kudryavtsev1 (947411), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Определим теперь степень ал для л!обоп! вещественного х, Э 7. Непрерывность элементарных футткплй 100 Определение 1. Пусепь а > О, а х — произвольное вещественное число. Пусть, далее, (гл) — ттоследовательность раеуюнальных чисел, сходящаяся к числу х (для любого х такая последовательность всегда сущестпвуепт, см. и. д.б).
Положим по определению а"=- йгпатт Это определение корректно в том смысле, что указанный предел всегда существует и не зависит от выбора рациональной последовательности (гл), сходящейся к числу х. Докажем это. Пусть последовательность рациональных чисел (гл) сходится к числу х. Покажем, что последовательность (а'л) удовлетворяет условиям критерия Коши (см.
п. 3.3) и, значит, является сходящейся последовательностью. Для этого нам надо оценить разность )а "л а те~=обе~а л л~ (7.6) Последонательность(г„) сходится и„значит, ограничена (см. п. 3.2), поэтому существует такое число А, которое без ограничения общности можно считать рациональным (почемуу), что — А ( гл < А. Отсюда в случае а > 1 имеем а — ' < а ел . а.", а в случае а ( 1 соответственно а л> а ел > ал, и = 1, 2, ..., поэтому при любом а > О существует такое число В, что а'л <В. и=1, 2, ...
(7.7) (В = ал при а > 1 и В =-а " при а(1), т.е. последовательность а"л ограничена сверху числом В. Далее, по лемме 2 для любого фиксированного е > О существует такое 6 = — 6 ~-), что для всех рациональных г, удовлетворяющих условшо ~ г ! ( 6, выполняется неравенство )а' — 1)(— и (7.8) Из сходимости же последовательности (гл) в силу критерия Коши (см. п. 3.3) следует, что для найденного 6 > О существует такой номер па, что ~ㄠ— г„,! ( 6 для всех п > пб и т > гтб и, значит, в силу (7.8) (а~л От~ — 1)(— В (7.9) Из (7.6), (7.7) и (7.9) следует, что ! а ' — а ' ~ ( е для всех и> п~ и т > пь. Откуда в силу критерия Коши получаем, что последовательность (атл) сходится.
7.2. т1пкпэательная, лпгприфлгггпеекпя и птепенная фггггкггии гог Пусть теперь (т„) — другая последовательность, сходящаяся к х. Покажем, что птоследовательности (а'и) и (а"") сходятся к одному и тому же пределу. Составим новую последовательность гта если п=2й+1, й=О, 1, ..., т„, если и = 2й, Й = 1, 2, .... (7.10) Очевидно, что! пп та = х, поэтому в силу доказанного существует И -> предел !!пг а ". Предел же любой сходящейся последовательности п-~ совпадает с пределом любой ее подпоследоватсльности, поэтому 1ппа'" — — !ппа'" = !!пга"и.
и п й (7 11) а'а ( а" < а"(а'п и, переходя к пределу при п- па, получим а ~( а" а'- ~~ а". (7.12) Корректность определения ак доказана. Определение 2. Пусть задано некоигорое число а > О. Функция а", определенн я для всех х ~ ( — ап, +пп), называепгея показгипельной функцией с основанием а. Согласно определению, 1к = 1 для всех вещественных х.
Этот случай не представляет интереса. Поэтому в дальнейшем будем предполагать а+ 1. Теорема 3. !)оказггтпельная функция а" (а> 0) имеет следующие свойопва. 1. 17ри а ) ! она пирога монотпонно возраппает, а при а ( 1— спгрого лгонотонно убывает на всей числовой оси. 2. а' ° а"== а +" для любых вещественных чисел х и у. 3.
(а")т =акт для любых вещественных чисел х и у. 4. Она непрерывна в каждой точке числовой оси. Д о к а з а т е л ь с т в о с в о й с т в а 1. Пусть для определенности а я 1 и х у. Существуют (почему?) рациональные числа г и г„такие, что х ( т, < г,( у. Выберем какие-либо последовательности рациональных чисел (г„') и (г,') так, чтобы !пп т„' =- х, а 1пп г„" = у и чтобы г„' ( т, ( тт ( г„для всех п =- 1, 2, .... Тогда й 7.
Нспрсрыанос~ь тапа~алтарных фрнх~!нй Таким образом, если х( у, то аг ( ат', что и означает строгое монотонное возрастание функции ах при а ) 1. Случай а ( 1 рассматривается аналогичным образом. Доказательство свойства 2. Пусть !г',) и Я— такие последовательности рациональных чисел, что !!и! г' = х, н- 1!и!г,",=у, и, значит, 1!п!(г;,+г,,)=х+у (см. п.
3.4). Тогда в н а силу определения показательной функции ах+."=-1!пта' "" =-1ппа" 1ппа' =-а'пт. а н чч и ы Заметим, что из свойства 2 следует, что для любого вещественного х справедливо равенство аха ' = аа == 1. Поэтому ! а ах Доказательство свойства 4*'.
Всилуужедоказанной строгой монотонности функции а' утверждение леммы 2 настоящего пункта справедливо (вместе с доказательством) не только для рациональных, но и для всех вещественных й. А именно для любого а > 0 существуег такое 6 = — 6(е) > О, что )а" — 1! ( з для всех веществен н ы х чисел й, удовлетворяющих услови!о ~ й ) ( 6. Пусть к фиксировано, Лу д-ах '' ~' — ах = а'(а~ — 1). Согласно сказантюму, для любого к)0 существует такое 6=6! — '1, что ! о" / )а~' — 1!( — при (Лх!(бам н, значит, ! Лу!=-а'~а~" — 1((а при ~ Лх )(6, что и означает непрерывность функции ах в точке х.
Доказательство свойства 3. Пусть сначала у = — р — целое положительное число; тогда, р раз применяя свойство 2, получим р раз Ьт = * '* ....' †." ' " ! г =. (7.13) ! Сжсйстао 3 Гудст доказано, после доказатсльстаа свойства 4. аа> О~астап, что а' > О прп лктпоп аещестаспаоц х. ьио легко вытекает из саойста ! и В тссрапы 3 к нз того, чю па= ! (ср.
со саойстааыа а" прк рациопальпых гоььзателпх г). 7.2, Поколите.тания, яоеарифничеекая и етеяеннан фрнлиии 1ОЗ 1 Пусть, далее, у= —, где д — целое положительное число. По- Если же у= — —, то р а кр 1 ,„= а ае Р (а ) (их)е Наконец, очевидно, что (а')о = 1 = ио. Таким образом, доказано, что для любого вещественного х и любого рационального г (7. 14) (пх)к ахк Пусть теперь задано еще одно вещественное число у, возьмем какую-либо последовательность (г„) рациональных чисел, сходящуюся к у.
Тогда нз (7.14) для всех п = 1, 2, ... будем иметь (П")"к == П т я. (7 1е) Поскольку !!гпхт„=ху, то, согласно доказаннол выше непрек рывности функции а.", ! пп а"" = ег'к. (?. 16) а ч С другой стороны, в силу определения показательной функции 1пп (а*)' =-(а')т. (7.17) я Переходя к пределу в равенстве (7.15) при и — ~- оо, в силу (7.1Б) и (7.17) получим свойство 3 теоремы 3. Теорема доказана. Г а кк ак Уира ж не нее 1. Доканать, что (аЬ)к=алак и ~ — ! == — длн ттю'1ь7 ь оиж а>0, Ь>0 и некиего к. кажем, что (ак)е =ае, т.
Е. что ае являетсн корнем о-й степени из числа а'. Для этого согласно определени1о корня, надо к те доказать, что (ае/ =а"; это же сразу следует из доказанного равенства (7.13). Пусть теперь у = —, р и т) — положительные целые, тогда, сор гласно уже доказанному, Р 1 1 кр (и )» — ((а )р!" =(а а)ч — и е . 4 7.
Непрерывность элементарных фуннчао 104 Определение 3. Функция, обратная к показательной функцш, у = а" (а ) О, а о!о 1), называется логарифмическол и обозначается у = 1од, х. Если а = е (см. п. 3.2), то вместо у = 1оп,х пашут!. просело у =- 1п х. Теорема 4. Функция у =!од, х, а) О, а+ 1, определени длх всех х ) О и является на впюм мноэкестпве строго монотонной (воз. раапающей при а ) ! и убывающей при а( 1) и непрерывной функ. цией.
Д о к а з а т ел ь с т в о. Надо прежде всего доказать, что мно жеством значений функции у = а' является множество всех положи. тельных чисел. При а ) 1, в силу непрерывности и строго монотон. ного возрастания функции у = а', это означает (см. п. 4.8), что йгпак=+на, 1нпак=О. (7.18) Так как а =- а — 1 ) О, то, раскладывая (1ьиа)н по биному Ньюто- на н отбрасывая все члены (которые положительны), кроме второго, получим ан=:(1+а)" = — !+па+ "(а 1 а'+ .)ап, 2 и, следовательно, 1пп а" =. + оа. н + Отсюда, ! пп а =- — =- О. и +оо !!1П ан н- +о Если теперь а . 1, то Ь = — )! ! а Таким образом, (7,18) доказано. и 1!гпах =- 1!и! — =- ! ! к-о-~-о к-ое ак !!та Ек к + ! = О, Игп ак= = -1- оо.
!!п1 ак к- °вЂ” Из доказанного следует (см, и. 6.3 и теорему 3 этого параграфа), что как в случае а ) 1, так и в случае а ( 1 множеством значений фу.нкции а', а значит, и областью определения обратной функции у = !одохявляется полупрямая (О, -',-о ).Этны, в частности,доказано существование логарифма для любого положительного числа. Все другие утверждыщя теоремы 4 непосредственно с!едук!г из теоремы 5 п. 6.3 и теоремы 3 настоящего параграфа. При этом, поскольку пределы (7.18) существуют (см.
п. 4.8), достаточно доказать, что 1пп ак" = +аа (соответственно Вгп акн = О) Е"' и хотя бы для одной последовательности (х„), которая стремится к +ао (соответственно к — аа). Г!окажем„что при а) 1 !!гпа"=-+ос, 1ипа — "=О. к +~ е - ° -т 105 г 3. Гтавнометричеекие функции Определение 4. Вусгпь задано неко>парсе весцественнсе число а. Функция ха, определенная для всех х) О„называеп>ся плененной функцией с показателем а.
Теорема б. Степенная функция ха непрерывна при всех х ) О. Действительно, х"==е" '" ", т. е. х" есть суперпозиция показательной функции е' и логарифмической функции, умноженной на постоянную: и == а!п х. Показательная и логарифмическая функции непрерывны (см.
теоремы 3 н 4), поэтому, в силу теоремы о непрерывности суперпозиции непрерывных функций (см. г.. 5.2), функция ха также непрерывна. Теорема доказана. При рассмотрении функции у = х" предполагалось, что х ) О, так как выражение ха при х( О пе для всех а имеет смысл в вещественной области. Однако, если а рационально и х" имеет смысл прн в х (О, например, у = >Р, у = — „у = ~Гх, то функция у = х" будет при а ) О непрерывна на всей вещественной оси, а при а ( О на всей вещественной оси, кроме точки х = — О. При х+ О это легко следует из теоремы 5, так как функция у = = ха если она имеет смысл и для всех х ( О, всегда является четной или нечетной функцией, а если четная или нечетная функция непрерывна при х ) О, то опа непрерывна н при х( О (почему?).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
