kudryavtsev1 (947411), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Элементарные функции обычно делят на следующие классы. 1. Многочлены (полиномы). Кмногочленамотносятся функции, которые могут быть заданы формулами вида у = Ри (х) = а, + а, х+ ... + а„х" = ~~Р ~а, х*. л-о Если а, + О, то число и называется степенью данного многочлена. Многсчлены первой степени называются также линейными функциями. 2. Рациональные функции (рациональные д р о б и). К этому классу функций относятся функции, которые могут быть заданы в виде Р (х) у'=— 9 (х) где Р(х) и Я(х) — многочлены. 3 Алгебраические функции. Алгебраической функцией называется функция, которая может быть задана с цо- 4,4 Первое олреееленое пределе функциь мощью суперпозиций рациональных функций, степенных функций с рациональными показателями и четырех арифметических действий. Например, функция л — ! является алгебраической функцией.
Заметим, что класс многочленов содержится в классе рациональных функций, а класс рациональных функций содержится в классе алгебраических функций. 4. Трансцендентные функции. Элементарные функции, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными элементарными функциями. Можно показать, что все прямые и обратные тригонометрические функции, а также показательная и логарифмическая функции являются трансцендентными функциями. Еще раз напомним, что в анализе в основном изучаются вещественные функцин от одного илн нескольких вещественных аргументов, поэтому вместо «вещественная функция» будем говорить и писать просто «функция». В тех случаях, когда будут рассматриваться функции другой природы, это или будет оговариваться особо, или будет ясно из контекста.
4.4. Первое определение предела функции Определение 2. Пусть цлункцил ((х) определена на интервале (а, Ь), кране, быть лахсееп, точки хо ~ (а, Ь). Число А называется пределом члункции ! при х — «хо, если )(гп»(х„) = А л «~ для тобой последовптельнос«пи (х„», такой. что х„~(а, Ь), х +хо, и=1, 2, ..., и (ппх„=хо. «-~О. Если такое число А существует, то заварят, ипо функция у = !(х) ил«еет предел в точке хо. В атом случае пишут А= )!гп»(х), или !(х)-+А при х — »х. Из этого определения следует, что функция не может иметь двух разных пределов в одной точке.
Далее, из определения следует, что значении функции ! в точках х, лежащих вне любой фиксированной окрестности точки х„и значение функции ! в точке х«не влияют нн на существование, ни нн величину предела функции / в точке х,, С!тмети»! также, что выражение «функция ! определена на некотором промежутке» не означает, что указанный промежуток яв- 4 4 Функции и их лредеим 2~ Писх ) -1-11л1 хл — 1 2хл+хл+! л 1 Игп и'л — 1 1!Ос х — ! п (при этом мы считали х„Ф1, так как при х=1 рассматриваемая функция не определена). Таким образом, существует Иш ((х„)=1, и так как он не зависит от выбора последователь- -О л ности х„- О, и=1, 2, ..., то существует и !ни 1(х) =1.
к О 2. Г(х)=яп — (рис. 12). Снова рассмотрим вопрос о суще- 1 х ствовании И п1 ) (х). к О Рие. 12 1 Возьмем две последовательности: х„=— 1 н Хсс — + 2ил 2 хи~О, х„'-Ь О, п = 1, 2, .... Очевидно, !них„= !нпх',=О, л лс л и и ~ (х„) = яп пп = О, К (хл) = яп — =1, а 1, 2, ... ляется областью определения функции 1, а лишь что рассматриваемый промежуток принадлежйт области определения данной функции.
2к*+ х — 1 Примеры. 1. Пусть !(х)= ! . Выясним, существует нли нет Ип1)(х), с О Возьмем какую-либо последовательность хлл такую, что Игп х„=О н х„чЬО, пил 1, 2, „„., тогда на основании теорем п. 3.5 имеем 4лс Первое олредекение лрвдвко функции 71 Поэтому Иш г (х„) = 1, «к !пп г(х„)=О и л н, значгп, !пп Г" (х) не существует. к О Замечание.
Пусть функции Г' и д определены на интервале (а, Ь) кроме, быть может, точки х„н пусть г'(х) =- у(х) при х Ф хо, х ~(а, Ь), тогда из того, что в определении предела функции в точке х, участвуют только значения функции в точках хзмх,, следует, что пределы Игпг"(х) и Игпи(х) одновременно к к„ к существуют или нет, причем в первом случае Иш [(х) = Ишу(х).
На этом простом замечании основано так называемое правило раскрытия неопределенностей с поогошью сокращения дробей. Поясним его на примере. (2х +» — П» 3. Найти Игп, . Повторение рассуждений, пиалок О гичных проведенным выше при разборе примера 1, приводит и к выражению — (к неопределенности)„т. е. не дает ответа на О вопрос о сущесгвовании и значении искомого предела.
Однако, 2хк — х+ 1 беря функцию г (х) =, получающуюся сокращением (2хк + к — 11 к на х выражения п(х) =, и, следовательно, такую, что г(х)=д(х) при х+О, вспоминая, что мы уже доказали существование Ипг ) (х) = 1, имеем, согласно сделанному замечаншо, »»О Инга(х)= Иго +, =[ни = Иш((х)= 1. к О -О к О к О Определение 3. Пусть функция 1 определена иа полуинтервале (а, Ь[, кроме, бить лгожегп, пгочки хо~ (а. Ь! (теперь не исклгочается и случай хО=Ь), и пусть существует та ое чггсло В, что, какова би ни была последовательность х„~(а„Ь[, х„«,.
х, и= 1, 2, ..., сходящаяся к точке хо, последовангельность г'(хл), и= 1, 2, ..., сходится к числу В. В вгпом случае число В называется пределом слева функции Г и обозначается !пп 1(х). к к,— О Аналогично определяется предел справа !нп )(х) функции г" (х) к к,+О в точке хо Е[а, Ь).
Именно В= 1пп г (х), если из [пп х„= хо, к- .+О л л« х„)х„х„~!а, Ь), п=1, 2, ..., следует, что Игп г (хл) =В. 4 о. Функции и их пределы В случае х, = О вместо х- о+ о(соответственно вместо х о — о пишут просто х + и (соответственно х- — о). Пределы слева и справа функции называются односторонними в отличие от предела функции, определенного в начале этого пункта, который называется двусторонним пре.
делом. В качестве примера рассмотрим функциюу = з!дп х(см. п.4.1 и рис. 13). Пусть х)О, х(О, п=1, 2, и (пп хо =. И гп х„' = О. и ю и « Рис. РЗ Тогда Ипз з!Них„= Ипз! =-1, Иш з!дпх,',=!Ьп( — 1)= — 1, а «е значит, а Ип| з!цпх= — 1. Игп з!цг1х= 1, «. +о 4.5. Второе определение предела функции Теорема 1. //усть функция /(х) определена на некотгь ром интервале (а, Ь), кроме, быть может, /почки х Е(а, Ь). Для того чтобьс А = Ипз )(х), необходимо и дос/па ното, ипобы выпол- «, нялось следуюи!ее условие: для мобого числа е) О суи(ествует такое число 6 = 6(е)) Оо>, что для всех х из (а, Ь), удовлетворяющих условиям ) х — хо ! 'с 6, х чь хо (4.4) (йх) — А((.. ' (4.6) выполняется неравенс/пво Доказательство необходимости.
Пусть 1пп !(х) = А. Допустим, что условие теоремы не выполняется. Это ««« означает, что существует такое е, ) О, что для любого 6 ) О найдется такое х = х(6)+ х, из (а, Ь), что !х — хо! (6, но 1 ()(х) — А! > е,. Выбирая 6 = — „, и = 1, 2, „рассмотрим последо- /11 вательность хи = х~ — ), и = 1, 2, ..., которая по построению удовлетворяет условиям !. „— хо(( —, х„+х, а=1, 2, 1 (4.6) 1 Здесь запись б = Ь(е) подчеркивает зависимость б от е. Ничего не изменится, есчи во всех подобных случаях просто писать одно Ь, не забывая. конечно, что оно зависит от а.
Ив Второе определение «редело функции (!(х) — А (>-е, п=1, 2, . (4.7) Из (4.6) следует, что йв х„=хо. Вместе с тем, поскольку н к« ео)0, то из (4.7) заключаем, что число А не может являться пределом последовательности )(х,), и= 1, 2, ..., а это противоречит тому, что А= !пп р(х). к к, Таким образом, необходимость рассматриваемого условия доказана. Д о к а з а т е л ь с т в о д о с т а т о ч н о с т и. Пусть число А удовлетворяет условию теоремы. Покажем, что !нп р(х„) =-А н для лтобой последовательности (х,) из (а, Ь), такой, что 1!тп х,=хо и х,+хо, п=1, 2, (4.8) Действительно, пусть е ) 0 фиксировано и 6 = 6(а) выбрано согласно условию (4,4) — (4,5).
Из (4.8) следует, что найдется такое п, что ! х„— х,! ( 6 для всех п > п, поэтому в силу условия теоремы ! 1(хн) — А ! ( е для всех п ~~ п,. Так как в ) 0 произвольно, то это и означает, что !!п~ /(хн) = А. и Теорема доказана. Эта теорема позволяет дать другое определение предела функции в точке, которое будет эквивалентно исходному.
Определение 4. Пусть функция 1 определена на интервале (а, Ь), кроме, быть может, елочки х, ~ (а, Ь). Число А называется пределом функции ! в елочке хо, т. е. А =- 1йп 7(х), если для мобого числа кк е' 0 существует такое число 6 = 6(е) ~ О, апо для всех х~ (а, Ь), удовлетворюощих условию (х — хе!(6, х чихо, (4 0) выполняется неравенстпво ! ) (х) —.А ! < в; (4.10) или, употребляя обозначения окрестностей (см. п. 3.1) А = 1нп ((х), к «к если для любого е ~ О существует такое 6 = 6(е) ) О, что для любого х~(а, Ь) из условий х ~ О !х„б), х + хо (4.1!) у Е. Функции и ик пределы следует усмовие (рпс.
14) 1(х) Е 0(Л, е). (4.12) у „еГ 1с) Для односторонних пределов функции в точке можно также дать новое определение. ! Определение б. Пусть функция 1(х) определена на яолуинперволе (а, Ь! (соответственно на ! а, Ь)). Число В нагывается ггределом слева (справа) х, в х, г„,-г х функции 1(х) в точке х,~(а, Ь! (соотвегпсгпвенно х, ~ (а, Ь)), если для любого е ) 0 сущесгпвует б = 6(е) ) О. такое, что ! г (х) — В ! ( е (4.13) для всех х, удовлетворяющих условию хе — 6 ( х ( хи (соответственно хи ( х ( х, + 6). (4Л4) В эгпом случае пишут В = 1!гп 1(х) (соответственно В = Игп ! (х)), к' кк+О к к„— О а также В = 1(х„— 0) (соотеетппвенно В = 1(хи + 0)). Совершенно аналогично теореме 1 доказывается, что данное определение эквивалентно исходному.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
