kudryavtsev1 (947411), страница 43
Текст из файла (страница 43)
ср (р, ю, подставляя ее в (17.23), получим х = р (ср) соз кр, у = р (~р) з(п эр, (17. 26) г. е, получим параметрическое представление некоторой кривой Г. 3 этом смысле можно говорить, что уравнение (1?.25) задает в полярных координатах кривую Г. Для вычисления кривизны, ра1нуса кривизны и эволюты кривой Г, заданной уравнением (17.25), ~ада перейти к ее параметрическому представлению (17.26) и вос1ользоваться выведенными выше формулами. й 17. Краанзна кривой 246 У п р з ж н е н и я.
2. Пусть в полярных координатах задана кривая р = ррр), пусть а — угол наклона ее касательная к оси Ох, вы — угол, образованный агой касательной с иродолжениец радиуса вектора точки касании, тогда а = ы + ~р и 12 ю = Р . р 3. Найти эволюту кривой р = а(1+ сох гр), 0«р < 2п, называемой кардиоидой. У к а з а н н е. Полезновоспользоваться результатами упражнений 1 и 2. Задача 9. Пусть à — дважды дийхйеренцируемая кривая без особых точек, Г = (г(0; а < С < Ь) н пусть )з е [а, Ь[, )з+ Ьтг ~ [а, Ь[, Ер+ Ь(з ~ [а, д[.
Проведем через точки г()е), г(те+ Ьй) н г((з+ Ь)з) плоскость; тогда при Ьй - 0 н Ь)х - О эта плоскость будет стремиться (определите это понятие) к соприкасающейся плоскости в точке «(1з). Задача 1О. В предположении предыдущей задачи проведен через те же трн точки г(1з)„г(1, + Ь(г) н «()з+ Ь)з) окружность; тогда, если кривизна 4 +0 в точке г(1,), то зта окружность прй Ь)г — О и Ь)з - 0 будет стремнться к окружности (определите это понятие), лежащей в соприкасающейся плоскости с центром в центре кривизны кривой и радиусом, равным радиусу кривизны в точке «(1з). Эта предечьная окружность называетсн солрикасаюя)ейся окружностью в данной точке кривой.
ГЛАВА ВТОРАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 5!3. МНОЖЕСТВА НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Прежде чем перейти к изучению функций многих переменных, изучим некоторые свойства множеств, на которых эти функции задаются. 18.1. Окрестности и пределы последовательностей точек Мы будем предполагать, что на рассматриваемой нами плоскости или в пространстве всегда фиксирована некоторая прямоугольная система декартовых координат. Точки будем большей частью обозначать буквами х, у, г,...*>, а их координаты в теми же буквами о индексами, т.
е. в случае плоскости х = (х„ хв), у =(у„ ув), а в случае пространства х= (х„ хв, хв), у=(ум ув, ув). Расстояние между точками х и у будем обозначать силшолом р(х, у). Как известно, формула для расстояния между точками х и у в случае плоскости имеет вид р (х, у) =- у (х! — у!)т+ (х„— у,)', а е случае пространства Р(х, У) =- У (х, — Р,) + (хв — У ) +(ха †) . В дальнейшем придется иметь дело не только с функциями двух и трех переменных, но и с функциями большего числа переменных, поэтому полезно ввести понятие л-мерного пространства. Определение 1.
Точкой х и-мерного пространства называется упорядоченная совокупность л вещественных чисел (х„..., х„) х ° ! Иногда точно обовнвчв!отса н большими бунввмн 1Н, й', Р н т. о. В >8 Множесгао но ало»ног»о и а орое>роне»ее 24В илп, короче, х=(х). Число л;(с'=1, 2,..., п) называется >-координатой точки х. Расс>полнив между двумя точками х=(х,) и у=(у>) определим по формуле р (х, у) = )/(х> — у,)'+... + (х„— у„)". (18.
1) и / а / н я~~ а>!>> < фl ~с>,'. ~/с я~„бг. >=! >=! >=! (18.2) Следствие. н / и / а '~/ ~(а„+ б„)' < валс '!» аг+ 1,с ~я~р баг. (18, 3) >=! >=! »»=1 »! Г. Щеарц (1843 — 1921) — немецкый математик. Определение 2. Совокупность ппнек п-л>ерного пространства, для которьсх определено расстояние согласно срорл>рле (!8.!), называется и-л>ерныл! евклидовым пространством и обозначается Е" или Е",.
В случае и = 1 получается прямая, в случае п = 2 — плоскость, а в случае и = 3 — пространство с обычным расстоянием между точками. В случае произвольного и) 3 не следует искать в нашем определении какого-то скрытого физического илн геометрического смысла. Пашей целью является лишь построение некоторого математического аппарата, удобного для изучения функций многих переменных; определения и терминологию мы заимствуем из обычной геометрии, так как это позволяет включить прямую, плоскость и трехмерное пространство в одну более общую схему.
Расстояние между точками в и-мерном евклидовом пространстве Е" обладает следующими свойствами. 1. р(х, у) ) О, причем р(х, у)= О в том и только том слрчае, если х=у. 2. р(х, у)= р(у, х) для любых двух гпочек х и у из Е". 3. р(х, г)<р (х, у)+р(у, г) для любых трех точек х, у и г из Е'". Свойства 1 и 2 сразу следуют из формулы (18. 1); третье же, обычно называемое енеравенсспвом трергольника» и хорошо известное для обычного трехмерного пространства, в общем случае (п)3) требует доказательства. Докажем предварительно лемму. Лемма 1. (Коши — Шварц" )). Для любых сеп(ественных чисел аа и Ью и= 1, 2,..., п, вь>полняются неравенства тд.т'. Окрестности и т!недели! нос,тедсеотельностед тонек 249 Д о к а за тел ь ст во. Рассмотрим квадратичную функци!о (многочлен второй степени) п и и и г" (1)= ,'~~(ат(+Ь!)Р=(е ~ аз!+21 ~~.",а,Ь,+ ~~'.,Ь~!. (18.4) т=! т=! т=! т=! Очевидно, Ь'(Ф) > О (18.5) Из условия (18.5) следует, что ыногочлен (18.4) имеет либо слившиеся вещественные корни, либо комплексные корни, и, значит, его дискриминант не положителен: Перенося второе слагаемое в правую часть и извлекая квадратный корень, получим (18.2).
Лемма доказана. Для доказательства неравенства (18.3) оценим сумму и '~(а!+ Ь!)з, применяя неравенство (18.2)! т=! ~~ (ас+Ь,.)'= ~ай+ ~ч'„Ьсг+2 'яа!Ь, < т=! т=! т ! т=! Извлекая из обеих частей квадратный корень, получим (18.3). Следствие леммы доказано. Вернемся теперь к свойству 3 расстояния между точками в пространстве Е". Пусть х=(х!), у=(у!) и г=(г!). Г1оложим а,. =х! — у„Ь,. =- у! — гь и, значит, ат + Ь, = х,. — гт, ! == 1, 2,..., и. Тогда неравенство (18.3) перепишется следующим образом: с и и / и , — - '= 1l ' — '-' 1, ч~р (х! — г!)' < 1,тт ~ (х! — у,)'+ 1,,' ~ (у! — г,)', 5 тв. гяножество но плоскости и в простронстве нлн, согласно (18.1), р(х, г) (р(х, у)+р(у, г), т. е.
рассматриваемое свойство расстояния доказано. В дальнейшем в этом параграфе пространство Еп будем считать фиксированным (т. е. считать фиксированным число и). Определение 3. Множесгггво точек х = (х„..., х„) п-мерного и евклидова пространства Е, таких, что х,=х,=...=х; ! =хг+! —— ...—— = х„= О, называется гчй координатной осью ((= 1, 2, ..., и) это«о пространства. Точка О =(О, О,..., О) называется началом координат. Очевидно, в случае и = 2 н и = 3 наше определение дает обычные координатные оси. 3 а и е ч а н и е.
Пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат, точка М в одной системе координат имеет координаты (х, у), а в другой (в, тг), т. е. М = (х, у) = ($, тг). Ставя в соответствие упорядоченной паре чисел (х, у) упорядоченную пару Я, т)), получим взаимно однозначное соответствие между множеством всех упорядоченных пар (х, у) и множеством всех упорядоченных пар(в,г)). При этом если М' = (х',у')= ($', тг'), М"= (х'", у")= =(с", тг"), то ,(М, М.) = у(х.— ') +Ое — у ) = )~К вЂ” Г) +(О" — ч ). Этот пример делает естественным следующее определение.
Пусть каждой точке х=(х„..., х„) ': Е" подставлен в соответствие упорядоченный комплекс нз п вещественных чисел й(х) =($„...,в„) таким образом, что для любых двух точек х' =(х,,..., х„) и х" =(хг,..., х„) и соответствующих нм комплексов $(х')=(вг,..., в,',) н 5(хл)=(в"„..., в„) выполняется равенство Совокупность чисел ($„..., в„) также называется координатами точки х («в другой системе координата). Очевидно, что при любом выборе координат расстояние между точками не меняется. В дальнейшем, если не оговорено что-либо другое, система координат считается фиксированной.
Если точка х задается координатами (хт,..., х„), то иногда для ясности пространство Е, "будем обозначать Е",, Определение 4. Пусть х~ Е" и е> О. Совокупноспгь всех точек у пространства Е", таких, что р(х, у) < е называетсл гг-лгер ныл! !парол! с центром в точке х ридиуси е или е-окрестносгпою Ит. Окоестносттт и поеделм посеедоеательностео точек (а иногда сферической окрестностью) точки х в пространстве Е" и обозна итеттюя 0(х; е), птатааи образолт, 0(х; е)=(у:У~Ее, р (х, у)к, е). (18.6) В координатной записи это определение выглядит так: и ои;О=(2=нет т(тт — Е<е). =ни.>о. ! В случае прямой, т. е.
при и=-1 (рис. 63), х=х„ у = у„поэтому 0(х; в)=(у: ~у — х((е). Рис. 6З Таким образом 0(х; е) является интервалом длины 2е с центром в точке х, т. е. окрестностью точки х в рассматриваемом выше смысле (см. п. 3.1). В случае плоскости, т. е. при и = 2 (рис. 64), х = (х„х), У (Ут У2) и 0(х; а)=-(у=(ут, Уе):(у,— хт)2 — (у — хт)2(ее), е)О, т. е.
0(х; е) — круг радиуса е с центром в точке х = (х„ х2), а в случае пространства, т. е. при и = 3, окрестность точки х = (х„ х2. хь) 0(х; е)=-(у=(у„у„уе):(у,— х,)2 + -1- (у,— хьр+ (уь — х,)2 <"' е'), е ) О, является шаром радиуса в с центром в точке (х„хт, хе). Рис, 64 Мы обобщплн, таким образом, понятие окрестности на случай и-мерного евклидова пространства Е".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
