kudryavtsev1 (947411), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пусть фиксировано е ) О, выберем ет ) 0 так, чтобы аеэ+Ьат+з, (е (это всегда возможно, ибо, для каждой бесконечно малой последовательности (ев) имеем )пп (пап+ Ьп„+ а,) =0) Из условия (3.21) следует, что существует такой номер и„ что при п)~ ль выполняются неравенства 0< х„(а+ам 0 < у„( Ь+ е,. Следовательно, при н)~пь имеем х„у„(пЬ+ аз,+ Ье, +в~ (аЬ+ е, т. е. условие 1 теоремы 10 для числа аЬ выполнено; поэтому !!ш х„у„= аЬ= !нп хп !нп у„. п »1» в» Формула !3.19) доказана.
Пусть теперь !нпу„=+со„йгпх„=а)0 и пусть (у,,)— в и подпоследовательность последовательности (у„), такая, что !нпу„=+оо. Поскольку а)0, то существует номер вУ такой, а что при л)~ге' выполняется неравенство х„) —. Поэтому по- следовательность х„, В =ГУ, %+1, ..., ограничена снизу поло. жнтельной постоянйой и, следовательно, !Оп хл„у„„= + 6 Это и означает, что 1!гп х„у„= +оо. Формула (3.20) также до- и казана. Заметим теперь, что если по определению считать, что при а)0 справедливо равенство то при 1ппх„)0 формулы Р.19) и (3.20) можно объединить и»» в одну: !нп х„у„= !пп х„!нп усе в» л ь» 4 4, Фаипиии и их пределы 5 4.
ФУИКДИИ И ИХ ПРЕДЕЛЫ 4.1. Понятие функции При изучении тех или иных процессов реального мира (физических, химических, биологических, экономических и всевозможных других) мы постоянно встречаемся с теми илн иными характеризующими их величинами, меняющимися в течение рассматриваемых процессов. При этом часто бывает, что изменению одной величины сопутствует и изменение другой, или даже, более того, изменение одной величины является причиной изменения другой.
Например, при прямолинейном равномерном движении материальной точки, как хорошо известно, связь между пройденным путем з, скоростью о и временем движения 4 выражается формулой з = од При заданной скорости о величина пройденного пути зависит от времени И чем больше затраченное время, тем более длинный путь пройдет движущаяся точка. Закан всемирного тяготения масс выражается известной формулой Ньютона: йпгг гпг ег где тг н п~г — массы двух материальных точек, г — расстояние между ними, й — гравитационная постоянная, а г' — сила тяготения между этими массами.
Из этой формулы следует, что если две фиксированные массы удалять друг от друга, то сила взаимодействия между ними будет уменьшаться. Площадь круга выражается формулой Я = пег. Из пее видно, что при увеличении радиуса круга в и раз площадь круга увеличивается в пг раз. Во всех этих примерах имеется несколько переменных величии, одни из которых могут меняться произвольно, а другие изменякгтся уже в зависимости от изменения первых. В таких случаях говорят, что между этими переменными существует функциональная зависимосгпь.
Уточним это понятие. Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению величины х соответствует единственное значение величины у. Хотя на первый взгляд в введенном понятии функции нет явных неясностей, тем не менее оно требует определенного разъяснения.
Дело втом, чтотермин «перемекиая» в интуитивном смысле, как всякое изменение связано с понятием времени и пространства. На самом деле эти пространственные и временные представления в данном случае не являются существенными. Нуждается в разьиснении и само понятие велпчгаая. ея. Пгнлгие Функции в| Сформулируем понятие функции несколько иначе.
Лусть заданы два множества Х и У. Если каждолщ элементу х (- Х поставлен в соответствие один и только один элемент у г', обозначаемый /(х), и если каэхдый элемент у, У при этом оказывается поставленным в с«ответствие хотя бы однолюбу элементу х-- Х, то говорится, что на мноэхеспме Х задана однозначная функция у = )(х). Множество Х называется ее областью определения (или областью задания), а множество У вЂ” множестволс ее значений. Элемент х(- Х называется аргументом, или независимой переменной, а элементы ус~ )' — значениями функции, или зависимой перелюнной. Подчеркнем, что, для того чтобы задать функцию Л надо задать, во-первых, ее область определения Х, во-вторых, ее область значений )' и, в-третьих, закон соответствия, по которому определяется элемент у( )л, соответствующий элементу х( Х, т.
е. элемент у = )(х). Понятие функции равносильно понятию соответствия, которое можно свести к более простым первичным понятиям, но мы не будем на этом останавливаться. Элементы х и у рассматриваемых множеств Х и У могут иметь соверше»шо произвольную природу. В частности это могут быть, например, вещественные или комплексные числа. В случае, когда значениями функции являются не числа, а какие-либо другие элементы, часто вместо слова «функция» употребляется слово «отображение».
Таким образом, у нас термины «функция», «соответствие» и «отображение» равносильны. Говоря о тех или иных функциях„мы, конечно, каждый раз будем разъяснять, о какого рода соответствиях идет речь. Часто саму функцию (соответствие, отображение) обозначают только одной буквой ), а через )(х) — ее значение на элементе х. Впрочем, иногда через г(х) обозначается и сама функция, а для ее значения на элементе х, употребляется запись |(х) ~„„» илн П„„,.
Если Š— некоторое подмножество множества Х, то через )(Е) обозначается множество всех таких элементов у ~- У, что у = /(х), где х ( Е, т. е. ДЕ) =- (у: у = г(х), х С Е). Множество )(Е) называется образом множества Е. Если теперь Р— некоторое подмножество множества г', то множество (х: х ~ Х, Кх) ~ Р) называется полным прообразом множества Р. Если Х и У вЂ” некоторые подмножества вещественных чисел (быть может, одно из которых или оба совпадают с множеством всех вещественных чисел), то ссютветствующие функции называются веьцес»пвенными функциями одного (ве«цественного) переложенного.
В частности, если в качестве мяожества Х взять множество натуральпых чисел, то получим вещественную функцию, определенную 4 4. Функции и их предели на множестве натуральных чисел или, употребляя введенную ранее терминологию, попросту последовательность вещественных чисел. Если в качестве кшожеств Х и )' взять некоторые подмножества комплексных чисм, то мы придем к понятию хомплексначнацных функций котглексноео аргу,иенгла. Встречаются функции, у которых множества Х и у' разной природы. Примером может служить функция, определенная, например, на некотором множестве Х точек плоскости и принимающая числовые значения.
Поскольку при фиксированной системе координат каждой точке плоскости однозначно соответствует упорядоченная пара чисел — ее декартовые координаты, то эту функцию можно рассматривать как функцию двух вещественных аргументов х,,х, и обозначать у = )(хм хи). Встречаются, естественно, и функции с большим числом вещественных аргументов, например, в известной из физики формуле Кулона взаимодействия электрических зарядов е, ек сила взаимодействия г зависит от четырех аргументов: двух величин зарядов е, и ем расстояния между ними г и диэлектрической постоящюй среды в. Вообще функция, определенная на некотором множестве элементов, каждый из которых представляет собой упорядоченную совокупность п чисел (вещественных или комплексных), называется функцией от п (соответственно вещественных или кол~плексных) аргументов.
Может случиться, что значениями функции являются не числа, а какие-либо другие элементы. Например, если в качестве Х взять отрезок (О, 2а) и каждому числу х ~ (О, 2п) поставить в соответствие точку плоскости с абсциссой з)п х и ординатой соз х (при некоторой фиксированной декартовой системе координат), то множеством значений построенной функции будет множество точек окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Отметим, что если функции ) и а рассматриваются на одном и том же множестве Х, то запись г = а означает, что /(х) = д(х) для каждого х~ Х. В этом случае говорится, что функция 1 тождественно равна функции д на множестве Х.
Над функциями, принимающими числовые значения (такие функции называются цислоеьсиа функцияма), можно производить различные арифметические операции. Если даны две числовые функции г и д, определенные на одном и том же множестве Х, а с — некоторое число (нли, как часто говорят,— постоянное), то функция с1 определяется как функция, принимающая в каждой точке х~Х значение с)(х); функция ) + а — как функция, принимающая в 4П. Понятие Функции каждой точке х(- Х значение 1(х) + д(х); 1п — как функция, в каждой точке принимающая значение 1(х)п(х); наконец, — как функ- 1 Я ция, в каждой точке х~ Х равная — (что, конечно, имеет смысл 1(х) е(х) лишь при (1(х) 4- .О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
