kudryavtsev1 (947411), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Аналогично определяется и непрерывность функции на промежутке любого другого вида. Теорема !. (Вейерштрассл>!). Всякая неирерыеная на отрезке функция ограничена. Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное — что существует некая функция [(х), непрерывная па некотором отрезке [а, И, но неограниченная на [а, И. Последнее означает, что для лк>бого числа ем О существует такая точка хе~ [а, И, что ! Йхе) ! ) е. Беря последовательно е = 1, 2, ..., п, ..., получим последовательность точек х„[а, И, для которых ! /(хп) ! )~ а. Согласно теореме Больцано — Вейерштрасса (см.
п. 3.2), из последовательности (х„) можно выделить сходящуюся подпоследоватсльность (хп ). Пусть !!ш х ь — — х„. Из условия а с х,„. б, А=1, 2, ..., сле- идует (см. п. 3.1), что а ( хе «( Ь. Теперь, замечая, что [1(х, )~ > аь н !пп а„=- + со, имеем !!пл! (х„) =се; с другой пл е ° е и стороны, в силу непрерывности функции !" в точке х„(см. (5.3)) !!!и 1(хп ) = ! (ле), в частности, РассматРиваемый пРедел конечен. Полученное противоречие и доказывает теорему. Заметим, что теорема, аналогичная теореме 1, не справедлива для промежутков другого вида, чем отрезок; в этом легко убедиться, ! построив соответствующие примеры. Например, функция у = — непрерывна в каждой точке интервала (О; 1) и вместе с тем не ограничена на нем; функция у = х непрерывна на всей вещественной оси и неограничена на ней.
Теорема 2. (Вейерштрасс). Всякая непрерывная на отрезке функция риееат на залой! отрезке как наибояьнеге, так и кап>пены!!ее значение. До к а з а т ел ь с т в о. Пусгь функция ! определена и непрерывна на отрезке!а, И и М =- зцр г; согласно теореме 1, М вЂ” ко!к. Ц печно. Допустим, что функция ! не достигает своей верхней грани М, т. е. [(х)+ М для всех х ( [а, И. Тогда функция ! тр(х) =- —,„х) непрерывна на отрезке [а, И, как частное отделения двух непрерывных функций с делителслл, не обращающимся в ноль (см. п. 5.2). Но в силу определения верхней грани разность М вЂ” Р(х) может быть сделана сколь утодно малой за счет выбора х, говоря ! [с.
Вейсрштрасс (!В!б — !897) — немеакнй мгпсмалмк. 6.2 Пролекеуго чнме знакения неаргрманад функции 91 точнее: для любого а ) О существует такое хе ~ [а, /з[, что 1 1 О< М вЂ” /(х ) ( е и, значит, гр(х) = ) --. В силу того, 1 е что —, так же как н в, — произвольное положительное число, функция гр(х) неограпичеиа на отрезке [а, /з[, что противоречит теореме 1. Таким образом, существует по крайней мере одна точка $ ~ [а, й[, такая, что Я) =- М.
Если т = [п! 1, то — т = зцр ( — /). Так как — / непрерывна на [е, ь) [и, Ь) отрезке !а, Я (см. п. 5.2), то в силу уже доказанного существует такая точка т) Яа, [з[, что — 1(ц) =- — гп, т. е. Цт)) = т. Теорема доказана. Отметим, что если функция / непрерывна не на отрезке, а на громежутке другого типа и даже, кроме того, ограничена на нем, опа вооб[пе говоря, ие имеет наибольшего и наименыпего значения.
Например, функция у = х на интервале (О; 1) и функция у =- агс1д х на всей вещественной прямой, хотя непрерывны и ограничены на указанных промежутках, не достигают своих верхней и нижней граней. У и р а ж и с н и с 1. Пусть функция / определена и цепрсрввпа па отрезке [и, ь! н Кк) о для всех кб1а, ь), тогда суп[сствуст с>0, ~акое, что /(к) .
с для всех к О[а, Ь!. [).2. Промежуточные значения непрерывной функции Теорема 3. ([коши). Если г/зункция/непрерывна наотрезке [а, /з! и 1(а) =- Л, /(/[) = В, то для любого значения С, заключенного лгезсду Л и В, сутегптвует такая точка $ - [а, /з[, чгпо /К) =С Иначе говоря, непрерывная на оп[резке г/зункция, прин[ьиаюиу[я какие-либо два значения, приникает и любое прол[ежуточ ое, ,Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности 1(а) = = Л ( В ==- 1(/з) и Л ( С ( В.
Разделим отрезок [а, /з! точкой х, на два равных отрезка, тогда либо 1(х,) == С и, значит, искомая точка 5 = — х„найдена, либо 1(х„) + С, и тогда на концах одного из полученных отрезков функция 1 принимает аначения, лежащие по разные стороны от числа С, точнее — на левом конце значение, меныпее С, на правом — большее.
Обозначим мгот отрезок [а„о,! и разделим его снова на два равных отрезка и т. д. В результате либо через конечное число шагов придем к искомой точке 9, в которой Я) ==- С, либо получим последовательность вложенных отрезков [ав, /з, [, по длине стремящихся к пулю и таких, что 1(~„) (с(1(/„). Э б. Свийегви функций, непрерывных ни прииежуааих Пусть $ — обгцая точка системы отрезков (аеа бп1, а=1, 2, (см.
п. 1.1). Как мы знаем (см. и. 3.2), $ =- !![и а„=!нп Ь„. п а а- аа Поэтому в силу непрерывности функции 1($) = !ни 1(а„) =- 1!гп1(Ь„). (6.2) Кз (6.1) же получим (см. п. 3.1) !! т [ (а„) ~( С ( )нп 1 бп). (6.3) Из (6.2) и (6.3) следует, что Я) = С. Теорема доказана. С л е д с т в и е 1. Если грункция непрерьина на отрезке и на его кониах принимает значения разного знака, то на эаюлг отрезке суирствует точка, в которой функция обраи[аегпся в нуль. Это следствие есть просто частный случай теоремы, С л еде т в и е 2.
Нусть Функция 1 непрерывна на отрезке !а, 61 и М = зцр 1, т =- !п! 1. Тогда ерункция 1 принимает побое [а.ь! [а.ь! значение из отрезка (т, М1. Для доказательства следствия 2 заметим, что если М = зпр 1, [а,ь! т = !п! 1, то, согласно теореме 2, суц[ествуют такие точки а ~ 1а, 61 [а,ь! и 11'г !а, 61, что 1(а) = т, 1(Р) = М. Теперь утверждение след- ствия непосредственно вытекает из теоремы 3, примененной к от- резку (а, 1)1, если а < 1), или соответственно к отрезку [1), а1, если р- а. Отметим, что свойство непрерывных функций, подобное рас- смотренному, имеет место для любого промежутка (конечцого или бесконечного). Именно: если непрерывная на некотором промежут- ке функция принимает в двух его точках а и Ь, причем а ( б, два каких-то значения, то она принимает и любое промежуточное.
В самом деле, согласно теореме 3, рассматриваемая функция принимает указанное значение заведомо в некоторой точке отрезка 1и, о], который является частью исходного промежутка. 6.3. Обсигкые сйгсикисис 6.3. Обратные функции Определение 2. Функция 1, определенная на числовом мноясесспве Е, называется пирога монотонно скорастаюсс]ес! (строго монотонно убьсвающесс), если для любых двух чисел х, '- Е и х, Е, такссх, чтю х, ( х„вьтолняеспся неравенство 1(х,) ( 1(хв) (соответственно 1(хг) ) /(хв))- Функция, строго монотонно вюзраспюющсгя или ссггрогю лсюнютонно убывасощая, называется спгрого моноспонной. Теорема 4. Пцспгь функция 1 определена, строго монопгонна и непрерывна на отрезке ]а, 1г], гпогда обраспная функция / — гвг определена, однозначна, сспрого монюпгюнна и непрерывна на отрезке с концами в точках 1(а) и /(Ь). Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем доказательство теоремы для строго монотонно возрастающих функций. Пусть с = /(а), д = — 1(/г).
Покажем, что областью определенияобратнойфункции/ сявляется сегмент [с, д], или, что тоже, что сегмент [с, с[] является множеством значений функции /. В самом деле, из условия монотонного возрастания функции / следует, что /(а) =:: 1(х) ( /[/г), т.
е. что 1(х) С [с, д! для любого х ~с [а, /г]. С другой стороны, каково бы нп было у ~ [с, д], т. е. 1(а) ': у =. 1(6), согласно теореме 3, существует такая точка х;.- [а, /г], что /(х) =- у. Таким образом, все значения заданной функции / лежат на отрезке [с, с[], и каждая точка итого отрезка является значением функции / в некоторой точке. Это и означает, что отрезок [с, д] является множеством значений функции 1.
Покажем теперь, что функции / ' однозначна на отрезке [с, д]. Допустим противное: пусть существует точка у Г [с, д], такая, что множество / '(у) содержит по крайней мере две различные точки х, и хв. Согласно определению обратной функции, зто означает, что /(х,) = /(х,) == у. (6.4) Но так как х, + хм то либо х, ( хм либо х, ) х„но тогда в силу строго монотонного возрастания функции / в первом случае 1(х,) ( /(хи), во втоРоы 1(х,) " 1(х,); и то н дРУгое пРотнвоРечит условию (6.4). Значит, обратная функция 1-' однозначна. Покажем далее,что функция 1 'строго монотонно возрастает на отрезке [с, д]. Пусть ус ~ ]с, д], ув ~ [с, д], у.< угь (6.6) х = — / '(у,) и х,:=/ — '(ув), и, значит, уз=/(хг), ув=/(хв). Для любых двух чисел х, н хв возможно одно из трех соотношений: х, = х„х, л х, или х, < хв. Первые два случая невозможны, ° г Оггрваеггеггггв обрезной фуггкггии ся.
в и. 43. 6 6. Своаввва фянкниих неареривнои на ароивжутках оак как если бы х, =- х„то у, = /(х1) =- /(хз) = ум а если бы хт) хв то у1 = /(х1)) /(хг) = ум и то и другое противоречит условию (6,5). Таким образом, из условия (6.5) вытекает условие х, ( х„ что и означает строгое монотонное возрастание функции / — '. Покажем, наконец, что функция / ' непрерывна на отреаке]с, д].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
