kudryavtsev1 (947411), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В силу этого из (3,9) следует, что Ияг ло хл а Ищ — = — = „„„у„д 11пг у„' Аналогично рассматривается случай, когда Ь ( О. 3 а лг е ч а н и е. В случае последовательностей, имеющих бесконечные пределы, утверждения, аналогичные 1 — 4, вообще говоря, не имеют места. Например, пусть х„=п-)-1, у„=п, п=1, 2, ..., тогда Ип1 х„= и = И гп у, = + оо и И гп (х„— у„) = 1. и .' и Если х„=2п, у„=л, п=1,2,..., то Игпх„=!ппу„=+оп и и л !1гп (хл — у„) = + оо.
л о пя Если же х„.= и+ з) п —,, у„— — и, п =- 1, 2, ..., то 1пп х„=.. И пг у„= и сп лая = -1 оо, а последовательность х„— уа=яп —, п=-1, 2...,, не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. Эти примеры показывают, что при одинаковых предположениях относительно последовательностей (х„) и (у„), имеющих бесконечные пределы, для последовательности (х„— у„) могут встретиться самые дд Свойства пределов разнообразные случаи. Вместе с тем отдельные обобщения свойств 1 — 4 на случай последовательностей с бесконечными пределами все-таки имеют место.
Например, если Ищ х„=+со и 1Ип у„=+ос (или Иьп у„— конечен), чо Игп (х„+уи) =+се (рекомендуется доказать самостоятельно). У ира живи ие 14. Если 1йпхи=+ее, и исслелоиительиость (у„) и с огрииииеии, то !1ги(х„ -1- у„) = + ее и-» Пример. Пусть а ) О, хв.> О и х„=-в(х, ~+ ), п=1,2, 1 / а х и — ! Очевидно, что х„ьО для всех п=О, 1, 2, .... Докажем, что х„> уха, п=1, 2, ..., т.
е., согласно (3.10), что (3.12) Так как хв , )О, то неравенство (3.12) равносильно неравенству х„' ~ — 2х, ~ уха+а> О, это неравенство очевидно, ибо х„', — 2х„, 1/а+а=(х„, — у/а)' 'э О. Таким образом, неравенство (3.11) доказано. Покажем теперь, что псследовательиость (х„) монотонно убывает. Действительно, п=-2, 3, ..., т.
е. х„~>х„, п=-2, 3,„.. Итак, последовательность (х„) ограничена снизу и монотонно убывает, поэтому, согласно теореме 3, она имеет предел. й Д Предел последоаагельпосг~ Г1усть (пт1ха=х. Переходя к пределу в равенстве (3.10) пр!.
а -ь со„ получнм откуда се =а, т. е. х-..= ф~а. Формула (3.10) может служить для приГлчиженного вычислении значений квадратного корня из числа а. Она действительно примени. ется на практике с этой целью, в частности, при вычислениях на оыстродейству!оц(их счетных маптгп1ах. Нетрудно подсчитать и точность, с которой п-е приближение„т, е член х„, дает значение корня Предварительно заметим, что если х„=- у' а, то из (3.10) получим 2х„! э/а = х„! + а, отк)да (хп ! — 1'а) = О, т. е. х„! — — Уа; пРодолжаЯ этот пРоцесс дальше, получим в конце концов хэ — -- Гга Поскольку нас интересует оценка отклонения хп от числа )/а, естественно предположить хе + Э а, т е.
что нам неизвестно точное значение корня и что мы выбралн наугад исход. ное его приближение хе, в этом случае ха ~ Уа, поэтому. согласно неравенству (3.11), ха> 1/а, п=!. 2, (3П Р) Займемся теперь искомой оценкой погрешности приближенпя. Имеем хп+~ «и 2 ~(хп х — !)+а(~ х )~= 1 / а 2(п "и — 1)1 х хп — ! хп/ Из неравенства (3.11') следует, что а 0< <1, п=2 3, хп 1 ха поэтому )хе+1 — х„!< — !хп — хп !), п.=2, 3, 1 Применяя это неравенство и — 1 раз, получим 1 (х„+! — хп ) < — „, )хз — хт(, п = 2, 3, Дб.
Изоброниное неи!егтиеннмх чисел деснтичнмни дробили Теперь ! „+,— „1= Ихи+р — и+,)+(х,+,— и+ . )+" + р — 1 р — > ~ч 1 + (хи+, — хи) ) < У ) хи+о, — х„еа) < т „„„,, ! х, — х,( < =о -о ' 1 ! ха — х, ! 1 1 —— 2 жи 1 а=о Переходи н атом нераоенстее к пределу при р ои, получим ~ )гга — х„) < „,, л= 2, 3, ! ха х>1 Это и есть требуеман опенка погрешности л-го приближении. Упражнение 15. Пусть ои>0, Ь„>0, о +Ь и — 1+ л-г ои т ~и — ! Ьи — 1 Ьи 2 л=1, 2, Доказать, что последооательоости (ои) и (Ьл) стремятся к одному и тому же пределу о и что )Ье — ио ! 1Ьо — пе ! 0<о — пи < 2гг, 0<Ьи о < ви 3.6.
Изображение вещественных чисел бесконечными десятичными дробями 11 )т.= [ао ат! ао ах+101 где а, обозначает номер отрезка, т. е. одну из цифр О, 1, ..., 9. Пусть задано какое-либо число а, для определенности а > О. В силу свойства Архимеда существует целое число и„.> а. Среди чисел п = 1, 2, ..., п„возьмем наименьшее, обладающее свойством и > а и обозначим его а„+ 1, тогда а < а ( а + 1. Разобьем отрезок [аси а„+ 1) на десять равных отрезков, т. е. рассмотрим отрезки ~ао, а,; аси а, + ц где а„= О, 1, 2, ..., 9. Возмо>кны два случая: либо точка а не совпадает ни с одной точкой деления (рис.
7), либо точка п совпадает с одной из точек деления (рис. 8, 9). В первом случае точка а принадле>кит только одному из этих отрезков. Обозначим его через Ю 8. Предел ооследоеотельвости 48 Во втором случае точка а может принадлежать двум соседним отрезкам. Тогда через 1, обозначим тот из нпх, для которого точка а является левым концом. Разобьем счрезок Тх в сво!о очередь на де! ! сять равных отрезков и через Те = ~а„а,ае; а„, а,а, + — о,~ обозна- Рис.
8 Рис. 7 Рис. У а <а --а„ а„< ась!, аь ь! ( а„, (3,14) ! ал аао = щл (3.15) В случае, если а» 'О, то, полагая Ь= — а, определяем а„= — Ьте а„= — Ьо. (3.16) Лемма 1. Каково бы ни было число а, последовательность (а„) монотонно возрастает, а последовательность (а„) монотонно убывает и 1пп а„= (пп с!„=а. (3.17) чнм тот из получившихся отрезков, который содержит а и для которого точка а не является правым концом. Продолжая этот процесс, получим систему вложенных отрезков 1„= ~а и а„~, и = 1, 2, ..., ! где а„=ао, ахае .. а„, а„=а, а,а, ... а„+ — „„, а а„— одна из цифр 0,1,2,...,9.
Конечные десятичные дроби а, и а„называются соответственно ниясней и верхней подхсдяи!ей десят очной дробью порядка и для числа а. Они обладают следующих!и свойствами, непосредственно вытекающими из их определения: Дб. Ояабяаженае ее«яеегаеннмх чисел дееягнннамн драбяма С л е д с т в и е. Всякое еещеююгаеннюе числю являеягюя пределом лююледюаютеяьноппи роииюнияьных чисел. Действительно, неравенства (3.13) и (3.14) означают, что в случае а - О последовательность (и„) монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность (ю,) монотонно убивает и ограничена снизу.
Поэтому существуют пределы!пп а = и и!пп а„= и. Перел а ходя к пределу при и — «аю, из неравенства (3.13) получим, что и < а < и, а из равенства (3.15), что и — а = — О, т. е. а = а = а. Итак, (3.17) в случае а,«О доказано. Для а < О оно непосредственно следует из (3.16). Следствие леммы вытекает из того, что и и а„суть рациональные числа. Пусть теперь снова а ~~ О и ан =- аа, а,а,...
а„. Поставим в соответствие числу а бесконечную десятичную дробь па, ага,...а„.... Подчеркнем, что здесь иа является неотрицательным целым числом, а и„, и =- 1, 2, ...„— одной из цифр О, 1, 2, ..., 9. ! Длины отрезков 1н = (а„, и„! равны — „и потому (почему?) стремятся к нулю при и -«аю, поэтому число а является единственным числом, принадлегкащим всем отрезкам 1н, л =- 1, 2, ....
Отсюда следует, что при указанном соответствии разным числам соответствуют разные десятичные дроби, т. е. отличающиеся хотя бы одним ан (я=-О, 1,2, ...). Заметим далее, что при нашем построении не может получиться дробь с периодом, состоящим из одной цифры 9. Действительно„ пусть числу а соответствует дробь иа, пл...а„,9...9, где ан, + 9. Тогда, согласно построению, для всех п > и„.
Отсюда следует, что а является правым концом всех отрезков 1„, л )~ л„, что противоречит выбору этих отрезков. Если же не существует цифры и„„, такой, что ан, + 9, т. е. числу а соответствует дробь аа, 99, ... 9..., то а является правым концом всех отрезков вида (иа, 99...9; аа + 1!. Следовательно, и = аа + 1, тогда как по предположению аа < а < па + 1, Таким образом, в силу установленного соответствия кагкдому вещественному числу п)~ О соответствует некоторая бесконечная десятичная дробь, нс имеющая периода, состоящего из одной цифры 9.
Такие десятичные дроби называются дюпусгггимыми. Наконец, каждая бесконечная допустимая десятичная дробь ом ала,...а„... в результате описанного соответствия оказывается Э 3 Предел последовательности поставленной в соответствие некоторому числу а, а именно тому единственному числу, которое принадлежит всем отрезкам: 1 ! а„, а, ... а„; а„, аг ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
