kudryavtsev1 (947411), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Предпошлем доказательству теоремы одно простое замечание Если р(х)=о(а(х)) при х-ах„, то существует такое 6 >О, что прн ~х — х, КЬ» х Ф х,» справедливо неравенство ~р(х) «< — ~а(х) (. (14. 2 8 ИЬ Исследование поведения функции 188 В самом деле, (14.3) Р (х) = е (х) сс (х), /1 Ъ где 1ппе(х)=0 и, следовательно, существует 6=6~ — ), такое, что прн ~ х — хв!(6, х+х, выполняется неравенство )е(х)! < —. 1 (14.4) Из (14.3) и (14.4) и следует (14.2).
До к аз а тел ь от в о. Из условий (14.1) формула Тейлора л-го порядка для функции 1 в окрестности точки х, имеет вид Л) )(х + Лх) — Цхв) = — ьке) Лх" +а(х), (14 3) где а(х) = о(Лх"), и, значит (см. п. 8.2), / (оа(ле) сс(х)=о Лхп). и! Поэтому, согласно сделанному замечанию, существует такое 6)0, что при ! Лх) с" 6, Лх+О, ~сс(х)!.с ~ 6 Лхп~ Отсюда следует, что при ~ Лх ~ н. 6, Лх+ О, знак правой части равенства (14.5). а значит, знак Л/ совпадает со знаком первого слагаемого правой части. Если п = 2й, й = 1, 2, ..., то Лх возводится в четную степень, поэтому знак Л/ не зависит от знака Лх, и, значит, точка х, является точкой строгого экстремума, причем точкой строгого максимума пРи ф»м(хв) ( 0 (в этом слУчае Я «.,0) и точкой стРогого минимУма при 1<'"1(х,)» 0 (в этом случае Лг ) 0).
Если же и = 2А + 1, А = О, 1, 2, ..., то Лх возводится в нечетную степень, поэтому знак Л( меняется вместе с изменением знака Лх, и, значит, точка х, не является точкой экстремума. Когда Лх меняег знак с « — » на «+», то при г»»+и (х,) » 0 приращение Л/ меняет знак с « †» на «+», и, значит, точка х, является точкой возрастания функции Л а при г»»+и(хв) ( 0 приращение Ы меняет знак с «+» на « †», и, значит, точка х, является точкой убывания функции 6 Теорема доказана. И.а Экстремумы грунк~1иа (вэ Из доказанной теоремы, в частности, прн и = 1 и и = 2 вытекают два следствия. 1. Если /'(ха) ) О, то х, является гпочкой возрастания функции; если /'(х„) ( О, то х, является точкой убьгва>сия функции.
2. Если /'(х„) = О, а /"(х,) ~ О, то при /"(х) ) О точка х„ является точкой строгого минимулга, а при /"(х ) ( Π— гпснкой строгого максимума функции /. Все полученные правила справедливы лишь в том случае, когда функция / определена в некоторой окрестности точки ха. Об экстремуме функции можно говорить не только в этом случае: пусть функция / определена на некотором числовом множестве Е; точку ха~ Е будем называть точкой максимума (минимума), если существует такое й) О, что если х ~Е и !х — х,! (6, то /(х) </(х,) (соответственно /(х) > /(х,)).
Подобным же образом в этом случае определяются н понятия строгого максимума н строгого минимума, следует лишь знаки нестрогих неравенств заменить знаками строгих неравенств и дополнительно потребовать, чтобы х+ х,. Например, если функция / определена на полуинтервале !а, Ь), то точка а в указанном смысле может являться экстремальной. Заметим, однако, что производная (правосторонняя) в этой точке, вообще говоря, не обязана обращаться в ноль. Так, функция у = х, рассматриваемая на отрезке !О, И, имеет строгий минимум при х =- О н строгий максимум при х = 1, однако в этих точках, как и всюду на отрезке (О, 1), у' = 1.
Выяснение обстоятельства, имеет или нет функция экстремум на концах промежутка, принадлежащего ее области определения (такой экстремум будем называть концевым), требует специального исследования. Упражнение 4. Пусть функция / определена на отрезке !и, Ь) и имеет производные в точках и и Ь; тогда если /+(п)~0 (/ (Ь) ~0). то точка х = и (соответственно х=- Ь) является точкой строгогоминимума; если /+ (а) (О (/ (Ь) > О), то точна х=-о (соответственно х=-Ь) является точкой строгого максимума.
Развитые нами методы позволяют общим приемом решать новый круг математических и физических задач, в которых требуется найти экстремальные значения какой-либо величины. Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции / на некотором отрезке !а, Ы. Для этого следует найти все точки, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует. Затем из этих точек надо с помощью тех или иных методов отобрать точки, в которых возможен максимум (можно заведомо отбросить точки, удовлетворяющие достаточным условиям для точек минимума). После этого достаточно лишь сравнить !90 4 ДН Исследование неведение фэню!ии между собой по величине значения функции в полученных точках и значения /(а) и /(Ь); наибольшее из этих значений и будет наибольшим значением функции на отрезке!а, Ь].
Эта задача заведомо может быть решена, если множество критических точек состоит из конечного числа точек. В случае, если функция определена на полуннтервале (конечном н.чи бесконечном), например на полуинтервале вида ]а, Ь), задача об определении наибольшего значения функции на этом полу- интервале требует дополнительных исследований; найдя множество указанных выше точек, надо изучить еще поведение функции при к -~- Ь вЂ” О. Аналогичным образом решаются и задачи на определение наименьших значений функций.
П р и м е р. Два тела двигаются с постоянными скоростями и, м/сек и пе м/сек по двум прямым, образующим прямой угол в направлении вершины этого угла, от которой в начале движення первое тело находилось на расстоянии а л!, а второе — на расстоянии Ь м. Через сколько секуцд после начала движения расстояние между телами будет наименьшим? Пусть р = р(/) — расстояние между точками через / сек, после начала движении, которое будем считать начавшимся при ! = О. Тогда ре (/) = (а — и! /)е+ (Ь вЂ” ие /)е. Функция р(/), очевидно, достигает минимума в той же точке, в которой достигает минимума функция у = ре(/). Физически ясно, что расстояние р(/) должно достигать минимума (тела начинают сближаться), а максимума заведомо нет, ибо р(/) -и +во при /-~.+оо.
В силу необходимого условия экстремума это может быть только в точке, в которой у' = О, и так как у' = — 2их(а — ие/) — 2ие (Ь вЂ” ое/), то из условия у' = О получаем единственное значение оид -)- Ьо се= ,2] 2 ! 2 которое и дает ответ на поставленный вопрос. 14.3. Выпуклость и точки перегиба Пусть функция / определена на интервале (а, Ь) и пусть а е" х,с х, ' Ь. Проведем прямую через точки А(х„ /(х,)) и В(х„ /(хе)) графика функции /.
Ее уравнение имеет вид х — х) /(х ) (х — л!) + /(х1) (хе — х) 1о.з. Випдуклосто и точки оеоегибо Обозначим правую часть этого уравнения через 1(х), тогда зно кратко запишется в виде у = 1(к) Очевидно, 1(хд) = 1(хд), 1(хд) = Яхд). Определение 3. Функция 1 называется выпуклой вверх (вьтуклой чшз) на интервале (а, Ь), если, каковы бы ни были точки к, и кть а < х, < кд < Ь, для любой точки хо интервала (х„хо) выполняется неравенство 1(ко) < д (хо)ь (14.6) (соолдветственно 1(ко) ~~ д (ко) ° (14.7 Геометрически это означает, что любая точка хорды ЛВ (т. е. отрезка прямой у =- 1(х) с концами в точках Л и В) лежит не выше (не ниже) точки графика функции П соответствующей тому же значению аргумента (рис.
36). ппуслоигь Мерт Эььруклпсоьь гче Рис 88 Определение 4. Если вмеппо (14.6) и (14.7) выполняются ппрогие неравенппва 1(ко) < 1(ко) и соответственно 1(хо) ) /(хо) при Мвбык Кеь Хд и Хд ПШКИХ ЧДПО а " Кд С ХО Е Хд К Ь| тПО фУНКЦил у называется строго выпуклой вверх (строго выпуклой вниз). В этом случае любая точка хорды ЛВ, исключая ее концы„ лежит ниже (выше) соответствующей точки графика функции. Определение 6.
Всякий интервал, на копюром функция (строго) выпукла вверк, соответственно вниз, называется интервалом (сгпрогой) выпуклости вверх, соотвппственно вниз, для этой функции. Если функция 1 (строго) выпукла вверх на интервале (а, Ь), то функция — 1 (строго) выпукла вниз на этом интервале; поэтому в дальнейшем при доказательствах мы большей частью будем ограничиваться лишь рассмотрением функций, (строго) выпуклых вверх. Определение 6. Пусть функцшд)определенавнекоторой окрестдд. найти точки к„и непрерывна в водой точке, Точка хо называетпся пюч- 14. Исследование неведение функции сой перегиба (Ьункции ), если она является одновременно концом инпервала строгой выпуклости вверх и концом интервала строгой вытуклости вниз. В вспом случае точка (х„)(хе)) называется точкой перегиба гра4ика функции.
Очевидно, что точка перегиба функции не принадлежит ника- сому интервалу строгой выпуклости вверх илн вниз. Теорема 5 (достаточное условие строгой выпуклости). Пусть функция 1 определена и дважды ди4хуеренцируема на интервале (а, Ь), Тогда, если )е < 0 на(а, Ь), то функция [ строго вьтукла цверх, и если [" ~ 0 на (а, Ь), то Функция Р строго выпукла вниз на етом интервале.
Доказательство. Пусть а(х,(х(х, "Ь. Тогда 1(х) — ['(х)— О(х.) — 1(х)[(х — х) — 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
