kudryavtsev1 (947411), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

а.„+ — ~, и = 1, 2, .„. Это соответствие можно распространить и на отрицательные числа: если числу и ) О соответствует дробь а„а,...а„..., то числу — о поставим в соответствие дробь — о,„, а, . а„.... Если заданы два множества Х и Ум и если каждому элементу х~~ Х поставлен в соответствие элементу г', причем разным элементам х соответствуют разные элементы у и каждый элемент у(- г' оказывается поставленным в соответствие некоторому элементу х~~ Х, то говорится, что ькжд» мзожсстаамп Х и У установлено взаимно однозначное соответсспвне. Г!олучеыггые результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы. Теорема 6.

Между мнсвхеспгвом всех веи(есгггвенных чисел и л:ножесгпволг допусгпимых десяпгичных дробей суи!ествует взаимно однозначное соотвепгствие; причем, если при зпголг соответгтпвии числу и сгответствует дробь ~ач, а,ам..а„..., то ~зйш ав, а,а,...о„= а. л Бесконечиая десятичная дробь и-агч а,а;...а„..., соответствующая числу а, называется его десятичвой записью и используется для его обозначения.

Поэтому пишется о = ~ам агам..аг,." ° 3 а м е ч а н и е. Любой бесконечной десятичной дроби а„ага,... а ... (не обязательно допустимой) можно также естественным образом поставить в соответствие единственное вещественное число, принадлежагцее всем отрезкам 1 ам а, ...

о„; ог„а, ... а„+ — „„~. Однако получившееся при этом соответствие уже н е б у де т взаимно однозначным: может случиться, что разным десятичным дробям будет соответствовать одно и то же вещественное число. Именно дробям вида а„, а,ам..а„99...9... н а„, агах ... (а„+1)9()...0... (а„-г- 9) соответствует одно и тоже число. В описанной выше конструкция соответствия вещественных чисел и бесконечных десятичных дробей мы получили бы не только допустимые десятичные дроби, если бы отказались от условия каждый раз выбирать такой отрезок г'„, что число а не является его правым концом. Используя запись вещественных чисел, с помощью бесконечных десятичных дробей можно получить правило для их сравнения по величине и правила арифметических действий над ними. БХ Изображение вещессвенныт чисел деслгичнылщ дробями Б! Лемма 2.

Пустпь а= аьч а,а,,и,... и Ь=)!з, Дат...!3, — два неотрицательных числа, записанных с пол1ощью бесконечных допу- сгпииых десятичных дробей. Тогда а ( Ь в тол1 и тполько гполс случае, когда сущестпвует п„токов что он ( Ь„для всех п >~ пы Действительно, пусть а(Ь. Из а=!нпо„и Ь=!!ш Ь„слеч и дует (сьь свойства пределов последовательностей в п. 3.1), что существует такое п„, что при всех и )~ п„справедливо неравенство ан ( Ья Обратно, если существует п„, такое, что а„( Ь„для всех и> п„то случай а)Ь невозмгпкен в силу только что доказанного. Невозможен и случай а = Ь, тик как тогда бы в силу однозначной записи чисел с погиощью допустимых десятичных дробей при всех п = 1, 2, ... выполнялось равенство аз = Ьп.

Таким обра. ом, а ( Ь. Лемма доказана. 3 а и е ч а н и е. Если а и Ь оба отрицательны и а ( Ь, то — а ) — Ь и для положительных чисел — а и — Ь справедлива лем- ма 2. Если же а и Ь разных знаков, то никакого специгльного правила сравнения чисел по десятичной записи не нужно, так как всякое отрицательное число меньше неотрицательного.

Лемма 3. Пусп1ь а и Ь вЂ” два вещественных числа, тогда йгп !'а + Ьз) = о+ Ь, »- !1п1 !ń— Ьн) = а — Ь, п йш а„у„=аЬ, и- а при Ь+О 11гп = =— я~ а Ь„Ь Все утверждения этой леммы непосредственно следуют из леммы 1 и свойств пределов, связанных с арифметическими дсйствиял1и над последовательностями (сьь и. 3.5). Из леммы 3 следует, что дли того чтобы произвести с заданной степенью точности какое-либо арифметическое действие над числами, записанными в виде допустимых десятичных дробей, надо взять с до- »1 Может случиться, то прн некоторых л будем иметь Ь„= О, и, следоан вательно, выражение = будет лишено смысла Однако в силу условия л Ь Ь чь О и свойства 3 пределов последовательностей, доказанного в и.

3.1, сУЩествгет такое ла, что йн т'- О пРн л > лз, В атом слУчае вместо послепоа„ Ь, вательности =", и = 1, г, ..., следует рассматривать последовательность 1 †, Ь -В »' н = — ла, ла+ 1,,... а 3. Предел последовательности статочной точностью их подходящие десятичные дроби и произвести над ними соответствующие действия. 3 а м е ч а н и е. При изложении теории вещественных чисел можно идти и в обратном порядке: определить вещественные числа как бесконечныс допустимые десятичные дроби и, используя эту запись, ввести в них соответству>ощим образом соотношение порядка и арифметические действия. Существуют и другие построения теории вещественных чисел, которые исходят из других конкретных объектов, однако все они приводят к совокупностям элементов, удовлетворяющих свойствам 1 — Ч! п.

1.1. Здесь мы встречаемся с характерной чертой математических методов исследования, для которых совершенно безразлична природа элементов, а важны лишь количественные связи между ними, которые в данном случае и выражаются свойствами 1 — 'е'!. Заметим, что совокупность свойств 1 — Н1 однозначно определяет совокупность элементов, обладающих этими свойствами.

Поясним это несколько подробнее. Г!усть мы имеем два множества Х и !' элементов произвольной природы и пусть в этих множествах установлены порядок элементов и операции сложения и умножения, удовлетворяющие свойствам 1 — 'Л. Мы скажем, что множества Х и !' изоморфны, если существует такое взаимно однозначное соответствие между множествами Х и !' — обозначим его х- у (здесь у ~ !' является элементом, соответствующим элементу к~ Х при указанном соответствии),— что для любых элементов л; П Х и х, ~~ Х выполняется условие: если Х>-еу> И Х,— усе то х, + х, - у>+ уе, х, х, -е у, у,.

Можно показать, что любые два множества Х и 1л, удовлетворяющие свойствам 1 — Ъ'1 п. !.1, изоморфны. Иначе говоря, свойства 1 — Ч! однозначно, с точностью до изоморфизма, определяк>т мно>кество вещественных чисел. Это свойство называется свойстпаом полноты систелмс аксиом 1 — Ч1. Оно означает аевозь>ожиость расширить множество вещественных чисел с сохранением всех его сволств. 3.7. Счетность рациональных чисел. Несчетность вещественных чисел Возникает вопрос: все ли бесконечные множества содер>хат одинаковое число элементов или бесконечности бывактг разные? Прежде нсего надо определить понятие «одинаковое число элементовь, знт бытность воинонильных чисел Несчетность вегтгественннх чнгел 63 Определение 17.

Будем говоритгн что дви лгно>сеспгвп Х и Г имеют одинаковое число элементов, или они ривномощны, если между ними можно рсгппновгггпь взпимно однолнпчное соответствие. С этой точки зрения натуральные числа 1, 2, ..., тг, ... содержат столько >ке элементов, сколько и четные числа 2, 4, ..., 2п, ..., хотя на первый взгляд последних кажется в два раза меньше. Требуемое взаимно однозначное соответствие получается, если натуральному числу и поставить в соответствие число 2п, и = 1, 2, ....

Четные числа составляют часть множества натуральных чисел, однако эти множества равномощны, следовательно, в случае бесконечных множеств часть может равняться в нашем смысле целому! Определение 18. Множесгпсю, которое содержит столько же влелгенгпов, сколько нагпррпльный ряд чисел, т. е. равно>мои>нов с множестволг натрральных чисел, называется счетным. Таким образом, если Х счетно, то между множеством Х и множеством натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие, или, как говорят, можно занумеровать элементы множества Х, понимая под номером каждого элемента х ~ Х соответствующее ему натуральное число.

Счетные множества являются в определенном смысле простейшими бесконечными множествами. Именно справедлива следующая лемма. Лемма. Любое бесконечное множество содержшп счепгнсе подмножество. Действительно, пусть Х вЂ” бесконечное множество. Возьмем какой-либо его элемент и обозначим его х,. В силу того, что Х— бесконечное множество, в ием заведомо имеется хоть один элемент, отличный от элемента х,. Выберем какой-либо из таких элементов и обозначим его х,.

Пусть уже выбраны элементы х„..., х„в множестве Х. Поскольку Х вЂ” бесконечное лшо>кество, то в нем заведомо есть еще и другие элементы; выберем какой-либо из оставшихся элементов и обозначим его через х„„, и т. д. В результате мы получили элементы х„~ Х, и = 1, 2, ..., которыс образуют счетное подмно>кество множества Х.

Характеристики

Список файлов книги