kudryavtsev1 (947411), страница 35
Текст из файла (страница 35)
39). Упражнения. 5. Доказатгьчтоточнах= О для функции у = х ап не принадлежит ни- 1 х нанни интервалам выпуклости вверх илн вниз и не является нх концами. 6. Доназать, что у = хь строго выпукла вниз на всей числовой оси. Теорема 6 (необходимое условие точки перегиба). Рис.
39 /7 усть функцдя / определена и дважды непрерывно дифференцируема на интервале (а, Ь), тогда если лючка х, ~ (а, Ь) является точкой перегиба функции /, то /" (х,) = О. Дейсгвительно, если бы /"(х,) < 0 (соответственно /"(х ) > 0), то в силу непрерывности второй производной нашлась бы окрестность точки х„в которой /"(х) < 0 (соответственно /"(х) > О), н, значит, согласно теореме 5, функции / была бы строго выпукла вверх (вниз) на этой окрестности, что противоречило тому, что хь является точкой перегиба. 3 а м е ч а н и е. Подобно тому как все точки экстремума функции находятся среди точек, в которых либо производная функции равна нулю, либо не существует, так и все точки перегиба функции (дважды непрерывно дифференцируемой, кроме, быть может, конечного числа точек) находятся среди точек, в которых вторая производная либо равна нулю, либо не существует.
Теорема 7 (достаточные условия точки перегиба). Если функция / определена и дважды дифференцируема на интервале (а, Ь), кроме, быль может, точки х, ~ (а, Ь), в которой она, сдчакс, непрерывна, и ее вторая производная меняегл знак при перехог) аргумента через точку х„(т. е. сугг(есгпиуегп б > О, таксе, чп)о либс !94 й 14. Исследование поведения функции (" . О при х, — 6 < х < х, и Р" (х) > О при х, < х < х, + 6, либо (" (х) > О ири х„— 6 < х < ха и г" (х) < О при хе < х < х, +6), то точка х„является точкой перегиба функции.
Действительно, в силу теоремы 5 в этом случае точка х является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и концом интервала строгой выпуклости вниз, а значит, по опредепению — точкой перегиба. Мы видели, что выпуклость вверх или вниз функции ( зависит от знака ее второй производной. Оказывается, что расположение графика дважды дифференцнруемой функции относительно касательной также в определенном смысле связано со знакол1 второй производной.
Теорема 8. Если функция ( имеет на ннтервале (а, Ь) вторую производную, все значения когпорой имеют один и тот же знак (следовательно, интервал (а, Ь) жляется интервалом е а х г ь г строгой выпуклости вверх или вниз), то, какова бы ни была точка хе ~ (а, Ь), все точки графика функции / на это.и интервале лежат одновременно либо нод, либо под касательной, проведенной к графику в точке (х„г (х,)), исключая, естественно, саму эту яичку, которая лежит на графике функции"' (рис.
40). Действительно, уравнение касательной в точке (х„1(хв)) имеет вид у = Р'(ха)( — х.)+йхв) Обозначим правую чань этого уравнения через Е(х). Тогда ] (х) — Е (х) = ]((х) — ]' (х,)] — (' (х,) (х — х„) = = (" (в) (х — х,) — ~' (х,)(х — х,) = (з" (К) — (' (х,)] (х — хе), где а<ха< Ь, а<к<" Ь, з точка й лежит между точками х и х,. Применяя еще раз теорему Лагранжа, но уже к приращению производной, получим ( (х) — Е (х) = ~" (т]) (й — х,) (х — хе), з) Если функция ( определена и имеет одностороннюю производную в конце интервала и или Ь, то указанное свойство, как зто видно из ннжеприводнмого доказательства, выполняется и для касательной в точке (и, ((а)) (соответственно в точке (Ь„((Ь))). М.з.
Выпуклость и точки пере«иьи .де точка Ч лежит между точками 5 и х,. Поскольку прн х + х„ ~сегда ($ — х,) (х — х,) ) О, то для х + х, /(х) — Е(х) ) О при /" > О за (а, Ь) и /(х) — Е(х) < О при /" ( О на (а, Ь). Теорема 9. Пусть / (хе) = О, /" /хе)+ О, тогда х, является почкой перегиба. Если при этом у = Е/х) является уравнением гаса«неявной к графику функиии /в точке (хе, /(хе)), то при перехо- У )е аргумента через точку х, раз«ость /(х) — Е(х) меняет знак. Доказательство. Покантем, что х, — действительно точка перегиба.
Из условия /"(ха) + О .-ееустт, что функция /" возрастает илп убывает в точке ха, и так как /"(х,) = О, то в некоторой 6-окрестности точка х„ функция /" имеет разные знаки по разные стороны от точки х,. Если, например, /" > О при рис. «Г х,— 6<х<х, и / <О при хе < х < х, + 6, то точка ха является одновременно левым концом интервала вверх и правым концом интервала строгой выпуклости вниз, а следовательно, и точкой перегиба. Далее, по формуле Тейлора имеем /(х) — Цх) —.— —,' (х — х,)'+ о ((х — х,)').
3 а д а ч а б. Пусть фунниня / непрерывна на интервале (и, Ь) и пуста для любых точек х~ н хз, и ( х, < хз ~ Ь /(хт)+ /(х ) г/хз+ хз) тогда интервал (и, Ь) является интервалом выпуклости вверх для функции /. 3 а д а ч а б. Юля того чтобы дифференцируемая функция /(х) была вы. пукла вверх или соответственно вниз на интервале (и, Ь), необходимо и до. статочно, чтобы ее производная монотонно возрастала, соответственно мо. потопив убывала на (и, Ь). Лли того чтобы дифференцируемая функция /(х', была с»рого выпукла вверх (вниз) достаточно, чтобы ее производная строг« возрастала (убывала] на (и, Ь).
Отсюда следует (см. замечание о бесконечно малых перед доказательством теоремы 4 этого параграфа), что знак разности /(х) — ь(х) меняется при изменении знака х — х,. Таким образом, график функции / в некоторой окрестности этой точки переходит с одной стороны касательной на другую (рис. 41), и «перегибается» через касательную. Отсюда и произошло название точка перегиба. И. Исследование поведения фггнхггигг 14.4.
Лсимптоты у=йх+1 (14.8) называется асилигтотой 4ункг(ии при х-э.+осг (соответственно при х-е — оо), Существование асимптоты у функции означает, что при стремлении аргумента функции х-е + оо (или х-» — оо) функция ведет себя, «почти как линейная функция», т. е. отличается от линейной функции на бесконечно малую. Найдем, например, асимптоту для функции хс — Зх — 2 У= ,+! Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, получим 2 у =- х — 4-1- —, х+1 ' Рис. «2 и так как = — о(1) при х-е+ оо, то прямая у =х — 4 являет- 2 х+! ся асимптотой данной функции как при х †«+ оо, так и при х -е — 00.
Рассмотрим геометрический смысл асимгтоты. Пусть М =-(х, /(х))— точка графика функции В гИ« — ее проекции на ось Ох, АВ— асимптота (14.8), Π— угол, образованный асимптотой с осью Ох, 0 /= —, МР— перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Π— точка пересечения прямой ММ, с асимптотой АВ (рнс. 42), Тогда ММ„= 1(х), г~М, = йх+ 1, МО =- М̄— ЯМ, = = 1(х) — (йх + I); МР =- МЯсозО. Таким образом, МР отличается от МЯ лишь на неравный нулю множитель соз0, позтому условия Мг'г- О и МР- О при х- + оо(соответственно при х- — оо) зквивалентны, т. е.
если 1пп МО =- О, то и 1пп МР =- О, н наоборот. Х + х е Отсюда следует, что асимптота может быть определена как такая прямая, расстояние до которой от графика функции, т. е. отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М =(х, 1(х)) «стремится по гра- Определение 7. Лусть срункг(ия !(х) определена для всех х > а (соответственно х ( а). Если су'глесогвуют такие числа й и 1, что (~х) — йх — 1 = о(1) при х-е+ оо(сооогветспгвенно при х-~ — оо), то прял;ая /4.4. Л слал хоти фику в бесконечность» (когда х-»+ оо или соответственно когда Х-» — оо). Укажем теперь регулярный способ отыскания асимптоты (14.8), т, е.
регулярный способ определения коэффициентов й и 1 в уравнении (14.8). Будем рассматривать для определенности лишь случай х- + оо (случай х-» — оо рассматривается аналогично). Пусть функция / имеет асимптоту (14.8) при х †» + оо, тогда по определению /(х) = их+1+ о(1). (14.9) Разделим равенство (14.9) на х и перейдем к пределу при х- + оо. Тогда Ищ /(") А. (14.10) + к Найдя я по этой формуле, для определения 1 из (14.9) получим формулу 1 Игп (/(х) — /гх). (14,11) к +о Таким образом, формулы (14.10) и (14.11) сводят задачу отыскания асимптот (14.8) к вычислению пределов определенного вида.
Более того, мы показали, что если су!цествует представление функции / в виде (14.9), то я и 1 находятся по формулам (14.10) и (14.11). Следовательно, если существует представление (14.9), то оно единственно. х~ — Зк — 2 Найдем по этому правилу асимптоту функции /(х)= найденную нами выше другим способом: /(х) .
х~ — Зх — 2 й= Иш — = Ип! = 1 х+! с к /к~ — Зх — 2 ! . — 4к — 2 1=!пп ~ к+1 / „„х+1 — х/! Иш = — 4, т. е. мы, как и следовало ожидать, получаем то же уравнение асимптоты у = х — 4. В виде (14.8) может быть записано уравнение всех прямых, кроме параллельных оси Оу.
Естественно распространить определение асимптоты н на прямые, параллельные оси Оу. Определение 8. Пусть функция /определена е некоторой окрестности точки х„(быть может, односторонней) и пусть !пп /(х) = оо, или !ип /(х) = оо, (14.12) к ке О к-к.+о 4 РЛ Исследование поведения дхднкяисс !эз или и !по и другое. Тогда прялтя х = хв (рис. 43) называется вертикальной асимппютой (в оп!линие от асилптоты вида (74.8), которая называется наклонной). В случае вертикальной асимптоты, как н в случае наклонной аспмптоты, расстояние МР = х — х, между точкой М и прямой х = х стремится к нулю, когда точка графика М = (х, 1(х)) стремится по графику в бесконечность, т.
е. когда х — я х, — О или соответственно х — х, + О. Для того чтобы найти вертим Р кальные аснмптоты для функции надо найти такие значения х, для которых выполняется одно нли оба условия (14.12). Например, функция с е хе — Зх — 2 Рис, 48 х+1 имеет вертикальную асимптоту х = — 1. Вообще если 7(х) = — — рациональная функция (Р(х) и (г,х) — многочлены), Р (х) !7 (х) (~ (хе) =-О, Р(хе) зь О, то прямая х=х, является асимптогой функции ((х).
14.5. Построение графиков функций Изучение заданной функции и построение ее графика с помощью развитого нами аппарата целесообразно проводить в следующем порядке. 1. Определить область существования функщли, область не. прерывности и точки разрьсва. 2. Найти асимптоты. 3. Приблизительно, вчерне, нарисовать график функции, 4. Вычислить первую, а если нужно, и вторую производную (без производных более высокого порядка часто удается обойтись). б. Найти точки, в которых первая н вторая производные либо не существуют, либо равны нулю (так называемые критические точки). 6. Составить таблицу изменений знака первых и вторых производных.
Определить участки возрастания, убывания, выпуклости вверх или вниз функции, найти точки экстремума (в том числе и концевые, если такие имеются) и точки перегиба. 7. Окончательно вычертить графин. 14д Пастраекие гуафыкав Фуккцыд При этом чем большую точность графика мы хотим получить, тем больше, вообще говоря, надо найти точек, лежащих на графике функции. Обычно бывает целесообразно найти (быть может, с определенной точностью) точки пересечения графика с осями координат, точки, соответствующие максимуму н минимуму функции; другие точки находятся по мере потребности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
