kudryavtsev1 (947411), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

975 полагая а(0) ==О, получаем !'нп — = О, а (ЛО ат о поэтому производная г,= йп1 — существует и г,=-ге1, Лг лт о Отсюда, как и в случае скалярных функций, получается инвариант- ность записи дифференциала вектор-функции: как дла зависимой переменной 1, так и для независимой переменной т имеем е(г г с(т. с(г = г, е(1, е1 ПО аваЛОГИИ СО СЛуааая СнаЛНрНЫХ фтахкай ННШЕтеа а= О(Р) Пра 1 1а, если а(0 =а[Оп(О, гас 1но а(1) =О. е-ем Ж2. Проивводная и дифференциал вектор-функции Приведем формулы дифференцирования вектор-функций (аргумент для простоты обозначений опустим): 1 ° (гз+ гв) =- г! + гя- 2.

()г)'=1" г+)г'. 3. (г,го) =-г~ г,+г, гз. 4. (г, .г,) =г хг,+г,хгз. Здесь все рассматриваемые функции определены в некоторой окрестности точки 1о и предполагается, что все производные в точке Ьл стоЯЩие в пРавой части Равенства, сУЩеств)чот; тогДа УтвеРжДается, что в точке 1, существуют н производные, стоящие в левых частях равенства, причем имеют место написанные равенства. Все эти формулы доказываются аналогично формулам дифференцирования скалярных функций (см.

п. 9.5). Докажем, например, формулу 4. Используя свойства 1 — 5 предепов вектор-функпнй, получим гт (~о+ М х гв(Оо+ М гг (Го) х гг(~о) (гг(г) У гв(г)!г-г,= Взн ы о ьг гз (го+ во) гг (Со) (1 й()+ (1), го(1о+ ЛФ) — гв( о)1 Ь1 =г1 (Ьо) ~гв(го)+ го((о) ~с гз(го). Если вектор-функция г(!) = (х(1), у(1), г(1)) определена в некоторой окрестности точки го н имеет и производных в этой точке, то для нее имеет место формула Тейлора Эта формула непосредственно следует из разложения по формуле Тейлора координатных функций х(!), у(1) и г(!).

Мы килим, что многие факты теории скалярных функций буквально переносятся на вектор-функции. Однако было бы ошибкой думать, что это всегда так: например, в определенном смысле аналог формулы конечных приращений не имеет места для вектор- функций. у и р в ж н е н и е. доквзвть, *по если г(С) — дифферениируеивя ив отрезке 1а, Ь) функния, то, вообще говоря, не существует точки й~(и, Ь), такой, что Г (Ь) — Г (а) = г' (Ч) (Ь вЂ” а) 216 гв.

Длинь дули кривой $16. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ 16.1. Понятие кривой Определение 1. ггусть в пространстве фикснровпна прялгсуепльнпя систелггг копрдинит. Мнггвгсесггггиг точек (х, у, г), координаты которых ггрсдсгггавлгны как неггрерывные на нелпгггором нтггезке (гг, Ь) функции ггерелгеннпгп г х=- х(г), у== у(г), г=- г(г), г ~(а, Ь), нпзываетсл пнрпметрически аодпннпй кривой Г, или простой кривой Г.

Короче это выражают, говоря, что кривая — это непрерывный образ отрезка. Само указанное множество точек называется носи. вгелслг данной крггвнй. Переменное г называется ппрпметрплг ггривпй, а функции х(г), у(г), г(г) — кпординптныи нредсгпавлениелг кривой, при этом пишется Г==(х=х(г), у= у(г), г=г(1), а (г < Ь). Задание трех функций х(г), у(г), г(г) эквггггалентгго заданию одной вектор-функции «(г) = (х(г), у(г), г(г)), а:=г:,.Ь. Поыесгим начало всех векторов « = г(г) в начало координат (векторы, начало которых нахолигся в начале координат, называются радиус-вектпрпми). Кривая Г называется в этом случае годсерафпм вектор-функции г (г), а сама нектор-функция г'(г) — векторньгм предстпвлснием, или вектор-нредспгавление, кривой Г и пишемся Г =- («(г); а ~ г < Ь), или просто Г = («(г)).

Конец радиус-вектора «(г) будем обозначать «(г). Вегг гор функция «(г) и отображение «(г), а < г ~(Ь, называются соогветствующими друг лругу. Отображение «(г), а ( г ( Ь, называется лрепспгавленпем кривой. Таким образом, имеется три вида представлений кривой: координатное, векторное и просто представление. Если М = «(гв), то точка М и соответствующее ей значение параьгегра гв называется точкой кривой, а сама точка М вЂ” носителем зтзй точки крггвой.

Олна и тажеточка пространсгва, принадлежащая носителю кривой Г, может являться носгпелем одной или больше точек кривой Г; послелнее будет иметь место в том случае, когда существует несколько значений параметра г, при которых вектор-функция «(г) принимает одно и то же значение. Такие точки называются точкпмп самппересеченпл кривой Г, илн кратными ее точками. Определение 2. Кривая без кратных гинчвк низыыгетсн прнопой дугой. 16.!. Понятие кривой йг? Будем говорить, что точка Л1 = «(1) кривой Г стремится к точке Л(а =- г(?в) этан кривой, если 1 ю,, Приведенное определение кривой имеет в своей основе физическое представление о траекторпн (пути) движущейся в пространстве материальной частицы. Если рассматриваемая кривая Г лежит в некоторой плоскости, то эта кривая называеп:я плоской.

Если указанная плоскость вы. брава за координатнуюо плоскость хОу, то представление кривой имеет вид х=-х(1), у=у(1), г=-О, причем уравнение г = О, если это не может привести к недоразумениям, обычно пе пщнется. График непрерывной иа некотором отрезке (а, Ь) функции у = 1(х) является кривой в нашем смысле с представлением х==-х, у=?(х), п(х <Ь (в этом случае параметр ю = х).

Порядок чнсе.ю (по величине) на о~резке (а, Ь) с помощью пред. ставленич г'(1) кривой Г=:(г(ю); а:,,1-:. Ь), естественно, порождает соответствующий порядок точек на кривой. ОпРеделение 3. Тсчкп «(1') юг Г стиппепюсЯ пРедшестврюЩей тоюке г(1") ю-Г, ?юли, юапс то лсе, пючкп г(1") счшппеюююся следующей за юююочкой г(1'), если а н 1' < 1" ( Ь; посчлому кривую Г нпзывшогп юююпююжюю ориенпшроипнний кривой, юп. е. кривой, на конторой укажи порядок следования пючек.

Точка г(п) называетгл началом, а точка г (Ь) — концом кривой. Определение 4. Если «Гп) = г(1>), пюп кршюпя Г нюктомпется замкнутой, и ти кпнпюу?том. Зплюкнутая кривая, нпчила и конец которой являются ее единствен. нылш кратными юююою«плюют, назывпется простым каннюуром. Запача В (теорема ?иордана). Локазаттч что всякий простой контур на плоскости разбивает плоскость падве области (ограниченную и иеограниченнуюо); зто означает, во-псрвых, что он является границей каждой из зтпх областей, во-вторых, что никакие две точки, припадле>кащие различным указанаым областям, нельзя соединить кривой, не пересекающей данный контур. Рассмотрим ориентированную кривую Г = (« = «(1); а<1<Ь) Пусть задана некоторая функция 1 =-1(т), ач:.т<)), строго монотонно возрастающая и непрерывная на отроке (а, р); причем 1(а) =- а, 1(()) = Ь, тогда вектоР.

фУнкциЯ Р(т) =- ю'(1(т)), а < с.:ь б, сч>ггается по определению также представлением ориентированной кривой Г. Отметим, что обратный переход от предщавления р(т) к и едставленню «(1) осуществляется также с помощь'о строго 218 б 16. Йлилп дуги кривой монотонно возрастжощей и непрерывной на отрезке (а, Ь) функции т = т(~), являющейся обратной к функции г = 1(т) (см. п.

Б.З). Функция 1 = !(т), а-'т-, р, называется преобразованием парал|етра. В зависимости от рассматриваемых вопросов на нее накладываются различные дополнительные условия, причем всегда таким образом, чтобы они выполнялись и для обратной функции. Например, условие дифферснцируемостн н необращения в ноль производной, непрерывной днфференцнруемости и необращення в ноль производной, дважды непрерывной дифференцируемости и необращения в ноль первой производной и т. п.

Такие преобразования параметра называются долустгииыми преобрпзовпниялги. Например„чтобы из непрерывной дифференцируемости представления с(1) кривой Г следовала непрерывная дифференцируемость другого ее представления р(т), и обратно, естественно потребовать, чтобы преобразование параметра ~ = 1(т) было непрерывно лифференцируемо и чтобы его производная не обращалась в ноль. Пусть теперь задан некоторый класс допустимых преобразований параметра. Две вектор-функции, получающиеся одна из другой с помощью допустимого преобразования параметра, называются эквивалентными. Очевидно, в силу нашего соглашения эквивалентные вектор-функции являются представлениями одной и той же кривой (при заданном классе допустимых преобразований параметра).

Таким образом, окончательно приходим к следующему определению. Определение 1'. Кривая — впю еео.иетрическое место точек. аросгпрпнсглвп плюс соотвегпсгнвцюийий класс еео эквивалентных ггреастпвленийв'. Любое из представлений кривой полностью определяет весь класс эквивалентных ее представлений (всегда предполагается, что условия при которых вектор-функции считаются эквивалентными, заданы), а значит, саму кривую Г, поэтому по-прежнему будем писать Г = (г((); а<~<Ь), или Г = (с(О), где к(Π— какое-либо из векторных представлений кривой Г, Будем также иногда писать Г =- г(г(~); а..1<Ь), или Г = (г(г)), где гЯ вЂ” некоторое представление кривой Г, т.

е. непрерывное отображение отрезка (а, Ь) в пространство Если р(с); а <т <;() и г(~), а:, ~ <Ь,— два представления кривой Г, 1 = 1(т), а < т .-;. р, — допустимое преобразование параметра, переводящее второе представление в первое, то р(т,) и ») Вдумчивый читатель заметит, что в нашем определении кривой само мне»кество точек кривой (»геометрическое место точек») играет подчиненную роль и его без ушерба можно отбросить, определив кривую просто как класс состветствуюнгих эквивалентных векторчруикиий.

Гиы этого не сделали дли большей геометрической наглидности. !6. К Понятие «риной г(го), естественно, считаются одной и той же точкой кривой Г том да и только тогда, когда т, = т(!«). Если на представление кривой и на допустимые преобразо. ванна параметра накладывать те или иные ограничения, то будем получать различные классы кривых. Определение 5. Крттвая Г =- (к(!)) называется (непрерывно) дифференцируемой, если ее веюпорное представление г(!) — (непрерьи» но) дифференцируемая функция, а допустимыми преобразованиями параметра явттяюттгся (непрерывно) дифференцируемые преобразования с не обраи(шотцейся в ноль производной.

Аналогично определяются и раз (непрерывно) дифференцируемые кривые при и ) 1. Указанный подход к гонятию кривой естествен с точки зре. ния физической интерпретации кривой как траектории материаль. ной точки: положение движущейся материальной точки на ее траектории «южно задавать, пользуясь различными параметрами, например, временем днижения, длиной пройденного пути и т. и. П р и и е р. В силу нашего определения кривые х=-соз(, у=з!п(, 0 <! <2п, и к=сов(, у=ып1, 0 <! <4п, являются различными, хотя носители их совпадают: они представ ляют собой одну и ту же окружность х' + у' = 1. В первом случае эта окружность «проходится» один раз, во втором — дважды.

Характеристики

Список файлов книги