kudryavtsev1 (947411), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пусть у„((с, с(] и х„= / — '(уо). Пусть сначала с< у,(о(, т. е. уо — внутренняя точка отрезка ]а, Ь], тогда, в силу строго монотонного возрастания функции /от и а(х„( Ь. Зафиксируем некоторое е > О. Не ограничивая общности дальнейших рассуждений, можно считать (почему?), что в таково„ что и < хо — а(х,(хо+в(Ь. (66) Г]усть у, = /(хо — е), уз =- 1(хо + з).
Тогда условия (6.6) в силу строго монотонного возрастания функции /, следует, что с (у,(у„«" у, < с/. Возьмем 6)0 так, чтобы у1 < уо — 6 ( уо+ 6 ~~ уо (рнс. 17). Если теперь выб~.* у.— 6 (у (у.+6, то тем более Ув Ув Рис. 77 у1(у(уо и, следовательно, в силу строгого монотонного возрастания функции 1 ' справедливо неравенство хо — е = /- ' (у ) (/ — ' (у) (/-' (у ) = х„+ е. Таким образом, для в)0 указано такое 6)0, что зля всех у 6 (уо — 6, уо+ 6), т.
е. функция1' непрерывна в точке уо. Если теперь у, = с или у, = г/, то аналогичными рассуждениями показывается, что функция /-' непрерывна справа в точке с и непреоыпна слева в точке о/. Теорема для строго монотонно возрастающих функций доказана полностью. Заметим, что функция / строго монотонно убывает тогда и только гогдз, когда функция — /строго монотонно возрастает, позтому спра- В.З. Обратные фдчкчии с= Игп /(х), д= Игр/(х), (6.7) к а+О к Ь вЂ” О тогда обрагпная 4цнкиия / — ' определена на инпыреале с концами с ад, т. е. при опюбражении / обривал~ интервала является также ниырвал (кпнечный или бесконечный!.
В самом деле, пусть для определенности функция / строго монотонно возрастает (случай строго монотонно убывающей функции сводится к этому приемом, указанным при доказательстве теоремы 4) и пусть а(а,(Ькч. Ь, /(а„)=.с„, /(Ь„)=ь/„и=1, 2, Игп Ь„==Ь, П !Впал=а, Ю. (6.8) тогда в силу (6.7) Ип1 д„=д. О- (6.9) Ищ с„= — с, Л *> Как известно (см.
и. 4.8), с=!п1/, д=знр/, поэтому с </(х) ~д для любой точки х ~ (а, Ь). Если бы нашлась такая точка х„(- (а, Ь), что, например, /(хь)==д, то в силу строго монотонного аозрас~ания функнии / д=/(хО)(/(х) для любого х) х, из (а, Ь), что несовместимо с (6.10). Значит, с<" /(х)(д для всех т~(а, Ь). С другой стороны, каково бы ни было у,~(с, д), из условия (6.9) следует, что существует такой номер и, (см. п.
3.!И гто ск„(у к., д,„. Функция / на отрезке (а„„, Ь„,! удовлетворяет условиям теоремы 4, поэтому множеством ее значений на этом отрезке является отрезок (с„„, д„), в частности, сущссгвуег такое хь~ (а„., Ь„,), что /(х„)=у„. Таким образом, ни~ерзал (с, д) является м~южествоы значений функции /, а значит, и множеством определения функции / — '.
Лемма доказана. ведливость теоремы для строго монотонно убывающих функний следует из рассмотренного случая. Теорема доказана. Рассмотрим теперь случай функции, определенной иа интервале. Лемма. //усть функция / определена, строго монопюнна и непрерывна ни интервале (а, Ы (конечном или бесконечном) и пусть (см. и. 4А) у 7. Непрерывность элел~ентпрных функций Теорема 5. Пусть функция / определена, сспрого монотонна и непрерывно на интервале (а, 5) (конечном или бесконечном) и пустпь с= Вгп 1(х), д=1пп 1(х).
х-ь — о х е+О Тогда обртинал функция( х определена, одттзначна, сптрсго монотонна и непрерывна на инп1ервале с концами с и й. Эта теорема сразу следует из теоремы 4 и доказанной выше леммы. Действительно, функция 1-' однозначна и строго монотонна на интервале (с, и), так как в силу теоремы 4 она однозначна и строго монотонна на любом отрезке [с„, й ), и = 1, 2, ... (обозначения см. в доказательстве лемлты), и выполняются условия (6.8) и (6.9). Наконец, функция ) — ' непрерывна в каждой точке уо((с, й).
В самом деле, для каждой такой точки можно подобрать номер п, так, что с„„к. Уеп. й„, и непРеРывность фУнкции 1 — ' в точке у, вытекает из теоремы 4, примененнои к функции 1, рассматриваемой на отрезке [ан., с[в,). Теорема доказана. й 7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ 7.1. Многочлеиы и рациональные функции Теорема 1. Всякий лтногочлен непрерывен в каждой точке.
В самом деле, функция у = с, где с — постоянная, непрерывна, ибо ее приращение Лу равно нулю, и поэтому 1[п1 сху = О. Слл о Функция у = х также непрерывна в любой точке х„ибо если уо — — х„, то тх)~ = у — уо = х — хо = йх. Пусть задано е) О, тогда, беря 5 = е, получим, что из условия [лхх[ и. 5 следует [слу[ = [бх[,. 5 = е. Это и означает непрерывность функции у = х в точке х = хо.
Всякий же многочлен получается из функций вида у = с и у = х с помощью сложения и умножения и поэтому является непрерывной функцией в каждой точке (см. и. 5.2). Теорема 2. Всякая рициональная функция — (Р(х) и Д(х)— Р(х) О(х) многочлены) является непрерывной функцией во всех точках, в которых ев знаменатель не обраи(ается в ноль. Это непосредственно следует из того, что миогочлены Р(х) и фх) непрерывны в каждой точке и частное непрерывных функций также непрерывно во всех точках, где делтпсль не обращается в нуль (см. п.
5.2). 7.2 Иохаэагельная, яогпра(лльачеехая и алепеяяая фиякчаи зт Эту теорему весьма удобно использовать прн нахождении пределов рациональных функции. Пусть требуется найти 1пп —. Р(х) , О(х) Для этого нужно сначала произвести, если, конечно, это возможно, сокращение дроби — на множитель (х — х )" с максимально боль- Р(х) О(х) о шин показателем п > 1. Тогда если получившуюся рациональную дробь обозпачнть —, то (см, и, 4.4) Р,(ь! <Ях)' И!и — = 11!и Р (х! . Рл(х) л л, О (х) к к„ Оь(х) Теперь, если (;),(хь) + О, то, в силу теоремы 2, этот предел равен просто — ", если же Я,(ха) 0 (н, значит, Р,(х,) + О, ибо в про- Р,(хь) 9,(ха) ' тинном случае дробь — ыо!кно было бы сократить на множитель Р,(х) 9,(х) х — ха), то этот предел равен оо.
П р и и е р ы. х' — Зх+2 . х — 2 ! 1, )!т = !пп х 1 хь — 1 ль! «+! 2 ' хл — х — 2 . х — 2 2. )пп = 1нп — = оо. ! хл — 1 „! х — ! 7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции Мы будем предполагать известными свойства сгепенн й', где й)0 и г — рациональное число, г= †, р н ь) †цел. НаР помним их. 1. Пусть г,е. гя. Если й ь1, то й' (й"», а если йч" 1, то й" ) й" . 2.
й"*.й'*=й'+". З (йц)л й ~ Гь 4. й'=1. б. (йЬ)' = й'Ь', ~ — ) = — (Ь 0). Здесь везде г, П и ге — Рациональные числа, Из свойств 2 и 4 следует, что й-" й' й"=1. Отсюда 1 й — л о' 4 У. Оелрерн!вноеть элелмнтлрных ф1!нкина Далее, нз свойств 1, 4 и из (7.1) вытекает, что а' > 0 для любого рационального числа т. ДсйетантЕЛЬ1Ю, ЕСЛИ т ) 0 И а > 1, тп В СИЛУ 1 И 4 а' > ал = 1 ) О. Отсюда, согласно (7.1), имеем )о. 1 вт Аналогично неравенство а' ) 0 доказывается и при а «.
1. Определим прежде всего степень а' для любого вещественного х и а)0. Для этого докажем две леммы. Лемма 1. Длл любого а)0 ! 1пп ал =1, (7.2', (7.3) л л»ш Доказательство. Пусть сначала а)1. Положим ! х =а" — 1. л (7.4) Из свойств 1 и 4 степени а' с рапиональным показателем г следует, что (7.5' хл) О. Из (7.4), очевидно, имеем а = (1 + х„)". Раскроем правую часп по !!!орн!уле бинома Ньютона: а = (1+ х„)л = — 1+ ах„+ .. и отбросим все слагаемые в правой части, кроме второго.
Тогда используя (7.5), получим а >ах„ в и, следовательно, 0«" х„«, —, поэтому !ип х„=0. Откуда, согн с ласно (7.4), ! !пиал =1. 7.2. Показательная, логарифмическая и *!!акакия !кулички Если теперь 0(а(1, то Ь= — )1, и гак как в силу дока- 1 а ! ванного 1пп Ьл = — 1, то ! ! /1\ — . 1 1!гнал =)пп —" =1пп — =- ! л ол и ч (!Ь/) л л Ьл 1 ! =1 1 па Ьл ! ! Если а=-1, то а" =1, и=1, 2, ..., и, значит, также 1пп ал = 1. л. Таки,! .я!разом, (7.2) доказано при любом а >О. Отсюда сразу следует (7.3): 1 )пп а " =- 1пп 1 = 1. л л Лемма доказана. Лемма 2. О!/с/иь а >О.
Для л/сбоео е ) О с!/и!ествует !покое б =6(е) О, что для всех ра/!с!скальных чисел й, удовлетворяви/их условшо !и!(6, выполняется неравенство (а" — 1!(е. Доказательство. Пусть сначала а)1. Из (7.2) и (7.3) следует, что для данного фиксированного е)0 существует такое и„что и, значит (см. свойство 1 степени), ! ! 1 — е(а л'( ал'(1+е. ! 1 1 Если й — рациональное число и !/1!( —, т.
е. — — (й(— а ' ' и ае то а "' (аь ( ал' и, значит, 1 — е(ак(1 ! е. Таким образом, ! ая — 1 ~ ( е, если /! рационально и ! !! ! ( б, где б =- †. Для 1 я !а) 1 лемма доказана. Для а " 1 она доказывается аналогично, только соответствующие неравенства, согласно свойству 1 степени а" прн а ( 1, надо писать в обратную сторону. При а = — 1 лсмяю очевидна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
