р(х", б„...,б„) существует номер т, (зависящий от этой окрестности), такой, что для всех т>т, хьн>~~Р(х; б„..., б„). (18.13) В случае и = 1 определение 8 превращается в обычное определение предела числовой последовательности.
При и = 2 сходимость последовательности (х>ж>) точек плоскости Ее к точке хс~ Е' означает, что, каков бы ни был круг с центром в точке х, начиная с некоторого номера, зависящего от этого круга, все члены данной последовательности лежат в этом круге (рис. 67). г н х"' В случае и = 3 сходимость последовательности точек (х'">) простран, > 1 что, каков бы ни был обычный / трехмерный шар с центром в точке х, начиная с некоторого номера, зависящего от этого шара, все члены рна 67 данной последовательности лежат в этом шаре. Как и в случае числовых последовательностей можно сказать, что !!ш х!'"> = х, х>ж>~- Е', т = 1, 2,..., если всякая е-окрестность жточки х содержит почти все точки данной последовательности, т. е. все, за исключением, быть может, их конечного числа.
Понятие предела последовательности (х> ') точек пространства Ен может быть сведено к понятию предела числовых последовательностей, а именно последовательностей координат точек хп>,т= 1,2, .... )8 д Окрестности и пределы последовательностей точек 2ББ Теорема 1. Для того члшбы последовательность х(ео = = '!х()ч', ..., х( )) ~ Е', п = 1, 2, ..., сходилась к аючке х=(хх, ..., х„)~Е", необходима и достаточно, чтобы !нп х( =х(, (=1, 2, „и. (еа (1оо, 14) Док азательство.
Докажем необходимость условия (18.14). Г!усть Иш х(м) =х. Зафиксируем произвольное в)0; тогда, согм-ь О ласно (18.13), существует такое т, что х('") ~Р(х; е) при всех т. т„т. е. ~ х(("') — х, ~(е для любого (=1, 2, ..., и и при т)~т, а зто и означает, что Ип) х') '= — х(, 1=1, 2,..., и.
~а- ° ю Докажем доста(очность условия (18.14). 11усть 1ппх,' '=ха п| 1= 1, 2, ..., и, и Р (х; е„...„е„) — заданная прямоугольная окрестность точки х. Тогда для каждого е()0, (=-1, 2, ..., п, существует такой номер т;= и((е;), что для всех т .и и( выполняется неравенство х(() х~(е 1 1 2 и (18.15) Обозначим через то наибольший из номеров и„..., и„: т, =-.
п)ах (и„..., т„), тогда при т>то и всех (=1, 2, ..., и будет выполнено условие (!8.15) и, следовательно (см. (18.7)), при т)~т будем иметь х(м)(ср(х в е ) что н означает, согласно (18.13), что Иш х("') = х. (18.16) ш Теорема доказана. Из теоремы 1 и свойств пределов числовых последовательностей следует, что если последовательность точек имеет предел, то он единствен, и что всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и вся последовательность.
У и р а ж н е н и е 1. Сформулировать и доканать необходимое и достаточное условие сходимостн последовательности точек пространства Е", аналогичное критерию Коши длх числовых иоследовательиостей. В !В Льнохсество во плоскости и в оросгроосгов Определение 9. Иножеспио Е~ Е' называется ограниченным, если существует п-лсерный куб Р(О; а) с с(ентром в начале коордсснат О, такой, что Ес:.Р(О; а). Аналогично лемме 2 доказывается, что, каков бы ни был шар 0(х; е), существует куб Р(х; 6), такой, что Р(х; 6)л 0(х; е), и обратно: каков бы ни был куб Р(х; 6), существует шар 0(х; е), такой, что 0(х; е)~Р(х; 6).
Отсюда следует, что можно дать еще одно эквивалентное предыдущему определение ограниченного множества. Определение 9'. Множесспво Ес:.Е" называется ограниченным, если сущеспюует и-мерный шар 0(О; ь), ттсой, чспо Ес:0(О; е). Определение 1О. Последовательность точек х'"4 ~ Е". т = 1, 2,..., низы ется ограниченной, если множество ее значений образует ограниченное множестю в пространспве Е". Если последовательность х' > = (х';"'), т = 1, 2,..., сходится, то она ограничена, ибо каждая из координатных последовательностей х,'"', т = 1, 2, ..., 1 — фиксировано(1 =-1, 2, ..., и), в этом случае также сходится и, значит, ограничена. Теорема 2. Из любой ограниченной последовательности точек пространства Е" можно выделить сходяищюся подпоследовательность.
Эта теорема, как и в одномерном случае, обычно называется, теоремой Вольс(ано — Вейериипрасса. Доказательство, Пусть задана ограниченная последовательность точек х<"и = ( х,""'), т = 1, 2, ..., пространства. Очевидно, что каждая из и последовательностей (х; ''), ( = 1, 2, ..., и, также ограничена. Поэтому, согласно теореме Больцапо — Вейерштрасса (см. и.
3.2), последовательность (х)"о) содержит сходящуюся подпоследовательнссть; пусть это будет последовательность х~, л', А,= 1, 2, .... Последовательность (х~~ ~ ~), как подпоследонательность последовательности (хв ), также ограничена и, значит, содержит сходящуюся подпоследовательность. Пусть это будет последовательность х( л 1, вв = 1, 2, ....
Последовательность ( х('","*1), как подпоследовательность сходящейся последовательности (х('",л )), очевидно, также будет сходящейся. Продолжая этот процесс дальше, через и шагов получим и сходящихся последовательностей (х', лв'), 1= 1, 2, ..., и, каждая из которых является подпоследовательпостью, соответственно последовательности (х,'"о). Тогда, согласно теореме 1, последовательность точек ( х("'".1) пространства Е" будет также сходящейся. 257 Гад Различные тины мнажест 18.2. Различные типы множеств Настоящий пункт по своему содержанию н по своей форме лтличается от остальных: в пем имеется 17 определений, иного утлерждений, семь из которых названылеммамн, и ни одной теоремы. Это связано с тем, что здесь будут расслютрены вопросы, вспомо;ательные для дальнейшего изложения математического анализа, =вязанные с геометрией и -ллерного пространства.
Определение 11. Пусть Š— некоторое множесл~во точек евклидова пространства Е". Точка хс Е нам~ваетсн внутренней точкой етого множества, если существует е-окрестносгль воюй точки, содержащаяся в множестве Е, т. е. существует такое е > О, что 0(х; е)~Е. Определение 12, Множество точек пространства Е", каждая точка кото. л рого является внутренней точкой етого множества, нажнается открытым мно- Г жест вам. Важный класс открытых множеств ) устанавливается следующей леммой. Лемма 1. Всякая е-окрестность / 0(х; е) любой точки х~ Е" является огпкрытым множеством. Доказ ател ьство.
Пусть задана некоторая окрестность О(х; е) и пусть у ~ 0(х; е). Положим б=е — р(у, х) (18.17) и покажем, что 0(у; 6)~0(х; е) (рис. 68). Если г ~ 0(у; 6» и, значит, р(г, у) ( 6, то, применяя неравенство треугольника и (18.17), получим р(г, х) (р(г, у)+р(у, х)(6+р(у, х)=е, т. е. г~ 0(х; е). В силу того, что г — произвольная точка множества 0(у; 6), зто означает, что О(у; 6)с:0(х; е).
,Лемма доказана. Открытые множества пространства Е" будем обозначать большей частью буквой О. Очень удобным оказывается следующее определение. Определение 13. Всякое открытое множество, содержащее пючку х называется ее окрестностью и обозначается 0(х). 3 а и е ч а н и е. При таком определении сохраняется свойство (18.12), т. е. точка х является пределом последовательности (хью) у 1В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
