kudryavtsev1 (947411), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Если же в точке х = О четная или нечетная функции имеют предел справа, равный нулю, то они непрерывны в этой точке (почему?). При и ) О как раз 1)п> х" =- О, ибо х" =- еа "* и (см. теорему 4) к- +ь 1пп 1п х = — оь, поэтому в этом случае ха непрерывна и при х = О. к та 7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции Лемма. При любом веи(ес>пленном х справедливо неравенсспво 1з)п х / (1х !. До к аз а т е л ь с та о. Рассмотрим круг радиуса И с центром в точке О. Пусть ОА — неподви>нный радиус, а О — подвижный, образующий угол х с подан>кным.
Пусть О < х < —; и радиус ОВ, симметричен радиусу ОВ относительно ОА (рис. 13). Опустим из точки В перпендикуляр ВС на неподвижный радиус ОА. Тогда ВС Я в)п х и, так как ВС = СВ„то ВВ, = 2)? гйп х. Как известно, длина дуги ВАВ„равна 2Ях. Длина отрезка„соединяющего две точки, не превышает длины дуги окружности, соединяю- й 8. Сравнении функций. Вычисление пределов 106 щей те же точки, значит, 2лг яп х < 2)гх, т.
с. яп х < х. Если теперь — -; < х О, то О( — х ( — ', и потому в силу доказанного яп ( — х) < — х, по и случае яп ( — х) =- ! яп х! н — х = ! х!, поэтому )з!п х! < !х!. Таким образом, если ~х! < — ',, то ~яп х! < 1х!. Если же ! !)'-„) ' .! < ! (-'2(!х! Лемма доказана. Теорема 6. Фцнкцигл у = яп х, у = соз х непрерывны на всей веи!ественной оси. С л е д с т в и е.
Функции у =-1нх и у = с(н х непрерывны при всех х, при которых соз х, соответсниченно зш х, не обрагцаюгпс» в ноль. Док аз а тел ьство. Так как !з!па) < 1, (сова! < 1 при лю- дх~ бом о и в силу леммы ~ яп — ~ < — !Лх!, то 2 !зш(х+ Лх) — зш х! (2 ~яп — ~ ~ сов(х+ — !~ (! Лх!, !соз(х+Лх) — сов х ! < 2!з!и — '-~ ~яп!(х+ — )~ < ! Лх!. Отсгода следует, что при Лх -э О левые части неравенств также стремятся к нулю. Это и означает непрерывность функций яп х и соз х, явх сох х Непрерывность 1н х =, н с1д х = —. в точках, в которых сов х вщ х знаменатели не обращаются в ноль, следует из непрерывности з!п х и соз х и теоремы о частном непрерывных функций (см.
п. 5.2). Теорема 7. Обратные гпригонолгепгрические функции агсз!п х, агссоз х„агс1д х и агсс1д х непрерывны в области их определения. Это сразу следует нз теорем 4 и 5 в ч 6 и из непрерывности и стро- Г п »1 той монотонности функций зш х на отрезке !1 — „—, ц, соз х на от- резке [О, и), 1н х на интервале ~ — —,, — ) и с1н х на интервале (О, и). й 8. СРАВНЕНИЕ ФУНКЦИЙ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ 8Д. Некоторые замечательные пределы Для дальнейшего весьма полезно вычислить некоторые пределы конкретных функций. К,1 Некоторые замечательные пределы Лемма 1. !цп ' " =1. х-о х (8.1) До к а з а т е л ь с т в о.
Рассмотрим круг радиуса Я с центром «точке О. Пусть ОА — неподвижный раднус, О — подвижный, «бра!«ую«ций угон х, О ~ х С вЂ”, с радиусом ОА. Соединим точку А 2' : точкой В отрезком, восставим из точки Л перпендикуляр к радвусу ЭА до пересечения в точке С с продолжением радиуса ОВ (рис. 19). Гогда плошадь треугсо«ьн!«ка АОВ равна — Й яп х, плошадь сектора 5 2 40В равна 2)«х, а площадь треугольника ЛОС равна — 2Я518 х.
1 ! Греугольник АОВ является частью сектора ЛОВ, который в свою и«ередь является частью треуголь«ика АОС, позтому С вЂ” БХ ьйп х — ЙХ х ( — -- ВХ 1д х. 2 2 2 Эткуда получим 1< " < 5«П Х С05 Х нли, заменяя величины их обратными„ сов х( ' " (1. (8.2) Рис. 19 к Заь«стим, что в силу четности функций соз х и — неравенство сди х к ,(8.2) справедлвво и в случае — — ~ х <" О. 2 Так как функция соз х непрерывна и соз О = — 1, то из (8.2) при Х-ы О СЛЕдуЕт (СЛ«. И. 4.6) раВЕНСтВО (8. 1). Лемма доказана. Следствие 1. 1нп — = 1. !я х х о х (8.3) В самом деле, !пп — = 1пп — !нп — = 1. О Х х- О Х х о СО5 Х С л ед ст в и е 2. атс 5!и х 1пп -о х (8.4) юа а Л Ояо неннг фдннчиа Игннгггеениг нледеиоа агс!д и О к (8.
5) Это равенство получается аналогично предыдущему из (8.3). Лемма 2. ! !(щ(1+х)" = е. (8.6) к О Ранее (см. п. 3.6) было доказано, что ! тн !1щ(!+ — ) =с, н к и) (8.7) где и = 1, 2, .... Отсюда следует, что для любой последовательности (и„) натуральных чисел, такой, что !1щ и» вЂ” + ОО, (8.8) н имеет место 1пп ! 1+ — ~ = е.
(8.9) и- ~ иа В самом деле, пусть задано в ~ О; из (8.7) вытекает, что существует такое на> что п!ун и .а и;. ! ~1+ — ) — е((в, (8.1О) г,/ а нз условия (8.8) следует, что существует такое Йа, что ла > и ! кна .г,к>к,; к °, г ~кко~((~е-) — ~<..г к> к„ иа что и означает иыпапнеиие (8.9). Пусть теперь последовательность (ха! такая, что Иш хн --- О и х„) О. (8.11) «!уункцня у = гйп х строго монотонна и цепр рывна на отрезке и и! — —, — ~, поэтому опрятная функция х=агсз!и у также строго моно- 2' 2 ~' тонна и непрерывна на отрезке ! — 1; 1!. Поскольку ян О = О, то условия х-н О и р — О эквивалентны (см. замечание в конце п.
4.5!. Для вычисления предела (8А) применим правило замены переменного (см. теорему 3 п. 4.5), положив у = агсз!и х: к-ка Х у О а|О У Следст вие 3. В.!. Некоторые еомекателелые лределы 10Э Покажем, что !пп(1+хд) "=-е. При этом без ограничения общности можно считать, что хд< 1, /!=1. 2, ... (почему)). Для вся- 1 ! кого хд найдется такое натуральное пд, что "хд~~ — и, лд+ 1 лд следовательно, и»+1 ) ! лд. кд Поэтому 1 !л»+' 1+ — ) «(1+ хд)» л' (1+ — ) .
(8.12) лд+! лд Замечая, что в силу (8.9) л»+! лт+! И!и (1-!- — ) =Ип!(1+ — ) Игп(1+ — )=е, и переходя к пределу в неравенстве (8.12) при /г-д оо, получил! И!п (1+ хд)'» =- е. Поскольку (хд) — произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям (8.11), то тем самым доказано, что ! !пп(1+х)' =е. (8.13) *-+о Пусть теперь последовательность (хд) такая, что 1ппхд — — О, хд<.0. (8.14) Положим уд —. — хм тогда уд)0 и И!пуд —— О, причем без ограничения общности можно считать, что уд< 1, 1=1, 2. Тогда 1пп (1+ хд)"» = Ип! (1-уд) рд Ип1, - — — ~р» / » «« д «« '. 1=у,) ! +! - Ип! 11+ — уа — ~ » Игп(1+ад)'» » ««( ! — 7» д «« В В.
бра»немое фаннкккн! В»кжгленне нределоо где 㻠— — )» «О и !ппг„— -О, 1 — г» »- к и в силу уже доказанного равснсгва (8.13) 1пп (1 -)- х„)х» = 1пп (1 + г„) х» И и! (! о- г») — - е к -" »- »- 14о (г»' была произвольная последовательность, удовлетворя!ишан условиям (8.14), поэтому 1 )ип (1+ х) " =- е. (8. Рй) 1 Таким обРазом, фУнкциа (1+ х), хин О, имеет в точке О пРеделы слева н справа, равные одному н тон!у же числу е, поэтому существует и двусторонний предел, также равный е (см. и. 4.5).
Лемма доказана. Следствие 1. )йп — "-Ин( +х) =)ои,е, а«О, а~1, --,о х и, в частности, при а = е Игл — =. 1. 1и (1 + х) к.,о х Следствие 2. Игл — =- 1п а. нх — 1 к»о х (8 !7) В частности, сели а= — е, то е" — 1 Игп — = 1. -о х (8.18) Функция у =- ах — 1 строго монотонна и непрерывна иа асей )о (1 4 г) вещественной оси, поэтому обратная функция х = «) также !но В самом деле, используя непрерывность логарифмической функции (см. теорему 4 нз э 7), непрерывность супсрпознцин функций (см. и. 5.2) н равенство (8.6), получим ! !ип — ' — '=- Ии) 1ои„(1+ х) = (од, 1пп(1+х) = (ои е. !оан(1+х) . к х * о к к о к о 8.«.
Сравнен«в фунКций строго монотонна н непрерывна при у) — 1. Поскольку прп х = О имеем также и у =-= О, то условия х- О и у — О эквивалентны (см. замечание в копие п. 4.5). Г!рименил! для вычисления предела (8.17) правило замены переменного (см. теорему 3 п. 4.5). Положив )с! (!+у) х = — !', получим 1п а а" — ! . у!па 1 !ип — =!ип =1иа = 1п а.
«-о х х-о 1п (1+ у), !п(1+ у) И ос х о у 8.2. Сравнение функций Все нижерассматриваемые в этом параграфе функиии определены на интервале (а, Ь) — конечном или бесконечном, кроме, быть может, х,с(а, Ь). Если х„= и илн х, = Ь, то пол пределом понимается соответственно предел справа илн слева. При этом не исключается и случай х, = +оо или х, = — а .
Как мы уже зияем, сумма, разность и произведение бесконечно малых фуикиий являются также бесконечно малыми функпнямн; этого нельзя, вообше говоря, сказать об их частном: деление одной бесконечно малой на другую может привести к разиообразньгм слу- чаям, как это показывают нижеприведенные примеры бесконечно малых при х -» О функций е(х) и (1(х). Пусть, например, а(х)=х и р(х) = х', тогда 1)гп Р ( ) =- 1! гп х = О, «. оа!х) * о !ип — = 11гп — = ао.
а (х) «о р(х) * о х Есле же а(х)=х, 8(х)=2х, то !ип — = л, р(х) -о а(х) а если а(х).=х, р(х)=ха)п —, то предел !ип — не сушест- 1 б (х) х о а(х] вует. Определение 1. Если для двух с)сункцссс) Р(х) и д(х) сусцествуют такие постоянные с » О и 6 ..» О, чпю (1(х)) < с )д(х)( при ! х — хо! ( б, х ц= л'„, то еоворят, чспо У является оераниченной сю сРа внению с 8 фйнкЦией в некотоРой окРепсснопси пючки хо, и пишдт, что 1(х) = 0(а(х)) (читиепсся: «1(х) есть О большое от д(х)») при Подчеркнем, что значок х — х„здесь имеет лругой, чем обыч- но, смысл: он лишь указывает на то, что рассматриваемое свой- е д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
