kudryavtsev1 (947411), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Пусть (ал) — бесконечно малая последовательность, а(ха) — ограниченная последовательность, т. е. существует такое число Ь ) О, что !хь! < Ь для всех номеров п=1,2, .... Зададим в)0; в силу определения бесконечно л~алой последовательности существует такой номер п„по !а„!( — для всех п > п . Поэтому для всех и > и, имеем ! „„!=~ .!! „!(-,' ь=-., что и означает, что последовательность (алх„) бесконечно малая. С л е д с т в и е. !троимедение конечного числа бесконечно мамах последовательностей является бесконечно малой псследсеательнсстпью.
Это сразу следует по индукции из свойства П„если заметить, что бесконечно малаа последовательность, как и всякая последовательность, имеющая предел, ограничена (см. теорему 2 п. 3.2). Задача а. Определив произведение бесконечного числа занумерованных сол~ножитеаей (обобщаюптее понятие произведения конечного числа сомноткителей), а затем определив произведение бесконечного числа последовательностей, построить пример бесконечного числа бесконечно малых последовательностей, произведение которых не является бесконечно малой последовательностью. Определение 15. 1тоследовательносгпь (х„) называется бесконечно большой, если для любогв числа и стйс!естврет такси номер и, что ~х„!) е для всех и > п .
В этом случае пишут Игп х„= оо. ч Если последовательность х„, и=-1, 2, ..., такова, что для любого числа и существует такое и., что х„)е для всех п >и (соответственно х„(е), то пишут Игпха= + со (соответственно а о ! пп х„= — со). и Если Ип1 ха= + оо или Игп х„=- — оо, то последовательность и н (х„) является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, что бесконечно большие последовательности не имеют предела, как мы его определили в п.
3.1. Применение в этом случае обозначения айги» является традиционным. В дальнейшем всегда под пределом последовательности будем понимать конечный предел, т. е. число, если, конечно, не оговорено противное. б,б Свойство лреоелов Упражнения. 7. хгоказать. что !!ш де = + оь, если д ) 1, и !!ш Ч" = И, если О < Ч < 1. и 8. Привести пример неограниченной последовательности, не стремящей. ся к бесконечности.
9. Йоказать, что если оа < ! Ь„!, л = !. 2...,, и !!ш о„ = + о, то 1!ш Ьп — оч. ч ч 1О. Доказать, что неограниченная монотонно возрастающая посаедова. тельность имеет предел +ос. 11. !!оказать, что любая подпоследоватсльиосгь бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой последовательностью. 12. Доказать, что из всякой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую последовательность. 13. Локазать, что для того, чтобы посзедовательность х„, хи *р О, л = 1, 2, ..., была бесконечно большой последовательностью, йеобходиио ! и достаточно, чтобы последовательность †, и = 1, 2, ..., была бесконечно х„' малой последовательностью.
Как мы знаем, окрестностью, или, точнее, е-окрестностью (к ) 0), числа а называется интервал (а — в, а + е). Определим понятие окрестности ддя символов оо, +со, — сю; е-окрестностью 0(оо, е) символа со назовем мнюахествю всех чисел х, таких, что !х!) е, т. е. 0(оо, в)=(х:~х~ ье). Аналогично определяются е-окрестности для символов +со и — со: О (-!- со, е) = (х: х ) е); 0( — со, е)=(х: х(а). Здесь всюду с целью единообразия предполагается что а) О.
Применяя зту терминологию, определение конечного и любого бесконечного предела можно сформулировать единым образом. Определение 16. Величина а (число или один из символов оо, + оо, — оо) есть предел последовательности (х„), если, какова бы ни была в-окрестность 0 ('а, е) величины а, сцгчествует такой номер п„что х„~ 0 (а, в) для всех и ) и . 3.5. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями Лемма. Для тюгю чтобы число а являлось пределом последовательности (х„), необходимо и дюстагпючню, апюбы хв= — а+а„, и=1, 2, ..., где (а„) есть бесконечно малая пюследювател ь ность. В 3.
Предел последовательности Доказательство необходимости. Пусть(х„) — сходя- щаяся последовательность и 1пп х„= а. Г1оложиы а„=- х„— а, с и= 1, 2, ...; согласно определению предела для любого е)0 существует такой номер п, что ~ х„— а!(е для всех п > и, т. е. !а„!(з при и. и, а это и означает, что Ип1сс =О. сДоказательство достаточности. Пусть х„==-а-(-а„, и=-1, 2,..., и !ппа„=О.
Согласно определению предела, для о о ) любого е ~ 0 существует такой номер и, что !а„)(е для всех п и . Замечая, что а„=-х„— а, имеем, что !х„— а!(е для всех и > и,, а это и означает, что 1ппх„=а. Лемма доказана. Эта лемма показывает особую роль бесконечно малых последо- вательностей пря изучении понятия предела, так как общее понятие предела последова|гсльности с помощью этой леммы сводится к по- нятию нулевого предела.
Это обстоятельство далее широко исполь- зуется при изучении ряда свойств сходящихся последовательностей. 1. Если х„=- с, п = 1, 2, ..., то И п1 хо =- с. с-.ю В самом деле, последовательность х„— с:= с — с =-- О, и == 1, 2, ..., бесконечно малая, и поэтому в силу леммы Игпх„=с. 2. Если последовательности (х ) и (у„) сходятся, то после- совательности (х„~ ул) также сходятся и !пи(хо ~ у )=!пи х„+!пп у„, пь е. предел алгебраической суммы двух сходящихся последовательностей равен яшкой же сумме пределов данных тикледовательностей.
Доказательство. Пусть 1ппх„=-а, Ишуь= — Ь. Согласно о о в необходимости условий леммы для существования предела, имеем х„= а-1- а„у„=~Ь+ ()„, и = 1, 2, ..., где 1пп а„= Ип1 р„= О, поэтому х„~ у„= (а ~ Ь)-1- (а„-1-(1„), и- " оп =-1, 2,..., где в силу свойства 1 бесконечно малых последовательностей (см. п. 3.4) Игп(сс„~йо)=0. Поэтому, согласно доо ы статочности условий леммы для существования предела, имеем 1пп (х„1- у„) = а ~ Ь = 1ппхо ~- Иш у„. Утверждение доказано. Н о о С л е д с т в и е. Предел конечной алгебраической суммы сходя- и!ихся последовательностей равен той же алгебраической сумме пределов отдельных последовательностпей.
Зз Своаствп пределов Это непосредственно следует по индукции из доказанного свой- ства пределов сходя1цихся последова1ельностей. 3. Если последовательности (х„) и (у„) сходятся, пю после- довательность (х„у„) также сходится й Ит х„у„= Иш х„11т у„, в в и т. е. предел произведения сходящихся последовательностей су- ществует и равен произведению пределов доннах последователь- ностей.
Доказательство. Пусть 1ипх„=а, Иту„=й, тогда 6 В П х„=а-(-а„, у„= Ь+~в п.=-1, 2, ..., где !ипа„= И1п(3„= О; поэтому х,у„=- (а -1- а„)(Ь+ р„)= и с в+а =- аЬ+ (а„Ь+И„а+а„р,). В силу свойств 1 и 1! бесконечно малых последователь- ностей (см. п. 3.4) Игп (а„Ь+ (3„а+ а„(3„) = О. Поэтомч Игпх„у„=аЬ=Игп х„!ип у„.
и и с л м С л е д с т в и е 1. Если последозательносгпь (х,) сходится, >по для любого числа с последовательность (сх„) также сходится и 1ипсх„с Игп х„, в и -нв т. е. постоянную люжно выносить за знак предела. С л е д с т в и е 2. Если (х„) — сходящаяся последовательность и и — натуральное число, то Ит хл =(!ип х„)ь.
и Ф э Это непосредственно по индукции следует из свойства 3, 4. Если последовательности (х„) и (у„) сходятся, у„+ О, п=1, 2, ..., и Иву„+О, то последовательность!и) сходится и л-~ 1Ул 1 1!в х„ Ит в у„11в у„' н о т. е. предел частного сходяи1ихся последовательностей сущес1п- вует и равен частному от пределов данних последовательностей. Доказательство. Пусть !ивх„=а, Игпу„=Ь~О и для й,~, П-~,В" определенности Ь ) О.
Тогда х„=а 1-а„, у„=Ь+р„, п=1,2,..., ф 8. Предел последовательности где Ипгсг„—.— Ипг~)„—.-О, поэтому а +а„а 1 ь э+ р„ь 1ь+ р ) (гх„Ь вЂ” Д„а). (3.9) Уп Согласно свойству 11 пределов последовательностей из и. 3.1, Ь существует такой номер п, что у„.'л — )О для всех номеров ь :г > и (действительно, заметив, что — ал'Ь, в указанном свойстве Ь1 в качестве с надо взять с= —,) — здесь используется предположе- 2? ние, что Ь О; поэтому при п> п имеем 1 1 2 Ь(Ь+ а„) ЬУ„< дь 1 Отсюда следует, что последовательность 1 , и = 1, 2, .„ ограничена (почему?). В силу свойств бесконечно малых последовательностей последовательность (сг„ Ь вЂ” р„ а) является беско- 1 нечно малой, поэтому и последовательность ~а, (сг„Ь вЂ” р„п)) бесконечно малая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
