kudryavtsev1 (947411), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Сл е д с т в и е 10. Для любого числа а а0=0. (1.7) Действительно, возьмем какое-либо число Ь, тогда Ь вЂ” Ь = 0(см. (1гй)), и согласно (!.6) получим а 0 = а(Ь вЂ” Ь) = аЬ вЂ” аЬ = О*Н След ств не !!. Для любых ченел а и Ь ( — а)Ь вЂ” аЬ, ( — и — Ь) аЬ, (1.8) (1.9) в частности, ( — 1) а = — а, В самом леле, ( — а) Ь = ( — а)Ь + аЬ вЂ” аЬ = ( — а + а)Ь аЬ = — аЬ. (1. ! О) Далее, ( — а)( — й = — а ( — Ь) = (-1)(а(-Ь)1 = ( — !)(-аЬ) = — ( — аЬ) =аЬ. Легко показать, что свойства П„П„П1„Шз и 1!7 распространяютси по индукции на любое конечное число членов. В качестве примера покажем, что для любых чисел и„аз, ..., ал (и:~ 2) и Ь (а,+а,+...-1-а„) Ь=а,б+азЬ+...

+а„Ь. (1.11) В самом деле, прн и = 2 эта формула справедлива согласно свойству 1'!7. Пусть теперь (1.П) справедливо при и = й, покажем, что она будет справедлива и при и = й + 1. *> Из следствия 10 вытекает, что утверждение 1:йО при наличии других рассматриваемых свойств эквивалентно тому, что существует хоть одно число отличное от нуля. Очевидно, достаточно показать, что если существует число а Н О, то 1 и О. Действительно, если существует а М О, то из равенств а 1 = а следует, что 1 ',и О, так как в противном случае а = О.

Это свойство называется распределительным, или дистрибупгиеным, законом ))л!ноясения относительно сложения. б 1, Веи)естэеииые чигла Применяя свойство Пэ для А + 1 слагаемых (считая, что оно уже доказано), затем свойство 1Ч, и используя предположение индукции, получим (а, + а, + ... + аэ+ !) Ы(а, + ... -|. а„) | а,+, | Ь вЂ”. = (а, + ...

+ аэ) Ь+ аэ+ ! Ь а, Ь+ ... -|- аэ Ь-|- а Из формулы (1.11) в случае п,=-о,=... =-а„=1 следует, что ь=ь.ь...эь, ч Гг ( а, если а~~О, — п<,б, (1.12) называется абсолютной величиной числа а. Отметим ряд свойств абсолютной величины. 1. Для любого числа а |а| >О, )и|=| — а|, а<|а|, — а<|а|. (! 1Э) (1,14) (1.15) В семом деле, если а>0, то |а)=а >О! если же а <О, то |а|= = — а > 0 (см. следствие 4). Неравенство (1.13) показано. Докэжем равенство (!.14).

Если а > О. то | а | = а н — а < О, поэтому, согласно определению н равенству (1.1), получим | — а | = — ( — а) = а = | а |. Если жеа <О, то|а| = — а в — а ) О, поэтому | — а| = а. Рэвенство (1.14) доказано. Докежем нерввенствв (1.15). Если а ~ О, то а = |а | н — а < 0 < а = =|а |, т.

е. (1.15) выполняется; еслн же а < О, то а < 0 < — а = |а|, т. е. (1.15) также выполняется. 2. Ллл любах чисел а и Ь ! а+ Ь ! < | а |+ | Ь1, ||.| — !Ь!| |.— Ь!. (1.16) (!.)У) Докажем этн нерввенствв, Согласна (!.15), а<|а|, — а<|а|, Ь<|Ь), — Ь<|Ь!. Отсюда, соглвсно (1.2) н следствию 6, а+Ь<|а)+|Ь|, — (а+Ь)<!а|+| Ь). т. е. что умножение числа на натуральное число и сводится к сложеннго зтоп! числа п раз. Для л!Обого числа п число, обозначаемое | а| и определяемое по формуле !7 1.1 Свойства аен)есгвекных чисел Одно иэ чисел а+ 6 н — (о+ 6) псотрицатсльно и, значит, совпадает с | а + 6 !. Неравенство (1.16) доказано.

Иеравенство хсе (1.!7) является следствием (1.16). В самом деле, | н | — | Ь ! = | (а — 6) + Ь ! — | Ь [ < | а — 6 | + | Ь! — | Ь ! = | а — Ь | . Аналогично |6| — |о| <|а — Ь[, Согласно следствию 4, | Ь ! — | а | = — ( |и ! — | Ь ! ). Одно из чисел | а | — | 6| нли — ( | а | — | 6 | ) совпадает с | | а | — | Ь ! |. Из сформулированных свойств 1 — 1У вещественных чисел могкпо получить н другие хорошо известные свонства чисел, связанные с арифметическими операциями, например, правила арифметических действий с рациональными числами. Ъ'.

С в о й с т в о А р х и и е д а Каково бы ни было число а, существует гпакве целое число и, что п ) а. Отсюда вытекает, что, каковы бы ни были два числа а ) О и Ь, существует целое и, такое, что па ) Ь, т. е., складывал числа а достаточно больисое чсссло раз, лсы заведомо ггрензойделс число Ьа>. Ь В самом деле, в силу условия а+ 0 существует частное —, но Ь тогда по свойству тг найдется' целое и ) †, откуда па > Ь. тг1. Свойство непрерывности вещественных чисел Совокупность вещественных чисел обладает еще так называемым свойством непрерывности, на которое, так же как и на свойство Архимеда, обычно не обращают особого внил1ания при изучении элементарной математики.

Чтобы его сформулировать, введем следующие определения. Если заданы два числа а и Ь, а < Ь, то совокупность всех чисел х, таких, что а < х «~ Ь, называется числовым отрезколс и обозначается [а, Ь). Число а называется левым, а число Ь правым концом отрезка [а, Ь[. В случае а = Ь отрезок [а, Ь) состоит из одной точки. Система числовых отрезков [а„Ь,), [аю Ьг), [а„, Ь„), ...

называется сиспселсой вложенных отрезков (рис. 1), если а, « ... -".' а„-« ... -" Ь, ( ... «Ь, «Ь . "1 Зго свойство допускает наглндную геометрическую интерпретацию: если мы имеем два отрезка длины а и 6. О ~ а ( Ь, то, откладывая последовательно меньший отрезок на большем, мы через конечное число шагов выйдем ва пределы большего отрезка. В 1, Веисестаенные числа Принцип вложенных отрезков. Для всякой сисспемы влоясенных отрезков существует хотя бы одно число, копюрое принадлежит всем отрезкам данной сиппемьь Это свойство чисел называют также непрерывносспью множества вещественных чисел в смысле Каиторач'.

«л аа ба бе бс Рис. 1 Определение 1. Пусть задана система отрезков (а„, Ь„), и = 1, 2, .... Ьбы скажем, что длина отрезков (а„, Ь„! апрелиипся к нулю с возрастанием и = 1, 2, ..., если для каждого числа е ) О суи(ествуесп номер и, такой, что для всех номеров и )~ и выполняется неравенство ܄— а„( е. Теорема 1. Для всякой сиапемы вложенных оспрезков, по длине стремящихся к нулю, существует единственное число, принадлежащее всем отрезкам данной системы. Доказательство. Пусть!а„,Ь„), п=1, 2, ...,— заданная система вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю. Предположим противное.

Пусть существуют два различных числа х и у, принадлежащих всем отрезкам [а„, Ь„) (см. рис. 1), т. е. х чь у и а„< х < Ь„, а„и: у < Ь„, и = 1, 2, .... Пусть для определенности х ( у. Вычитая из неравенства у < Ь„неравенство х -: а, получим у — х < ܄— а„. Для любого числа е ) О существует и, такое, что при всех и > п„справедливо неравенство ܄— а„( з и, следовательно, у — х( е. Полагая е= у — х (это возможно, поскольку из условия х( у следует, что у — х) О), получим у — х( у — х, что противоречиво. Следовательно, предположение о существовании двух различных чисел х и у, принадлежащих всем отрезкам (а„, Ьа), неверно. Теорема доказана, Свойство непрерывности вещественных чисел повсеместно используется на практике.

При измерении какой-либо физической величины (температуры тела, длины тела, силы тока и т. д.) мы всегда получаем с большей или меньшей точностью ее приближенные значения. Если в результате экспериментального измерения данной величины мы будем получать ряд значений, дающих значение нско- '1 Г. Кантор (1845 — 1916) — неменннй математик. СС Свойства вещественных чисел мой величины с недостатком или избытком, и если каждое последующее измерение будет проводиться с большей точностью, то мы получим некоторую последовательность вложенных отрезков.

Свойство непрерывности вещественных чисел выражает собой объективную уверенность в том, что измеряемая величина имеет определенное значение, расположенное между ее приближенными значениями, вычисленными с недостатком и с избытком. Следует отметить, что в отличие от свойств 1 — Ч, которые присущи не только всей совокупности вещественных чисел, но и, например, совокупности только одних рациональных чисел (в чем нетрудно убедиться), свойство Ч1, т.

е. свойство непрерывности, является свойством, которым обладает множество всех вещественных чисел, но которое отсутствует у совокупности одних только рациональных чисел. Например, если взять последовательность ерациональных отрезков» [1; 21, [1,4; 1Д, [1,41; 1,42), [1,414; 1,415], ..., т. е. последовательность множеств рациональных чисел, лежащих на отрезках, концы а„и Ь„, и = 1, 2, ..., которых суть значения )т'2, вычисленные соответственно с недостатком и с избытком с точностью 1 —, л = О, 1, 2, ...в>, то, очевидно, не существует никакого рационального числа, принадлежащего всем этим отрезкам. В самом деле, таким числом могло быть только число )/ 2 (почемут), которое, однако, не является рациональным.

Мы перечислили все характерные свойства множества вещественных чисел. Подытожим сказанное. Вещественные числа представляют собой совокупность влемеипюв, обладающую свойслмами 1 — Ч1. Для вдумчивого читателя заметим, что ссылка в начале параграфа на то, что вещественные числа и нх свойства известны из курса элементарной математики„не является необходимой. Сформулированные выше свойства вещественных чисел можно взять за исходное определение. Именно, перефразируя подведенный итог наших рассмотрений, получим следующее определение. Определение 2.

Множество элементов, сбладаюи!их свойствами ! — У1, называется миозсеством веществениыхчисел. Каждыйвле мент етого множества называется вещественным числом. Построение теории вещественных чисел, основывакхцееся на таком их определении, называется аксиоматпическим (см. также замечание в конце п.

2.2 и З.б), а свойства 1 — Ч1 — аксиомами вещественных чисел. 2 2 1 "> Это оаоачает, что а <2<1 а Ь вЂ” о = —, в=к2,.... и в в в 1 па ° ' В г Неигегтвеввлге числа Ееометрически множество вещественных чисел изображается направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа — точками этой прямой. Поэтому совокупность вещественных чисел часто называют числоеои прямой, а отдельные числа — точггалги. Имея в виду такое изображение вещественных чисел иногда вместо а меньше Ь (соответственно а болыне Ь) говорят, что число а лежит левее числа Ь (соответственно, что а лежат правее Ь). 1.2. Обозначения В дальнейшем нам придется иметь дело с различными совокупностями (множествами) тех или иных элементов (чисел, точек, функций и т.

Характеристики

Список файлов книги