kudryavtsev1 (947411), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

к Ь вЂ” О (а,Ь) к а+О (а, ь! Лок азател ьство. Пусть функция / монотонно возрастает на интервале (а, Ь). Если А=-зцр/(+со, то, согласно опреде(а. Ц пению верхней грани функции (см. п. 2.! и 4.!), для всякого фиксированного е )О существуег такое х, О (а, Ь), что А — а <. /(хе» (А. Г!оложим Ь = Ь вЂ” х . Тогда в силу монотонности /(х))~/(хв» для любого х)х, а в силу определения верхней грани /(х) < А. Таким образом, если Ь вЂ” Ь х( Ь, то А — а(/(х) < А.

Это в силу произвольности в и означает, что Игп /(х)=А. «-Ь вЂ” О Если знр /= + Оо, то для любого фиксированного е сущест(а. О) вует такое х, ~ (а, Ь), что /(х )) О. Положим снова Ь= Ь вЂ” х тогда в силу монотонности /(х)) /(хв) ) а для любого х. такого, ч го хе = Ь вЂ” Ь < х ( Ь, а это и означает, что !нп / (х) == + Оо. к-Ь вЂ” О /)па.логично доказываются и другие утверждения теоремы. Определение 8. Пусть функция / определена на число- вом множеопве Е. Функция / назьвается л(окатанно возрастающей (монотонно убывающей) на Е, если для любых х) (- Е и хе О- Е, таких, юпо х, ( хи выполняется неравенслпво /(х,) < /(хз) (соотаетсгпвенно /(х,) > /(хз)).

Теорема 5. Если функция /монопюнно возрастает на интерва- ле (а, Ь), то в точках а и Ь у функции / существуют (конечные или бесконечные) одностороннле предель) и (пп /(х) = зцр /, (»гп /(х) =- )и! /, -Ь вЂ” О (а и к а+О (а. О) «.Д Критерий Коша существования предела функции 81 С л е д с т а и е. Моносссоннсся на интервале гуункс(сся ! илсест ко. нвчнысс предел кгск справа, псак и слева в каждой точке много интервала.

Действительно, если функция !" монотонно возрастает (убывает) на интервале (а, Ь), то, каково бы ни было хв с- (а, Ь), 1(х,) ()(ха) < ! (хв) для лксбыд х, ~ (а. х„) и х,(х„Ь) (соответственно с (хс) )~ !" (ха) )~ !" (хв)). 11оэтому зцр с ~ с(ха) < !п1 1 Са, ка Ска, ц (соответственно !п() > 1(х ) > зцр !), т. е. пределы !!пс 1(х) Са. каС са„.

М к ка+О и !!ш ) (х), существующие согласно теореме 4, конечны. к к„— О У п р а ск н е н и с 7. Доказать, что теорема 4 остается справедливой и в случае, когда интервал (о, Ь) бесконечен. 4.9. Критерий Коши существования предела функции Применяя термин «окрестность», понятие предела для различных случаев можно перефразировать единым образом. В дополнение к введенным ранее в п. 3.1 и ЗА понятиям окрестности числа и символов оо, +оо и — оо введем еще понятие односторонних окрестностей числа х„(вотличие от обычных окрестностей, которые естественно назвать двусторонними), а именно 6-окрестность слева 0(х„— О, 6) определилс по формуле 0 (ха — О, 6) =- (х: х, — 6 к.

х < х,', 6 > О, и 6-окрестность справа 0(х„+О, 6) — по формуле 0(ха+0,6)=(х:ха~~х(х,+6), 6)О. Теперь сформулируем определение предела функции с помощью понятия окрестности. Определение 9. Величина А (т. е. асислс или один из символов оо, +со, — оо) называепсся пределом функ«(ии 7 при х — а (ада а — число хв или сдан из символов х, + О, х„— О, оо, +со, — оо), если для любой е-окрестности 0 (А, е) величины А существует такая 6-окрест- но ть 0 (а, 6) величиньс а, что !(х) с 0 (А, е) для всех х ~ 0 (а, 6), хна (в случая«а = ха + О и а = ха — О последнее условие понимавлсся по определению как х+ х,). Нетрудно убедиться, что это определение содержит в себе в качестве частных случаев все данные раньше определения соответствующих пределов функций. Введение такой терминологии позволяет упрощать доказатель.

ства теорем о пределах функции, проводя ид единым образом, для 4 в. Фггпксгггь п сгх пределы двусторонних н односторснних, для конечных и бесконечных пределов функций независимо от того, стремится аргумент к конечному или бесконечному прелелам. Как и в случае предела последовательности, можно получить необходимое и достаточное условие того, что функция 1 имеет предел при х — а, не используя самого значения предела, а в терминах лшпь значений самой функции в окрестности величины а. Сформулируем зто условие, пользуясь понятием окрестности, чтобы прн нх доказательстве це разбирать отдельно случаи, когда а является чггслоы хп и когда а является одним из символов оь, — ою, +со, хв+ О, хь — О. Определение 10.

Пусть 4ункция 1(х) определена в некоторой окрестности величины а, кроме, быть может, х = и, (если это имеет смысл, т. е. если а = хп — число),-Будем говорить, чгпо функция 7 при х — а ус)овлетвюряет услювиго Коши, если для лкгбюгю числа е ) О сугцеапвует гггсгксе число б =- Ь(е) О, что [1(х) — 1(х)! ( едля любых х~О(а, б), х'(-0(а, б) и х+ а, х'+ а. Теорема (1. (критерий Коши). Для спюго .ипобы функция имела кюнечньиг предел при х -и а, где а — либо числю х, либо один из символов сь, + оп, — сю, хп + О, хв — О, необхсхгссмю и достаточно, чтюбьг оню удовлетворяла услювссю Коши сгри х — а. Доказательство необходимости. Пусть 1пп 1(х) = А, тле А — число.

Это означает, что для любого е ) О х и сущсствуег такое б = б(~1 гО, что для любой точки х~ 0(а, б), х+а, [1(х) — А [(е. (4. 16) Пусть х ~ О(а, б), х' ~ 0(а, б), х+а, х'+а, тогда в силу (4.16) ! ) (х') — ) (х) ! = ! [) '(х') — А [+ [А — )(х)] ! ( 2 2 < ! ) (х ) — А ! + ! [ (х) — А ! < — + — = е т. е. условие Коши выполняется. Доказательство достаточности. Пусть после. довательносгь (х„) такая, что Иш х„=а, х„+а, и=1, 2, ....

(4.1?) Покажем, что послеловательность 1(х,), и = 1, 2, ..., сходится. Пусть фиксировано е ) О. Согласно условию Коши, сушествует такое б = б(е) ) О, что для всех х Г 0(а, б), х' ~ 0(а, б), х+и, х'~а, (4,16) 4З. Критерия Кеми суагеетаевечия иредела гууихиич выполняется неравенство 1((х') — ((х)< (е. и.

рйэ В силу условия (4.17) для окрестности 0 (а, 6) существует такой номер им что х„~ 0(а, б) при и )~ иг.„поэтому при любых и > иг и ги > ггг х„( 0(а, й), х ( О(а, й), и, значит, в силу (4,18) и (4.19) условие <г(х ) — г(х„) <(е, т. а. последовательность (г(х„)) уловлетворяет условнго Ко!пи для последовательностей и потому сходится (см. п. 3.2) к некоторому числу В: ( 4.20) 1'пп т(х„)=В.

и Покажем тепергь что 1пп !" (х„) = В, какова бы ни была лругая послеловатсльность <х„<. такая, что !пих„= а, х,+а, и=!, 2, .... и Действительно, образуем новую послеловательность (4.21) х „если гг= 2/г+ 1, /г=О, 1, 2, ..., хл = х„, если и=2й, й=1, 2, .... 1(ш)(х,,) = Вш((х,",) = Вт((х„). 6 е Таким образом, согласно определению предела функции (см. п. 4А), Игп !'(х)=В. Критерий Коши для функций доказан. Очевидно, ! пп х„= а н х, чь а лля всех и = 1, 2,.... Поэтому л по доказанному существует предел !1ш ! (х„), а так как предел и любой сходящейся последовательности совпадаег с пределом любой ее подпослеловательностп, то й 5 Нгюягпывност» фу»кино е точке В случае, если а = — хе является числом, то условие Коши моною перефразировать следующим образом: для любого е ) 0 существует такое 6 =- 6(е) ) О, что ~ )(х') — !(х)! ( е для любых х и х', удовлетворяющих условиям ! х — х,! ( 6, ! х' — х, ~ ( 6, х + х„х' =,'- хе.

В случае же когда а =- оо условию Коши можно придать следующий внд: для любого е ) 0 существует тзкое 6 =- 6(е) . О, что !1(х') — !(х)! ( и для любых х и х', удовлетворяющих условшо !х! ..» 6, !х'! > 6. Следует отметить, что эти два критерия существования предела функции, относящиеся к разным случаям и имеющие разную формулировку, благодаря удачно выбрашюй терминологии (понятию окрестности) получили единое доказательство. для случая односторонних пределовю условие Коши можно перефразировать без терминов окрестности следующим образом: для любого е > 0 существует такое т! = т!(е), что ! !(х') — г(х) ! ( е для любых х их', удовлетворяющих условиют)( х ( а, т) ( х' ( а в случае предела слева и соответственно а ( х ( т), а ( х' ( т) в случае предела справа, 4 з.

нц!!рнрывность фрикции в точки 5.1. Точки непрерывности и гочки разрыва функции Определение 1. Функция й определенная на инплервгьее (а, Ь), называвпюя непрерывной в точке хе ге (а, Ь), если !нп !(х) =1(хе). (5.1) Х ХО Согласно определению предела функции в точке(см. п. 4.4), это утверждение равносилыю тому, что для любой последовательности х„, и = 1, 2, ..., х„~ (а, Ь), такой, что Ит х„=- хе, (5.2) л последовательность (1(х„)) сходится и ! пп ) (х„) = ! (хе). (5.3) Согласно же определению предела функции в точке(см. п. 4.6), условие (5.1) равносильно условию: для любого е > 0 существует такое 6 = 6(е) > О, что для всех х, удовлетворяющих условию !х — хе!(6, (5.4) '~ Мм, естественно, причисляем понятие пределе функции при к-» + се н л -» — и к понятию одностороннего предела.

дд Точки нсврерыаностн н точки разрыва фанкиси 88 выполняется неравенство (рис. 15) [/( ) — /(..и <е (5.5) Отметим, что при этих определениях непрерывности функции в точке ха в условиях (5.2) и (5.4) опусцено требование х + х„так как н данном случае оно является лишним (почемур). щ)+ Упраскнессие Н /(окааать, что если в определенаи предела функции / в точке х, в смысле п. 4 4 или п. 4.5 отбросить условие х чь хм то мы получим Г/Ха) определение нейрерыввости функции / в точке ха.

Напрамер, если функпия /(х) определена на интервале (и, о), хап(а, Ь) и если существуетчисло А, обладающее свойством, что для любого е > О существует такое Ь = б(ен что 1/(х) — А [ ( е для всех х, удовлетворяющих условию (х — ха[ей, то функция / непрерывна в точке х,. Определение непрерывности функции / в точке х„можно еще перефразировать так: функция /(х) непрерывна в точке х„если, какова бы пи была заданная степень точности е ) О для значений функции, существует такая степень точности для аргумента 6 = 6(е), что коль скоро мы возьмем значение аргумента х, равное х, с точностью 6, т. е.

Характеристики

Список файлов книги