kudryavtsev1 (947411), страница 29
Текст из файла (страница 29)
е. использовав ннвариантность первого дифференциала). Сравнивая формулы (10.9) и (10. 12), мы видим, что они отличаются вторым членом, и так как, вообще говоря, 1Гу~ О, то они су)цественно различны. Лели оГ>е части равенства (10.12) на ((хз, мы получим формулу второй производной для сложной функции: Зхх = Еуу ух + Еу ухх, которая была нами получена раньше (см. (10.4)) другим путем. Подобным же образом могут Г>ьггь вычислены дифференш(алы и производные высшнх порядков сложной функции. аж некие 1.
Вычислить производные и дифференциалы. для функции у = ((х; ~/1 — х для функции у = —,= — ', ) 1+ х (ы+ ь для функции у =- — — ' = сх-1-й' для функции у = а)пз х; для функции у = х си х; для функции у= х" е",' 1п х для функции у = — „ х для функции х =- 21 — Н, у = 31 — 15; Упр (а) (50) (л) ,(и) (н) и" у йн ухх для ф)акции х =-п(1 — а)п О, у = — и(! — соз 0; у и у„для функции х=у — оыпу; у„и у,„для функции х'+2ху — у' =-1. 6 11. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ Функции 11.1. Теорема Ферма ") ((. Ферма (1661 — 1666) — французский математик.
Теорема 1 (Фермае)). Пусть функ((ия 1 определена на неноторол( интервале(а, Ь) и в точке $~(а, Ь) принил(ает наибольшее пли наииенынее значение на (а, Ь). Если произвсднал /'ф существует, то она равна нулю. До к а з а те л ь с т в о. Пусть для определенности функция 1 в точке 6 принимает наибольшее значение, т. е. 1(х) .< 1(6) для Иса Теарел~а Ферма всех х~(а, Ь). Тогда / (х) — /(ч) х — й ° если хе. 5, и — — (О, /(х) — / (ч) х — ч (11.2) если х) с. Если существует производная /'( ) = !нп товп е /(х) — /(ч) к-к" деле при х- "— 0 нз неравенсзва (11.1) получим, что /'(5) >О, а из неравенства (11.2) при х — «'-+О, чго /'($) < О, чтовозможно лишь в случае /'($)=0.
Теорема доказана. Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том, что, если в точке 5(-(а, Ь) функция / принимает наибольшее или наименьшее значения, то касательная в точке (5, Я)) к графику функции параллельна осн Ох (см. рнс. 30). Рис. И Рис. М 3 ам еч а н и е. Если функция / определена на отрезке [а, Ь), то в случае, когда она принимает наибольшее или наименьшее значения на одном из концов а или Ь и когда на этом конце существуег производная (естественно, односторонняя производная, так как только о ней и можно говорить в этом случае), то она, вообще говоря, не равна нулю.
Так, например, рассматривая функцию у = х на отрезке 10; П, видим, что эта функция в точке л =- 0 принимает наименьшее, а в точке х = 1 наибольшее значения, однако как в той, так и в другой точке производная равна единице (рис. 31). 1за ч !д теоремы, о греонел! ллн лог/и/леренцир1гелгмх г/лункцрл ! ! ! ! г 11.2. Теоремы Ролла, Лагранжа и Кон!и о средних значениях Теорема 2 (Ролльа!).
//уса!э функция /: 1) непрерывна на отрезке (а, И; 2) илгеет е каждой точке интереала (а, Ь) произаоднукг 3) /(а) = /(Ь), тогда сугцестеусгг! таков точки $, что /'(з) = О, а ( ь ( Ь. Д о к а з а т е л ь с т в о. Ь(ы уже знаем, что функции, непре- рывная па отрезке, принимает наибольшее и наименьшее значения в некоторых точках этого отрезка (см. п. 6.1). Пусть М = шах /(х), т = ппп /(х), тогда для всех хЕ !а, Ы выполняется неравенство т < /(х) < М. Если и! = М, то функция / постоянна и, значит, /' =— О на !а, Ы. В качестве точки б можно взять любую точку интервала (а.
Ь). Если же т+ М, то из условия /(а) = /(Ь) следует, что хоть одно из значений и! или М пе принимается на концах отрезка !а, Ы. Пусть этим значением является М, т. е. существует такая точка б;-(а, Ь), что Я) = М. В этом случае из теоремы Ферма следу- ет, что //Я) =- О.
Теорема доказана. Геометрически теорема Ролля означает, что у графика непре- рывной на отрез! е и дпфференцнруемой шгутри его функции, принимающей па концах этого отрез- У ка одинаковые значения, существуетточка, в которой касательная ! параллельна оси абсцисс (рис. 32). ! Заметим, что все предпосылки ! теоремы Ролл я существенны. ! ! Чтобы в этом убедиться, доста! ! точно привести примеры функций, для которых выполнялись бы два из трех условий теоремы, третье р .зу же ие выполнялось и у которых не существует точки $, такой, что /'(5) = О.
(При этом в силу условия 3, в котором говорится о зна- чениях функции в концевых точках промежутка, следует рассмат- ривать лишь функции, определенные на отрезках.) Функция /(х), определенная на отрезке Щ П и равная х, если О -«: х ( 1, и О, если х — — 1, удовлетворяет условиям 2 н 3, но не удовлетворяет условию 1 (рис. 33). Функция /(х) = — !х!, х-:-! — 1; 1! удовлетворяет условиям 1 и 3, но не удовлетворяет условию 2 (рис. 34). '! бн Ролль (1ббг — 1719) — французский математик. П.2. Теорел~аг Ролла, гуигриижи и Коши о среаяи» значения» Наконец, функция у = х, х~ (О; 11 удовлетворяет условиям 1 1 2, но пе удовлетворяет условию 3 (см. рис.
31), Для всех этих функций не существуег точки, в которой их про1зводная обращалась бы в ноль, Заметим, что построением соответствующих примеров (еслн, конечно, это удается сделать) и проверяют обычно в математике ущсственность тех нлн нных условий доказываемых теорем. Рис. 84 В дальнейшем мы нс будем проводить проверки необходимости условий теорем, предоставляя это делать учащемуся по мере внутренней потребности.
У и р а ж а е н и я. 1, доказать, что, если 4гункция ! удоалстворяег условиям теоремы Ролла на отрезке (а, Ь1 и не является постоянной, то иа этом отрезке существуют такие точки $~ и ьж по !'(е»ы) ) 0 и ! (ва) ч. О. 2. Привести пример функции непрерывной на отрезке (и, Ь1, имеющеь производную в каждой тачке интервала (о, Ь), но не имеющей производно( (односторонней) в точке и.
Теорема 3 (Лагранж ив). Пусть функция ! непрерывна на отрезке (а, И и алеет производную в каждой тюке интервала (а, Ь), тогда суа(ествуеп1 такал точка 5, апо !(Ь) — )(а) =!'5) (Ь вЂ” и), ас й( Ь. (11.3) Зта теорема является, очевидно, обобщением теоремы Ролла. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим вспомогательную функ цию Е(х)= !(х) — Хх, (11 »4) где чиш1о д выберем таким образом, чтобы г(а) = г(Ь), т.
е. чтобь !(а) — Ха = !(Ь) — ).Ь. Для этого достаточно взять 1(И вЂ” ! !и) )с =- —— Ь вЂ” о (11.5) л1 Ж. Лагранж (1736 — 1813) — Французский математик и механик. д ГЬ Теоремы и среднем дян дифференцирдемых фрннци~ )ао Для функции г(х) выполнены все условия теоремы Ролля: г(х) непрерывна на отрезке (л, Ь), дифференцнруема ца интервале (л, Ь) и принимает на концах одинаковые значения, поэтому существуеп такая точка к, что Р'Я) = О. У л к < Ь.
Из (11А) получасе Ю г'(х) == 1'(х) — )., поэтом) 1'(Е) — 1 = О. Подставляя сгод, ). пз (11.5), получим )'($) =. )†1( ) (1 1.6) Теорема доказана. Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем (рис. 35). Пуст г Рис. Яд А = (л, 1(л)), В = (Ь, 1(Ь))— точки графика функции й АВ— хорда, соединяюрцая точки А и В. Тогда отношение и — и равно тангенсу угла наклона () хорды АВ к оси Ох, т. е.
а производная 1'($), как известно (см. п. 9.3), равна тангенсу угла наклона а касательной к графику функции / в точке (к, Я)), т. е. ) ' (В) =- 1д а, и равенство (11.6) может быть переписано в виде Таким образом, теорема Лагранжа показывает, что в условиях теоремы должна найтись точка в (может быть, и не одна — см. рис. 35, точки $' и в"), в которой касательная к графику параллельна хорде АВ. Теорема Лагранжа найдет ряд важных приложений в даль. нейшем.
Приведем другие формы записи формулы (11.3). Пусть л< к<Ь и — =О. Тогда В=о+6(Ь- ), О<6<1. (11.7) Обратно, сслн с выражается по формуле (11.7), то, как легкс гидеть, л < з < Ь. Таким образом, в инде (11.7) могут оыть пред. 1К2. Теоремы Рояля, Лагранжа и Коши о средних значениях ставлены все точки интервала (а, Ь) и только эти точки.
Поэтому формула (11.3) может быть записана в виде !(!г) — т" (а)= — Г!а+0(Ь вЂ” а)! Ь вЂ” а), О(01«. 1. (11.8) Положим теперь а = х, Ь вЂ” а = Лх и, значит, Ь = х+ Лх, тогда (11.8) перепи1пется в ниде Т(х+ Лх) — 1(х) = ~' (х+ 0 Л х Лх, 0 0 (!. (1!.9) Формула (11.9), а также, конечно, равнозначные ей формулы (11.3) и (11.8), называется формулой конечных приращений Лагранжа, или просто фрормулой конечнсчх приращений в отличие от прнблн. жепного равенства 1 (х+ Лх) — т (х) = т' (х) Лх, (! 1.10, которое иногда называют формулой бесконечно малых приращений. Эта формула выражает собой тот факт, что левая и правая части равенства (11.10) равны между собой для дифференцнруемой в точке х функции 1 «с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем прира1цение Лх».
3 а м е ч а н и е. Отметим, что формула Лагранжа (11.3) может быть переписана в виде 1(а) — 1(Ь) = Т' (5) (а — Ь), где а( ь. Отс1ода следует, что формула(1!.3) справедлива пе только в случае а Ь, но и в случае а ,> Ь. Отметим две леммы, легко доказываемые с помощью теоремы Лагранжа и полезные для дальнейшего. Лемма 1.
Пусспь функг(ия 1: 1) определена на некотором промежугпке (конечном или бесконечном); 2) имеет производную, равную нулю во всех его внутренних точках; 8) непрерывна в каждол1 из концов рассматриваемого промежутка, если он ему принадлежит, тогда функ«(ггя 1 постоянна ни указаннолг промеж!!яке. Действительно, каковы бы ни были две точки х, и х„х, х„ рассматриваемого промежутка, функция 8 очевидно, удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке (хп х»), н, значит, 1 (х») — Т (х„) == т' (5) (х« — хс), где х,«5 х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
