kudryavtsev1 (947411), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Числовая функция 1, определенная на множестве Х, называется ограниченной сверку (ограниченной снггзц), если множество ее значений ограничено сверху (снизу). Иначе говоря, функция 1ограничсна сверху (снизу), если существует такая постоянная М„что для кажого х(- Л выполняется неравенство 1(х):б М (соответственно 1(х) )~ М). Функция 1, ограниченная на множестве Л как сверху, так и снизу, называется просто ограниченной.

Очевидно, что функция 1 ограничена на множестве Х в том и только том случае, если существует такое число М ) О, что ', 1(х) ~ < М для каждого х — 'Х. Верхняя (нижняя) грань множества значений )' числовой функции у = 1(х), определенной на множестве Х, называется верхней (нижней) гранью функции 1 и обозначается зпр1. знр(, знр1(х) ((п11, 1п((', !п(1(х)). яех к сх Более подробно это означает, что, например, Л = зцр 1, если, во-первых, для каждого хс-Х выполняется неравенство 1(х) < ). и, во-вторых, для любого )с' С), существует такой х, - Х, что 1(хх ) ) ),'.

Индекс Л' у элемента множества Х показывает, что он зависит от выбора числа )'. В приведенном определении верхняя (нижняя) грань функции может быть как конечной, так и бесконечной. Согласно результатам п. 2.1, функция 1 ограничена сверху (снизу) на множестве Х тогда и только тогда, когда она имеет на этом множестве конечную верхшою (нижшою) грань.

У и р а >к и е и и я. П доказать, что если фуикпия 1 пе огравичсиа сверху (соответствепио снизу) иа отрезке (и, Ь), то существует такая последовательность точек хи Б(а, Ь), и =- Ц 2, ..., что»гп> 1(хя) = +:о (соответствевио я Н>щ 1(хн) =- — х). 2.

Доказать, что если фуикпия ие ограиичеиа ва отрезке, то существует точка этого отрезка, в каждой окрестности котороя фуикпия ие ограпичева. Будем говорить, что числовая функция 1, определенная на множестве Х, принимает в точке хе ~ Х наибольшее значение (соответственно наалгеньшее), если 1(х) ( 1(х ) (соответственно 1(х) )~ 1(хе)) б 4. Функции и нх пределы для каждой точки х~ Х.

В этом спучае будем писать /(х ) = п1ах / х или /(х„) =- шах / (соответственно /(х„) = ш!и / или /(х„) = ппп /)е1. х Очевидно, что если функция / принимает в точке хе наибольшее (наименьшее) значение, то /(х„) = зцр / (соответственно /(х,) = !п1 /). Иногда приходится иметь дело с функциями /(х), определенными на некотором множестве Х, значениями которых являются некоторые подмножества множества У, т. е. когда казкдому элементу х:,— Х ставится в соответствие некоторое множество /(х)с: 1', и тем самым множеством значений функции является совокупность некоторых подмножеств множества У.

В этом случае говорят, что на множестае Х задана многозначная функция /(х) со значениями в множестве 1'. Если каждое /(х) состоит только из одного элемента ус~ У, то получится однозначная функция. Многозначные функции естественным образом возникают, например, при рассмотрении так называемых сбраепнмх функций. Определение 1. Пусть на леножеспве Х определена функция / и пусть У вЂ” множество ее значений. Обозначиле через / '(у) полный прообраз элемента у ~ У, т.

с. / — ' (у) =- (х: х ьс Х, / (х) = у). Тогда функция, определенная на У и спеавяецая в соп~ветствив каждому ус У л~ножество / — '(у)с:Х, называется обратной н / и обозна«астся / — '. Обратная функция /-" является, вообще говоря, многозначной функцией, но, конечно, в частном случае она может быть и однозначной. 4.2. Способы задания функций В дальнейшем в основном будут изучаться однозначные вещественные функции одного вещественного переменного. Поэтому остановимся па способах задания только таких функций.

Прежде всего, функции могут задаваться при помощи формул: аналитический сехоб. Для этого используются некоторый запас изученных и спецналыю обозначенных функций, алгебраические действия и предельный переход. Например, у =- ах+ Ь, у = ах', у = ыпх, у = )е! — ха, у = 1+ уе!дсозпх.

ю Наибольшее (нанменынее) значенне функцнн называется также ее мпкепмальпым !миппмальпым) епачепнем. Макснмалъные н мнннл~ааьные значения нааыааютсн екетпрел~альнымн. 4.В Способы задания функций Иногда приходится функцию задавать с помощью нескольких формул, например, 2" для х)0, у=)(х) = 0 для х=О, х — 1 для хк. О. 14.1) Функция может быть задана также просто с помощью описания соответствия. Поставим в соответствие каждому числу х) 0 число 1, числу 0 — число О, а каждому х к., 0 — число — 1. В результате получим функцию, определенную на всей вещественной сан и принимающую три значения: 1, 0 и — 1.

Эта функция имеет специальное обозначение з!пп х". 1 для х)0, з)йпх= О для х=О, — 1 для х к" О. «! 5!Квант — па-латина означает «знака, Другой пример: каждому рациональному числу поставим в соответствие число 1, а каждому иррациональному — число ноль. Полученная функция называется функцией Дирихле. Следует отметить, что всякая формула является символической записью некоторого где-то описанного ранее соответствия, так что, в конце концов, нет различия между заданием функции с помощью формулы или с помощью описания соответствия; это различие чисто внешнее.

Следует также иметь в виду, что всякая вновь определенная функция, если для нее ввести специальттое обозначение, может служить для определения других функций с помощью формул, включающих этот новый символ. Если речь идет о вещественных функциях одного аргумента, то для наглядного представления о характере функциональной зависимости часто строятся графики функций. т"рафиком Функции у = 1(х) (х и у — числа) наааваептся геометрическое место !почек на плоскости с координатами (х, 1(х)), х~ Х (Х вЂ” как всегда, область определения функции).

Так, например, график функции (4.1) имеет вид, изображенный на рис. 1О, а график функции у = 1+ 'Ус!асов пх состоит из отдельных точек (рис. 11). С другой стороны, графическое изображение функции также может служить для задания функциональной зависимости. Правда, зто задание будет приближенно, потому что измерение отрезков практически можно производить лишь с определенной степенью точ- й й, Функции и их пределы ности. Примерами графического задания функций, встречающимися на практике, могут служить, например, показания осциллографа. Наконец, функцию можно задать с помощью таблиц, т. е.

для некоторых значений переменной х указать соответствующие значения переменной у. Данные таблиц к!огут быть получены как непос(едственпо из опыта, так и с Рпг. !! Рпс. /О помощью тех нли иных математических расчетов. Примерами такого задания функций являются логарифмические таблицы и таблицы тригонометрических функций. У пр аж не н не 3. Построить графики функций: о у=2х+1, у=ох+Ь, у=- —, у=2ха, х ' 1 у=оха+Ьх+с, у=2", у= —, у=!йх, у =- !ой! х, у = а!о 2х.

у = 2 соа (Зх -1- 2) -1- 1, ! у= 12 Зх. у= — с!я 2х, у=-. агс глох, 2 у= 3агссокх+ 1, у= агс!ах, ха+ 1 ха(х — 1)а у= . ° у= х — 2' х+! Рассмотрим более подробно некоторые специальные аналити- ческие способы задания функции. Н е я в н ы е ф у н к ц и и. Пусть дано уравнение вида Е(х, у)=-0, (4.2) г. е.

задана функция Е(х, у) двух вещественных переменных х и у, н рассматриваются только такие пары х, у (если онн существуют), зля которых выполняется условие (4.2). вт Е.й Ся<>совы»ад<>яия функцн<! Пусть существует такое множество Х, что для каждого х»с Х существует по крайней мере одно число у, удовлетворяющее уравнению г(хм у) =- О. Обозначим одно из таких у-ков через у, и поставим его в соответствие числу х» с Х.

В результате получим функцию 1, определенную на множестве Х и такую, что г(х„!(х»)) =- О для всех х,-' Х. В этом случае говорят, что функция !задается неявно уравнением (4.2). Одно и то >ке уравнение (4.2) задает, вообще говоря„не одну, а некоторое множество функций. Функции, задаваемые уравнениями вида (4.2), называются функциями, заданными неявно, или просто неявными фднкцияяи, в отличие отфункций, задаваемых формулой, разрешенной относительно перел<енной у, т. е. формулой вида у == ((х). Термин «неявная функция» отражает не характер функциональной зависимости, а лишь способ ее задания.

Одна и та же функция может быть задана как явно, так и неявно. Например, функции !»(х) = )" 1 — х» и !»(х) = — — у 1 — х' могут быть заданы также и неявным образом с помощью уравнения х' + у" — 1 =- О в том смысле, что они входят в совокупность функций, задаваемых этим уравнением. С л о ж и ы е ф у н к ц и и. Пусть заданы две функции у =!(х) и г=- г(у), причем область задания функции г" содержит область значений функции /, тогда каждому х из области определения функции ! естественным образом соответствует г, такое, что г== Г(у), где у = 1(х). Эта функция, определяемая соответствием г = Л>(х)), называется сложной ф!>нкцией, или с!>перлозицией ф1>нкций / и Г.

Сложная функция отражает ве характер функциональной зависимости, а лишь способ ее задания: может случиться, что одна и та же функция может быть задана как с помощью суперпозиций каких-либо функций, так и без их помощи. Например, сложная функция г = 2», у = 1од» (1+ ейп» х), заданная с помощьюсуперпозиций показательной и логарифмической функций, может быть задана и без этой суперпозиции г =- 1 -1- з!п» х. Подобным образом можно рассматривать сложные функции, являющиеся суперпозицией более чем двух функций, например, функ! цию и> = з!и!й(1+ — 1 можно рассматривать как суперпозицию >г х! следующих функций: ! и<=а!по, о=!йи, и=1+г, г= —, у= ух, у у е, Функции и их пределы 4.3. Элементарные функции и их классификация Функции: степенная у = л"', показательная у = а" (а)О), логаригрмнческая у = 1ори х (а ) О, а+ !), тригонометрические у = гйп х, у = сов х, у = (ух, у =- с1пх и обратные.

тригонометрические у= агсзггг х, у = агссоз х, у = агс1п х и у = агсс1д х, постоянные у=с называются основными элелгентарными функциялш. Всякая функция, которая лголсет быпгь явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифлгетических операций и сггперггозиций основных элементарных функций, называется просто элементарной функцией. Под областью существования элементарной функции, заданной некоторой формулой, обычно понимают множество всех вещественных чисел х, для которых„во-первых, указанная формула имеет смысл, и, во-вторых, в процессе проведения всех необходимых вычислений по этой формуле получаются только вещественные числа. Например, областью существования функции 1(х) =,+1 (эта функция элементарная, ибо ~ х! = )' х' — элементарная функция) является интервал ( — 1; 1), хотя эта функция н принимает вещественные значения па полупрямой х < '! с евыколотой точкогй» х = — 1.

Характеристики

Список файлов книги