kudryavtsev1 (947411), страница 26
Текст из файла (страница 26)
ауд ауа Ьх ах Ьх' (9.16 (у у,) = у, у,+ у у., (9.1?, у ) (х1 а если уа+ О в х„то сс частное — '= — ' также имеет в точ. у, 1,(х) ке хо производную, причем Уд»г' Уд Уа Удуа ~ )'= Уа (9.18, Действительно, пусть У=1д(х)1,(х), ЛУ,=1,(хо+Лх) — 1д(х ), Луа = 1а(хо+ Лх) — 1а (хо), тогда Лу=»1,(хо+Лх)1,(хо+Лх) — 1 (хо)1,(х„)= = (1д (хо)+ Луд! 11а(хо)+ Луа! — 1д(хо) 1а(хо) = = — Луд 1а (хо) + 1д (хо) Луг+ Луд Луа- Отс сода 'с .
= лх 1а'.Хо)+1» (хо) л . + сдх Луа. Лу Лу, Луа ау, и так как в точке х, !пп — =-у,, Ипг — ' =у,, 1нп ЛУ,=О сауд ' ° сдуа а»-о ах ь» о а» а» о Пределы !нп — и 1(пг —, согласно предположению, сущеиуд ° ауа „ах д ос»я' ствуют и равны соответственно производным ус и у, в точке х,. поэтому предел левой части равенства (9.16) при Лх-+-О суще ствует и равен ус+ уа )до 1пп — =у', поэтому у' в точке х, с»» ь ах » сущесгвует и у =)'с + уса сйорагула (9.15) доказана. 2. Пусть 4ункс(ии уд= — 1д(х) и У,=1а(х) илгеют производныг в точке х„тогда и сгроизведение у, у,=1д(х)1а(х) имеет в точке хо производнцю, причем 9„З Орооооо пычиохенох производных (функция у, имеет производную, а потому и непрерывна в точке х,), то при х=хо существует 1пп — =-у' и лу л. Олх у'=у', уо+)цу', т.
е. формула (9.17) доказана. Пусть теперь (о(хо) + О, тогда существует такое 6 >О, что 1(х,+Ьх)+О для всех Лх, удовлетворяющих условию )Лх~(й. Если положить г = — — и Лх выбрать так, что П (х) /о (х) ) Лх)()ц то Ьг= й (хо + Лх] Д (хо) )о (хо + Лх) )о(хо) Ь (хо) + Лж 6 (хо) Лж )о (хо) — Ь(хо) ЛУо (о (хо) + Луо 4 (хо) 1)о (хо) + Луо) )о (хо) поэтому лу, лу, Лх Лх )о (хо) П (хо) Лх Лх 112 (хо1 + Луо) 12 (хо) Отсюда, как и прн доказательстве формулы (9.17), заключаем, лх что при х=хо существует !пп — =г' и л -оЛХ У~ Уо У|Уз г'= 2 Уо Итак, формула (9.18) также доказана. С л е д с т в и е 1.
Пусть функция у =- )(х) имеет производную в отмке х„тогда функция с1(х) (с — постоянная) также имеет в втой точке производнуоо, причем (су)' = су'. (9,19) Таким образом, производная произведения функции на постоянную равна произведению втой поопоянной на производную функции, Действительно, вспоминая, что с' = О, из формулы (9.17) получим (су)' =.
с'у+ су' = су'. Следствие 2. ПУсть фУнкЦии Уп = 1,(х),..., У„= )о(х) имеют производные в точке хо, тогда функция с4(х) +...+ со)о(х) также имеет в точке х, производную, причем (с, У, + ... + со Уо)' =- с, У ~ + ... -1- с, У„, 9.6. 1!роихвобнон обратной функции 137 9.6. Производная обратной функции «Ч ! 0'а) йу й«(ха) ' йх (9.20) т. е. производная обратной функции равна обратной величине проимюдной данной функции.
До к аз а тел ь ст во. Зафиксируем какую-то окрестность точки ха, на которой функция 1 определена, непрерывна и строго монотонна, и будем рассматривать 7 только на этой окрестности. Тогда, как мы знаем (см. п. 6.3), обратная функция определена, однозначна и непрерывна на некотором интервале, содержащем точку у,„а именно на образе указанной выше окрестности точки ха, и, значит, если Лх = х — х„, Лу = у — уа, у = )(х), то условия Лх- 0 и Лу-н0 эквивалентны. Мы имеем йх 1 ау ьу ах Г(ри Лх — О (или, что то же в силу сказанного выше, при Лу -+ 0) предел правой части существует, значит, существует и предел левой части, причем Ьх .
«)х 1 1 1(тп — = 1(п! — = ау-о ау а -о ау !!«„ау й((ха) д',и"о дх йх Но 1нп — = — —, поэтому — = —, что и требоах йГ! (У,) йГ! (Уа) О ЛУ «!У «!У й«(ха) «(х валось доказать. Эта теорема допускает наглядную геометрическую интерпретацию (см. рис. 28). )т,ак известно, — = (да, где и †величи- Д(ха) йх на угла, образованного касательной графика функции ( в точке (х«н у,) с осью Ох, а У' =(й~, где() — величина угла, обра- йГ (Уа) зованного гой же касательной с осью Оу.
Теорема 5. Пусть функция у = 1(х) определена, непрерывна и строго л«онотонна в некоторой окрестноспт точки х, и пусть в точке ха существует производная — + О, тогда и обе!"(ха) «рх ратная функция х = 1 '(у) ил«еет производную в точке уа = «(ха)„ прицел« у 9. Праизеаднах и дифференциал Очевидно, р= ~ — и, поэтому дг-' !у.! ду с!Кр /я ! !яее д!(хе) с!д ! — — а~ (в дх Рассмотрим примеры применения формулы (9.20). 1, у=агсз!пх, х =э!и у, й .
й — — л» 1 ' х4 Применяя формулу (9.20), получим ду °, 1 1 е!х — =- (агсз!и х)' = — = —. их сах у Ну Рис. М 'агсз!их) = 1 !/1 — хе 2. у=агссозх, х=созу, 0<у~(я, — 1 ~ х < !. Аналогично предыдупгему примеру ду — „= (агссоз х)' дх ! 1 1 уг:; „ г. е. (агссозх) = —— Э 1 !/1 — хе ~. У вЂ” - агс12 х, х =- 12 у, — — ~ у ( 2, — со ( х е'+ оо, Имеем — =(агс1ях) = — =сов у= — =-— ау дх дх = 1+ !Кеу 1+х" ду Так как — ~ ч. у <-р-, то сову>~0, поэтому сову В и = у ! !— з!пху = !/1 — х~. Таким образом, В 7 Рдоизоодиоя и диффедеиииол глоягиос функции итак, (агс19х)'= +,. 1 4.
у = агсс1д х, х = с(9 у, 0 ( у ( п, — оо ( х ( оо. В этом случае Ыу 1 . 1 1 Ых — '=. (агсс19 х)'= — — =- — з!гг у=— Ых Ыу т. е. (агсс( х)'=— 9 1 ! хо 5. Если у=!ооах, х=ат, а)0, а+1, х~0, — оо(у(+ сз, Ых ' " ' Ых ах!па х1па т. е. в частиости, при а=е (1п х)'=— У и р а аг а е н и е 3. 11оказатгч что если фувкпия у = г(х) определена, непрерывна и строго мояотонна в ггекоторой окрестности точки хо и если в 4М= ! х, существует производная — „„= О, то обратная функиия 7-г(у) имеет в точке у = 1(хо) бесконечную производную, н, значит, в условном смысле 1 (счнтая — = оо! формула (9.20! справедлива н в атом случае.
О 9.7. Производная и дифференциал сложной функции Теорема 6. Лусгпь функция у=)(х) имеет производную в точке х„а функция г = с(у) илгеепг проиэвсднию в точке у,=)(хо). Тогда в некоторой окреспгносгпгг гпгнки хо имеет смысл слолсная функция ей(х)=Я!(х)] и вага фрнкция гггактке имеегп производную в точке х„, причем (9.21) г)г (хо) = Р (Уо) 7 (хо). или, нарекая виачения оргуменпюв, Ыг Ыг Ыу Ых Ыу Ых ь40 4 к. Производная и ди4»реренииил До к аз а тел ь с т в о. Согласно теореме 2 настоящего параграфа, функции у = )(х) и г = Р(у) непрерывны соответственно в точках х„и у, = 1(х„) и, следовательно, в силу леммы п. 5.2 в некоторой окрестности точки х, имеет смысл сложная функция Ф(х) = г!1(х)). Функция Е имеет в точке у, производную и, значит, дифференцируема в этой точке (см.
п. 9.2), т. е. Лг=Р'(ув) Лу+а(Лу) Лу, где !пп а(Лу) = О. Функция е(Лу) не определена при Лу = О. ау-о Для дальнейшего будет удобнее доопределить ее и при Лу = О, Это можно сделать произвольным образом. Проще всего продолжить ее «по непрерывности», положив е(0) = О. Доопределенная таким образом функция «(Лу) непрерывна при Лу = О. Поделим теперь обе части равенства (9.22) на Лх эь О. Получим = Е'(ув) —,Л,+в(Лу) — ~.
(9.23) Функция у =- г(х) имеет производную в тачке хв, т. е. существует предел 15п,— = 1' (х,). (9.24) Ьк-о Из существования производной 1'(хв) следует непрерывность функции у = 1(х) в точке хв. 1!т Лу= О. Ьк о Прн Лх = 0 имеем Лу = О. Следовательно, Лу, рассматриваемая как функция Лх, непрерывна в точке Лх = О. Поэтому, согласно правилу замены переменных в пределах непрерывных функций (см. п.
7.2), имеем (9.25) 1пп а(Лу)=0. Ьк о Теперь из (9,23), переходя к пределу при Лх-э. О, в силу (9.24) и (9.25) получим формулу (9.22;. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. При доказательстве теоремы было сказано, что е(Лу) можно доопределить произвольно при Лу = О. Однако, если, например, взять е(0) = 1, то на первый взгляд формула (9.21) не получится, и не только потому, что в этом случае нельзя применить правило замены переменного для предела непрерывной функции, а потому, что если е(0) =1 и если существуют такие Лх+ О, для которых Лу = О, то равенство (9.25) будет неверно.
а7. Праивваднал и дифференциал сложила фунцции 141 Это, однако, не влияет на окончательный результат. Действительно, если для сколь угодно малых Лх чь О существует Лу = О, то отсюда легко следует, что 7'(ха) = Иш — У= О, а.,,ах= ' и, следовательно, второй член в правой части равенства (9.23) все равно стремнтся к нулю при Лх -+ О (более того„в этом случае, как это легко увидеть, все члены равенства (9.23) стремятся к нулю). Можно было бы воспользоваться также и тем, что из формулы (9.2) следует, что о(О) = О. На примере приведенного выше доказательства теоремы 6 хорошо видно, как удачно выбранная вспомогательная конструкция (в данном случае просто доопределение в нуле функции е (Лу) нулем) может существенно упростить доказательство, Следствие (инвариантность формы перво. го дифференциала относительно выбора переменных): г(г=г (уо)ну='и (хи)е(х.
(9.26) В этой формуле е(у = 7'(х) е(х является дифференциалом функции, а е(х — дифференциалом независимой переменной. Таким образом, дифференциал функции имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на дифференциал этой переменной — независимо от того, является эта переменная в свою очередь функцией или независимой переменной. Докажем это. Согласно формуле (9.7), г(г = Ф'(х,) е(х, отсюда, применяя формулу (9.21) для производной сложной функции, полУчаем е(г = г'(Ув 7'(хв) 1)х, но !'(ха) е(х = е(У, поэтомУ е!г = — г"'(уа) е!у, что и требова))ось доказать.
Отметим, что теорема 6 по индукции распространяется на супер- позицию любого конечного числа функций. 1-!апример, для сложной функции вила г(у(х(7))) в случае дифференцируемости функций г(у), у(х) н х(7) в соотвегствующих точках имеет место формула дг дг ду дх д1 ду дх д1 В случае, когда приходится иметь дело со сложной функцией г = г(у), у = у(х), для обозначения производной г' употребляется еще внизу индекс х или у для того, чтобы указать, по какой из переменных — х или у — берется производная, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
