kudryavtsev1 (947411), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Связь между односторонними пределами н двусторонним пре. делом устанавливается следуюшей теоремой. Теорема 2. Функция( имеегп предел в точке тогда и только тогда, когда в иной пючке существуют пределы как справа, так и слега и они равны. В этом случае их оби(ее значение и является двусторонним пределом функции 1 в точке хи. Доказательство. В самом деле, пусть !!ш((х) =А; для любого з ) 0 существует такое 6 =- 6(в) О, что из ! х — х, ! ( б, следует ! 1(х) — А ! ( г, и, значит, в частности, из условий (4.14) следует (4.13), т.

е. А=!(гп,г(х) и А= (ип 1(х). к-к,— О к кк+О Обратно, если А = Игп ((х) и А = )пп 1(х), то для любого к — О к - кк+О в ) 0 сушествуют такие б, = 6,(е) и би — — бг(е), что если х — 6, ( х ( хи и соответственно х„( х ( х, + б„то ! 1(х) — А ! ( е. Следовательно, если б — наименьшее из чисел б, и бм то 4,5. Второе определение предела функции» 11(х) — А ! к" е прн !х — х,! < 6, х+ х,. Это и означает, что [пп 1(х) = А. к к Теорема доказана. Лемма 1. Если функция 1 имеет предел вточкех„то сусцествуессг окремпность втой точки (быспь может выброисенной точкой хо), на которой функцсся 1 ограничена (определение ограниченности функции см.

в и. 4.1). Чтобы в этом убедиться, зафиксируем некоторое е ) О, например е = 1, тогда, согласно определению предела, существует такое 6=6(1), что' А — 1 С 1(х) ( А + 1 для всех х ~ 0(х„б), х+ х„и, так как, кроме указанных значений 1(х), существует еще, быть может, только одно Цх„), то лемма доказана. Лемма 2. Если А = Игп /(х)+ О, то существует 6-окрестность к к О(х, 6) тасках„такая, упо1(х)+О при к~О(х, 6), х+ х, и имеет тот же знак, чспо и число А. Док а за тел ьство. Пусть для определенности А)0. ВозьА мем е = —, тогда существует 6 = 6(е) такая, что при Я А 0([х — хо[(6 выполняется неравенство [с'(х) — А[( — и, сле- А дова1ельно, неравенство 1(х) — А ) — —; отсюда имеем 1(х) ) — )0 при Ок..[х — хе[С 6. Для случая А)О лемма дока- А А вана; в случае А<'0 следует взять е= — — и провести аналогич- 2 ное рассуждение. Леммы 1 и 2 понадобятся в дальнейшем. Докажем теперь теорему, полезную для вычисления пределов.

Теорема 3 (иравило замены переменного для пределов функций). Пусть существуют 1пп ) (х) = уо, 1(х)+уо при х+ хе, ее и Игп с'(у), тогда при х- х„сущесспвует предел сложной функ- У Уе ции Г[)(х)! и (4.15) Игп Г [! (х)! = [пп Г (у). к к„ У У Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения предела функции следует, что при сделанных предположениях функции 1 и с определены в некоторых окрестностях соответственно точек х, и у„кроме, быть может, самих этих точек. Покажем, что существует такая 6-окрестность точки х„что при х~ 0(х„б), х+ х„, имеет смысл сложная функция г[1(х)! и, следовательно, можно ставить вопрос о существо- гв й 4. Функции и ик «рудехм ванин ее предела при х- хгн Пусть функция г(у) определена в е-окрестности точки у„кроме, быть может, самой точки у„, тогда из существования 1цп )(х) = у„следует существование такого к кв 6 = 6(е)) О, что [)(х) — у„[~ е при 0( [х — х„[(6.

Поскольку, кроме того, по предположению /(х) + у„при х+ х, то для х~ 0(х„б) имеет смысл суперпозиция г[)(х)!. Пусть теперь (х„) — какая-либо последовательность, такая, что Игп х„= х, х«+х„х«! 0(х,, 6), и =1, 2, ..., и пусть «в у„=г'(х„), п=1, 2, ..., По условию теоремы у„+ у„и=1, 2, и Игп у„=укн В силу сущестиоваиия предела 1пп Г(у), который в! У Ув обозначим через А, имеем Игп г [)(х„)[= !'пп Р [у„! =А. Поскольку это верно для любой указанной последователыюсти (х„), то это и означает, что [пп г [)(х)[ = А.

к кв Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Пусгьфункция)определенавнекоторойокрестности точки х„кроме, быть может, самой точки х,, "пусть Игп )(х) = к кв = у» )(х) + у» при х+ х» и пусть функция ) имеет однозначную обратную функцию ) — ', определенную в некоторой окрестности точки у,, и такую, что [пп / '(у,) = х„1-'(у)+х«при у+ угн Этот факт У Ув мы будем кратко выражать словами «условия х-у х, и у — у„ эквивалентны». Это имеет то оправдание, что при сделанных предположениях из существования каждого из пределов в равенстве (4Л5) следуют существование другого предела и их равенство.

Лействительпо, в си ~у доказанного выше надо лишь из существования Игп г [г(х)! доказать существование Ит г (у). Если к к, У У. Ит Е!)(х)) существует, го по доказанной теореме существует и к предел Иш Р(1[1'-'(у)!)= Итг [)(х)!. Но )Д-'(у)[=у, следо- У Ув к-кв вательно, существует Игп Р(у). У Ув 4.6. Свойства пределов функций Все функции, рассматриваемые ниже в этом пункте, определены на некотором интервале (а, 6), кроме, быть кюжет, фиксированной точки х, Е (а, 6).

Сформулируем несколько свойств пределов функций. Е.В Свое««во пределов Фавккив 1. Если гр(х) (1(х) ~ф(х) и Игитян(х)= Игпте(х)=А, то к хк Игп ! (к) = А. к кх 2. Если )'(х)=с (поспгоянная), то Ипг)(х)=с. к к, 3. Если Игп )(х) саге!ествуепг, то для лгобого числа с Игп с1(к) =- с !пп )(х). 4. Если сри!ествугот Игп /(х) и !пп я(х), пю к- кх Игп 1)'(х)+д(к)1 = Игп! (к)+ Ип1 д(х), «х„ хк к кх Игп Г(х) д(х)= Игп)(х) Игп л(х), к х, к кк а если !пид(х)+О, то и 1( ) .!!Т 1!') Игп — = *"."' е !к) !пп е (х) к «к Отметим, что можно ставить вопрос о пределе Игп —, так как Ик! е(х!' при предположении Ит а(х) + О, в силу леммы 2 п. 4.5, функции ко 1(х! д(к) — определена в некоторой окрестности точки хв кроме быть может вв ю самой атой точки.

Все эти свойства доказываются одинаковым методом, основанным на соответствующих свойствах пределов последователыюстей. Докажем для примера формулу Игп г (х) д (х) = Ига ) (х) ! пп д (х). к хк к хх кк Пусть А=Игп 1'(х) и В=-1ппя(х). Тогда, согласно опреде«к к, лению предела функции в точке хгв А = Ип1 ) (х„), В = Игп о (х„) Л в 4. Функции и их пределы для л|обой последовательности х„Фх, для всех и — 1, 2, ..., и (х,), такой, что хе ~ (а, Ь), Игпх„=«х,.

Поэтому, применяя и двух последовательностей, по- свойство предела произведения лучим 1пп ) (х„) д (х„) =- АВ, е причем этот предел не зависит от выбора соответствующей последовательности (х„). Тогда опять, согласно определению предела функции в точке х,, !пп !'(х) а(х) =АВ.

к к, Утверждения, аналогичные свойствам 1 — 4, имеют место и для односторонних пределов. Локазательства также аналогичны. 4.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции Все функции, рассматриваемые в этом пункте, определены на интервале (а, Ь) (ко~ечном или бесконечном), кроме, быть может, точки х,п (а, б). Определение 6. Функция а =.а(х) называется бесконечно малой функцией (и|и просп|о бесконечно л|алой) прл| х-ех„, если !пп гх(х) =- О.

к-л' Бесконечно малые функции, как и бесконечно малые последовательности, игра|от существенную роль, свг|занную, в частности, с тем, что общее понятие предела может быть сведено к понятию бесконечно малой. Лемма. Предел Ип| ! (х) су|цсствует и равен А тогда и л к только тогда, когда Г(х) ==А+а(х), где а(х) — бесконечно малая при х — хе. Лействительно, если !пп ! (х) = А, то, полагая ) (х) — А = а (х), получим Иш а(х) =1пп Г(х) — А=О.

к к, «а Наоборот, если !(х)=А-,'-а(х) и Ип1а(х)=-О, то Игп)(х) с к„ к л« = А + 1пп а (х) = А. к л.„ Теорема 4. Суме|а и произведение конечного числа бесконечно милых функций при х — х„, а также произведение бесконечно малой функции прп х — хе на ограниченную функцшо являю|ноя бесконечно малыми при х- хе фучкцилл|и. Эта теорема непосредственно следует из теорем п. 3.4 и определения предела ф)икцни в п. 4.4. 4.7. Бесконечна малые и бесконечно большие Фун«яии Определение 7. Функция )' =- )'(х) называется бесконечно большой при х — »-хз, если для любого г)0 существует такое 6=6(е))0, что 1)(х)1)е для всех х, удовлетворяющих услоешо ) х — х, ~ ( б, х+ хз. В этом случае пишут 1йп )(х)=со.

.к ко Если же для любого г) 0 существует такое 6 =6(е) О, что ) (х)) е (соответственно 1(х)( — е) для всех х, удовлетворяю- и(их условию (х — хз1(6, х+х„то пшиут Игп)(х)= -1-оо к к, (соответственно Иш 1 (х) = — со). у п р а ж н е н н е 4. Функция и = и(х), и(х) чь О прн х ~ хз, является бесконечно малой (бесконечно большой) прк х -о хо тогда н только тогда, насда является бесконечно большой (соответственно бесконечно малой).

1 и(х) По аналогии с конечными сщносторонними пределами определяются н односторонние бесконечные пределы: 1нп ) (х) == со, И из 1'(х) = оо„Игп ) (х) = + оо и т. д. к к,+З «ко — О к-ко — О Например,!нп 1(х) = +оз, если, каково бы ни было е)0, суще- «-ко — О ствует такое б = 6(е) ) О, что )(х) ) е для всех х, удовлетвсь ряющих условию хз — б ( х ( х . Точное определение других подобных пределов предоставляется самим учащимся по мере потребности. Пусть теперь интервал (а, Ь) не ограничен, например, вида (а, +со).

Тогда можно говорить о пределе !пп)(х) конечном к +о или бесконечном. Например, говорят, «по Игп)(х)=А, если для к +о любого в)0 существует такое 6=6(в)0), чпю ()'(х) — А((е для всех х»б. У и р а ж я е н н я. 5. Сформулнровать определение предела 1пп )(х) = — аз к о с помощью понятия предела последовательности н на «е — 6-языне»; доказать нх эквивалентность. б. Показать, что еслн Р(х) — многочлев степени и > 1, то Игп Р(х) =со х + н Игп Р(х) = оо.

То, что величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, и наоборот (см. упражнение 4), делает естествен- з а. Функкии и ик лпевелм во ной следуюшук) символическую запись, часто употребляющуюся длн сокращения записи: для любого числа а» О пишут и и и — =+СО, — = — ОО, — = — ОО, +о ' — о ' о — =О, + оа а — = — О, — аа — =- О. В дальнейшем, говоря о пределе функции, всегда будем подразумевать конечный предел, если только не оговорено противное. 4.8. Пределы монотонных функций Если же функция / монопшнно убивает на (а, Ь), то рнп /(х) == (п! /, »пп /(х) =зцр /.

Характеристики

Список файлов книги