kudryavtsev1 (947411), страница 28
Текст из файла (страница 28)
е. в виде суммы с теми же коэффициентами, что и у бинома Ньютона, только вместо степеней у, и у берутся их производные соответствующего порядка (см. (10.2)). Формулы (1О.1) н (10.2) доказываются по индукции. При п=1, т. е. для производных первого порядка, они были доказаны в и. 9.5. Пусть теперь эти формулы справедливы для производных и-го порядка.
Докажем их справедливость для производных порядка и+1. *1 Г. Лейбниц (1646 — 1716) — немецкий философ и математик. й >а Прпггзаилниге и оггг)»ререн<(ггалы яысишх порядков В случае суммы функций имеем (71+Я =!(У>+Уа) ! =(У! +У2 ) =(У!"')'-1-(УГ')'= !"'0+ 7(п ьп Формула (1О.1) доказана. В случае произведения функций выкладки несколько сложнее: (71)2) ((7172) ! л г Сну! 72 п=о с «< < +! — ю <ю, < — ю и+<и г =-о гг (и+! — «) (!), '~~ е «(и — ») («+!) =- л.. Сну!' уз т~з с у! уз «=о «=о и п — ! ( +<> <о), т> «(п+! — «) <«>, ьз,.» <и «! И+)), <о;,< +П »=! «=О Теперь объединим первые слагаемые полученных сумм, вторые и т.
д. Тогда (), 7)(п+>> 1(+г>7<Ю ! ~~ (СР ! СР— !)7< +! — юу<ю ~ )г(о>7< +<> и=! С>тс)ода, замечая, что Сил-СР =-.СР« ! *>, получим Р— ! Р и (у у )(и( г> оси(>)гР) ! ~~ СР (и+! Ю у<Р) и=! и-.;- ! <о> <и+!) ~~ СР <и+! — ю,(Р) Р=О Формула (10.2) доказана. Сл едс та а е. Если с — постоянная, ау = Цх) — функ<(ия, имею<доя производную и-ео порядка в точке хо, то и функция с)(х) пгакже изиеет производную порядка и в пгочке хо, причел! (су)" -- 1(и .
(10.З) Действительно, если в формуле (10.2) положить у, =- с, у, = у, мы и получим формулу (10.3). Впрочем, зта формула следует также ) В самом деле, зафиксируем один из и + ! элементов, из которых составляются сочетания по р элементов. Тогда число сочетаний, в которое вошел этот фиксированный элемент, равно С'„' ', а число сочетаний, в которые он не вошел, равно С'„', поэтому С'„'+! = Сг '+ С(,'. 10.4 Производные выеивгх порядков от слогеных функций очевидным образом и из и-кратного применения формулы (9.19) к функннн су Рассмотрим пример. Пусть у=х'з|пх.
Найдем с помощью формулы Лейбница производную уыв'. Имеем (х' ы и х) <' "! =- хв з! и (х+ 1Π— 1+ 10 3 т' ей и | х+ 9. — 1 + +10.9 Зхз|п(х+8 — '-)+!О 9 8 з!п(х+ 7 —,) = = — х' э|п х+ ЗОх' соз х+ 270 х э| и х — 720 соз х. 10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных параметрически Пуыпь функция у = у(х) имеет вторую производную в еппчке хь, а функция г — -- г(у) имеет вторую производную в точке ух=-у(хь).
Тогда в некоторой окрестности точки х„имеет смысв сложная функция г!у(х)! и она также имеет в елочке х„вторую произеюдную, причем гхх = гуу ух + гу ухх. (10.4) действительно, по"кольку существуют производные ух(хь) н г"(у ), то существуют производные у'(х,! и г'(у„).
Следовательно, функции у(х) и г(у) непрерывны соответственно в точках х, и у . Поэтому в некоторой окрестности точки х, имеет смысл сложная функпия г=г(у(х)1. Дифференцируя ее и опуская для простоты обозначение лргумснз а, имеем гх гу) х| дифференцируя еще раз по х, получим г„, =- (г ), у, + гу ухх = г„у + г„у„,.
Формула (10.4) доказана. Аналогичным образом при соответствующих предполонеениях вычисляются и производные высших порядков сложной функции. Эуот метод позволяет также доказывать существование н находить производные высших порядков от обратной функции. Пусть функция у = у(х) определена, непрерывна и строго монопгонна в некоторой окрестности пинки х„(ср. и. у.б) и пусепь в точке х„суи|ествуют производные у' и у", причем у'(хь)+ О, епогда и обратная функция х =- х(у) имеет вторую произеюдную в точке у, = у(х,), причем она может бып1ь выражена через егртвводные у' и у" функции у(х) в точке хь.
(зз (о. производные и дссфферессс(»совы всчсисих порядков В самом деле, опуская, как и выше, обозначении аргумента, согласно теореме 5 з 9 (см. п. 9,6), имеем к,, = —.. Беря произвол. ! Ук ную по у от обеих частей и вычисляя ее от правой части по правилу сложной функции, получим / ! У , у,„ ! Ук» > г Ук к у' У» Аналогично при соответствуюших предположениях вычисляются и производные вьюших с(оридков длн обратной функции Подобным же образом можно поступать и в случае так называемого параметрического задания функции.
Определение 3. Пусть функции х = х(() и у = у(!) определены в некопсорой окреопносспи и!очки (и и одна из этих 4ункций, например х = х(0, непрерывна и строго монотонна в укаэанной окрестности, тогда в эпюй окреспсносспи для 4ункции х(() суи!ествует обратная функция ( = Е(к), а в некоторой окрестности точкс, ки имеет смысл суперпозиция у(х) = у(((х)). Э!па функция у(х) и наливается параметрически заданной функцией Выведем формулы для дифференцирования параметрически заданных функций.
Если функцсш х(!) и у(!) имеют в точке („ производные и если х'((и) + О, пю параметрически заданнан 4унп(ия у(((х)) также имеесп в пинке х„= х((е) производную, причем )к(>о) = (1О. 5') кс ((„) В самом деле, по правилу дифференцирования сложной функции имеем (опуская обозначение аргумента) У» Ус !» по правилу же дифференцирования обрагной функции ! (10.7') хс Из формул (10.6) и (10.7) и следует формула (!0.5).
Если, крол!в того, сурцестодют хс,((и) и ус,((в), то сусл(есссс- вует и у„(кв)„причем Ус! "с Ус хсс !О.З Производные высин~х порядков ои1 сложных 4чнкциа 1аа х=а(1 — з!пг), у= а(1 -- с~ы), — оо (! (+ оп. График этой функции называется йиклоидой (рис. 29).
Пусть для определенности а ) О, тогда функция х(г) = а(1 — гйп !) стра. го монотонно возрастает. Действительно, пусть Л!» О, тогда, а! д! замечая, что О ( з!п 2 ( 2 имеем х(!+ Л!) — х(!)= = а( Л! — (гйп(! + Л!! — з!п!1)= лс~ . д!1 2! 2( =а! Лг — 2соз !!+ — )яп — 1» »а(Л1 — 2 ° 1 ° — ) =О, Лсх 2) Рис. 29 что и означает строгое монотонное возрастание функции х(!). В силу этого свойства существует однозначная обратная функция г = !(х).
Далее. х,=а(1 — соз!)=2аз1п' 2 >О, у,=аыпг, и х! обращается в ноль только в точках вида 1=2й и, й=О, -1- 1, ~ 2,,... Поэтому, если ! чь 2яп, го, согласно правилу дифференцирования функции, заданной параметрически, имеем У! в!и ! —, = — =с(й— 2 2 си их 2 ' 1 ! 1 1 " = с(р — 1 = ~с!й Ухх =- 2 — ) ~ )' х С х рх ~ е ! 2хйп 2их!и 4 едп 4 2 2 2 Аналогично вычисляются производные более еиисокого порядка параметрически заданных срункций. Рассмотрим в качестве примера параметрически заданную функ- цию >54 е 10. производные и дид»[>еренчиолы высших иорвдков 10.4.
Дифференциалы высших порядков В настоящем пункте мы для удоГ>ства будем иногда вместо симгола дифференцирования д писать букву 6, т. е. вместо ду, е[х писать равнозначные выражения бу, бх. Пусть функция у =- 1(х) дифференцируема на некотором интервале (а, Ь). Как мы знаем, ее ди>[х[>еренциал ду = 1'(х)>(х является функцией двух переменных: точки х и переменной с(х. Пусгь функция /'(х) в сво>о очередь дифференцируема в некоторой точке хе( (а, 6). Тогда дифференциал в этой точке функции с[у, рассматриваемой как функция только от х (т. е. прп некотором фиксированном йх), если е>о оГюзнзчить символом 6, имеет внд 6(дУ)=6[Г'(х)>Хх[~,, =[)'(х)дх[/„„бх==~" (х„)>Ххбх.
(10.8) Определение 4. Значение ди4ференциала 6(>(у), а>. е. ди4ференциала е>т первого дифференциала, ари дх =- бх называгшоя вторим дшбференциалон функции 1 в пшчне хе и обозначаеи>ея >Ру, т. е. (10.9) с(е), > (. ) (хе Зал>етим, что в силу этого определении >Г>х = О, нбо, при вы шелепин дифференциалов мы сч>икаем приращение сУх = Лх постоянным. Подобным >ке образом в случае, когда производная (а — 1)-го порядка у'ш-'> дифференцируема в точке хв или, что эквивалентно, когда в точке х„существует производная а-го порядка у<"', определяется диф4еренциал и-го порядка И'у функции у = 1(х) в точке х, кзк дифференциал от дифференциала (а — !)-го порядка аы ' у, в котором взято бх = дх: с(а у =6(да — 'у),>,„ Покажем, что справедлива формула д" у =- у <а> дх', а = 1, 2, .
(1О. 10) (для простоты не пишем оГ>означения аргумента). Доказательство этой формулы проведем по индукции. Для и =-- 1 н и =- 2 она доказана. Пусть эта формула справедлива для дифференциалов порядка и†1: ла — > у ха — » дхн» вЂ” П>.4. Д<«44ере««я«<ш<«««<мгш<«х порядхлв Тогда, согласно данному выше определению, для вычисления дифференциала л-го порядка «("у надо взять сначала дифференциал (мы его обозначим символом 6) от дифференциала <1" 'у: 6 (<1" — ' у) =- 6 (у<" — ' > <(х" — ') -= (у <" — ' > «(х" — ') ' бх = у<" > бх «(х"-<, затем полож<пь бх=дх: (ну 6(«(«« — < у)1 у<ч> (х«« < Ь=-и Формула ('10.10) доказана. Из формулы (10.10) следует, что (10. 11) Отм<тим некоторые свойства дифференциалов высших порядков.
1. «(" (< + у ) = «(" )' -<- «("' у . 2. ьм (су) =- с«г«у, с — постоянная. Г1 '1" (У< Уа) = ~~'.", С,", «1" —" у, «И у„илн, упо<ребляя снмволичев=а скую запись, «("(у у«)=(с<у +«(у«)1 1 где для какой-либо функции и мы считаем («и)1 1=-«(*и «=0,1,2 и «(оп=и<о>«то=и. Эти формулы непосредственно следуют из соответству<ощнк формул для производных а-го порядка (см. (1О.1), (10.2), (10.3) н формулы (10.10)). В а и< н о е з а м е ч а н и е. Формулы (10.10) и (10.11) справедливы, вообще говоря, при и .ь 1 (в отличие от случая и =- 1) талыш тогда, когда х является незавнсимьи< переменным. В случае лиф<«<еренциалов высших порядков по зависимым переменным дело обстоит сложнее. Пусть а = — г(у), у = у(х), имеет смысл суперпозиция г 1у(х)! и функшш г(у) и у(х) дважды дифференцнруемы.
Тогда «(2 = 3> «(у, дифференцируя еще раз и не прибегая для простоты записи к символу 6, т. е. считая запись «((<(г) равносильной записи 6(<(х)<„-„.=,<, (так всегда и поступают па практнне), получим Рх «((<(г)=-«((г„«(у) =«((з )«(у+а <((«(у) г „«(у'-(-хх<Ру (10.12) р П. Георел(ы о среднем для дпфферекцпррелых функций 166 (мы написали дг' = г ду на основании формулы (9.26), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
