kudryavtsev1 (947411), страница 17
Текст из файла (страница 17)
удовлетворяющее неравенству (5.4)„и возьвсеьс в пем значение функции /, то мы получим значение /(х,) с заданной степенью точности, т. е. будет выполнено неравенство (5.5). Как и в случае определения предела, определение непрерывности функции в точке можно дать на языке окрестностей. Функция / непрерывна в точке х„, если для любого е )О найдется такое 6 >О, / [О (ха 6) [ с..
0 (/ (ха), е). (5.6) Наконец, перенося /(ха) в равенстве (5.1) в левую часть равенства, внося /(х„) под знак предела и замечая, что условие х -и х, равносильно условию х — ха -ь О, получилс (б.7) Ин [/(х) — /(ха)[=О. к-к, а Разность х — ха называется приращением аргрлсента и обозначается Ьх, а разность /(х) — /(х,) — приршцениелс с/тункции, р" б. Петгрерыеносто функции е тояе соответствующим данному приращению аргумента Лх„и обозначается Лу; таким образом, Лх =- х —.к„бу =-. Г(~ + Лх) — Г(хо).
(5.8) В этих обозначениях равенство (5.7) перепишется в виде 1пп Лу=О, Лх О (5.9) т. е. непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. 1 Примеры. 1. Покажем, что функция Г(х)= — непоерывх на в каждой точке хо+О. В самом деле, 1 1 Лх Лу — г (ХО 4 Лх) г (Х) " хо+Л х хо (хо+Лх) хо откуда при хо=,ь.О имеем Лх 1пп Лу= — Игп — =О, Лх-о Лх-о (х„+Лх) х, что и означает, согласно (5.9), непрерывность функции 1 1(х) =- — в точке хо.
х 2. Покажем, что функция Г(х)=-~а!дох( (см. рис. 13) не является непрерывной в точке х,==О. Действительно, 1(гп1з(цпх(=-1 и этот предел не совпадает со х-О значением з(дп О = О. Определение 2. Г1 усть теперь функция 1 определена на интервале (а, Ь), кроле, бьипь лигргсет, елочки хо-- (а, Ь). Если функция Г не неггрерывна в точке х„то точка хо называется пючкойразрьюа функции 1. У п р а ж н е и и е 2. С4ор»гулировать определение точки разрыва функции в позитивном смысле. т.
е. ие употребляя никаких отрицапий «пе», «нет», «нельзя», «иевозможио» и т. п. (см, п. 3.1). Г(хо — 0)= 1нп Г(х) и )(хо+0)=- 1пп 1(х), х хо — О х- х«+О пю точка хо называется точкой разрыва первого рода. Величина 1(хо+ 0) — 1(хо — 0) называется скачком функции 1 в точке Определение 3. Если х, — точка разрыва функции 1 и сущесгпвуют конечные пределы е,1. Точки нелрерыеиогти и точки розрмао функции Если /(хо — 0) = /(хо + 0), то х называется стачкой устп/тачпл~ого /таз,рыва. Последнее оправдано тем, что если в этом случае видоизменить нли доопределить (если функция / была не определена в точке хо) функци1о /, положив / (хе) = 1пп / (х) = 1]тп / (х), -«и -ро ««„— о то получится непрерывная в точке х, функция.
Точка разрыва функции /, не являютцаяся точкой разрыва первого рода, называется пипкой разрыва второго рода. таким образом, в точках раарыва второго роди по крайней мере один нз пределов Ипз /(х) и 1пп /(х) не существует. (Здесь под пределом, как обычно, -.,+о -,— о понимается лишь конечный предел.) У и р а ж н е и и е 3. Сформулировать определение точки разрыва второго рода длв функции в позитивном смысле.
Функция /(х) = з|нп х (см. рис. 13) имеет в точке х, = О разрыв 1 . 1 первого рода, а функции /(х) = — н /(х) = зйп — в точке хо = 0 имеют разрывы второго рода. Всякая функция, монотонная на некотором интервале, может иметь только точки разрыва первого рода (см. следствие теоремы 4 п. 4.8). Определение 4.
11усть функция / определена на полуитпервале ,'ат !з] (соответпсп1венно на полуинтервале [а, й)) и хо,'- (а, /т] (сооттетспгвенно хо ~ [а, /т)). Функцпя / чазываетттся непрерывной слева (непре- У оывной сприва) в точке х„если ] пп /(х) = /(хо) (соответстпвснно если '- „— о [П1" /(Х) = /(Хо))- «,ео П р и м е р. Рассаютрнм функцию, определенную на всей числовой оси и тля ка>хдого числа х равную наиболь- -1 1 о нему целому числу, меньшему илн -1 равному х. Риг. 16 Эта функция имеет специальное обозначение у = [х], что читается <у равно еп//ег хвей Ее график изображен на рис.
16. Функция [х] з точках х = и, п = О, ~1, ~2, ..., непрерывна справа и раззывна слева; во всех же других точках она непрерывна как справа, гак и слева, таким образом, в частности, [х] непрерывна справа во всех точках. М Еп/1«т — целый (франц.). Э Б. Нвнрврывноотл ф||нкннн в точке 5.2. Свойства функций, непрерывных в точке Теореьта 1. Если функции ! и днепрерывны в пгочкехгл то функв,ии с!(с — постоянное) 1+ у, (у, а если, кроме пгоео, у(хл) чм О, тпо и функи,ия — — также непрерывны в пгочке х,.
Эта теорема вьпекает непосредственно из определения непрерывности и свойств пределов функций (см. п. 4.6). Докажем, например, непрерывность функции (у. Согласно свойству 4 п. 4.6, имеем 1!гп Г(х) д(х)= !!ш 1(х) !пп д(х)=- 1(хв) д(хл), (5.10) !у — ул!(Ч, !Г(у) — Г(ув)~с. е. то (5,12) Дапее, для полученного т) ) О в силу непрерывности функции гр в точке х, существует такое б = 6(т!) ) О, что если 1х — х,! С 6, то !гр(х) ув! (т! ибо пределы 1ггп !(х) и !!гп д(х) существуют и в силу непрерывности к к„ к. к, 1 и д в точке х, соответственно равны 1(хв) и у(хв). Выполнение равенства (6.10) и означает наличие непрерывности функции !у в точке хв.
Лемма. Пусть функция у = гр(х) непрерывна в точке хв, а функция 1(у) непрерывна в точке ув = гр(х,), пгоеда сугцеспгвует б-окрест'ность 0 (хв, 6), гпакая, что при х ~ 0 (х„б) имеет смысл сложная функция / 1гр(х)1. Действительно, поскольку функция 1 непрерывна в точке угн то она определена в некоторой е-окрестности О (у„ е) этой точки; тогда, согласно (5.6), существует окрестность О (хв, 6), такая, что т!|10(х„б)1с:0(у„е), следовательно, для х'— 0(х„б) имеет смысл суперпозиция )(г!г(х)1. Теорема 2.
Пусгпь функцггя у = гр(х) непрерывна в точке хл, а функцггя 1(у) непрерывна в о|очке ув = чг(хв)„пгоеда сложная функция 11|у(х)1 непрерывна в точке х . Короче, но менее точно: непрерывная функция от непрерывной функции является непрерывной функцией. До к а з а тел ь ство. Прежде всего согласно только что доказанной лемме, сложная функция !(гр(х)1 определена в некоторой окрестности точки х, и потому можно ставить вопрос о ее непрерывности в этой точке.
Пусть фиксировано е ) О. Тогда в силу непрерывности функции 1 в точке у, существует такое т) = т!(е) ) О, что если б,б Ограниченность непрерыанык функций Таким образом, если [х — х,] с" 6, то выполняется условие (5.11), где у = гр(х), а значит, и (5.12), которое для рассматриваемого случая имеет вид ]] [гр(х)) — 1(ф(х )] ] ~е. Это и означает непрерывность сложной функции 1(гр) в точке х,. Теорема доказана.
Утверждение теоремы можно записать в виде формулы 1[гп 1[ср(х)] = 1] йт зр(х)], (5.[З) х к, из которой видно, что операция предельного перехода переспганоеочна с операцией взятия непрерывной Функции. В самом деле, левая часть равенства (5.13) равна []гр(х )], согласно утверждению теоремы, правая часть также равна 1[ср(х„)] в силу непрерывности функции ср(х) в точке х„. Прн отыскании пределов непрерывных функций теорему 2 удобно использовать еще в одном виде, в виде следующего правила. Правило замены переменных для пределов непрерывных функций !ип 1(у) = 111п 1 ]ср (х)] уча к кк Теорема 2 естественным образом переносится и на случай односторонней непрерывности (сформулируйте ее в атом случае). У п р а ж н е н и я.
4. Локазать, что если для функции х == гр (1) существует предел 1!язв(1) ==-ха, а функция у=)(х) непрерывна в точке хч, то в некоторой окрестности точки 1ч, кроме, Сь;ть может, самой точки 1з, имеет смысл суперпозиция ([к(1)[ и существует 1пп [[кр [1)[ —. [[кч). ы /„ Гз. Гл~ормулнровать н доказать правила замены переменных для односторонних пределов функций. й 6 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ПРОМЕЖУТКАХ 6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений Определение 1. Функция, определенная на отрезке(а, 5] и непрерывная в каждой его точке, называется функцией, непрерывной на отрезке. й 6 Сепйстеп функций, непреривпнх нп промежутках При этом под непрерывностью в точке а понимается непрерывность справа, а под непрерывностью в точке Ь вЂ” непрерывность слева.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
