kudryavtsev1 (947411), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Например, пусть 118 й 8. Срооненае 1»аннина Вычисление пределов б = х + хз + х'. Поскольку, с одной стороны, х' + хз = о(х) при х - О, то (3 = х+ о(х) при х- О, а с другой стороны, х" = о(х+ х') при х — О, то (3 = х + х' + о(х + хз) при х -«О. В первом случае главная часть а = х, во втором а = х+ х'. Однако, если зада- ваться определенным видал| главной части, то при разумном выборе этого вида можно получить, что главная часть указанного вида определяется однозначно. Например, справедлива следующая лемма.
Лемма. Если сра(ествует главная часть види Л(х — х,)', Л+ О, где А и в постоянные, тв среди главных частей такого вида она опре.- деляется единственным образо»и Действительно, пусть /»=А (х — х,)" +в((х — х,)»), Л ~ О, и ~ =А,(х — х,)»'+о((х — х,)"), А, +О. Тогда Р— А х — х„)', () — А,(х — х,)" при х-«ха. Поэтому Л(х — х,)» — А,(х — хз) ', т.
е. А (х — ха)» В х к«А,(х — хе) ' что справедливо лишь в случае А = А, и й = лм Метод выделении главной части бесконечно малой функции широко и с успехом используется при решении разнообразных задач математического анализа. С помощью этого метода обычно удается более сложную бесконечно малую функцию в окрестности данной точки заменить с точностью до бесконечно малых более высокого порядка более простой (в каком-то смысле) функцией.
Например, если бесконечно малую () удается представить в виде й = А(х — х,)" + о((х — ха)»), то это означает, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем (х — х,)» при х — хс« бесконечно малая 1з ведет себя в окрестности точки х„как степенная функция Л(х — х,)». Покажем на примерах, как метод выделения главной части бесконечно малых применяется к вычислению пределов функцийа|. При этом будем широко использовать полученные нами соотношения эквииалентности (8.22).
Пусть требуется найти предел (а значит, в част|юсти, и доказать, что он существует) (пп |п (1+ х + ха) + аесып Зх — Бх' х о з!и 2х -|- 12» х + (ех — 1)з «1 Заметим, что мы ужа использовали »тот метод апи иоаазатеиьстаа »аврамы 2. НЛ Метод о!яде чехия главное части фиихт!тттт Используя доказанную выше (см. 8.22) эквивалентность 1п (1+ и) — и при и-ч-О, имеем 1п(1+ х+ х') — х+ х' при х-т- О, поэтому (см.
теорему 1) 1п (1 + х + х') = х+ хх + о (х + ха), но о (х + х') =- о (х) (почему?) и ха = о(х) при х -ч- О, поэтол!у 1п (1+ х+ х ) = х+ о (х) при х-э О„. далее, агсяп Зх — Зх, поэтому а ге яп Зх = Зх+ о (Зх) = Зх+ о (х); бх' =- о(х); из яп2х — 2х получим яп2х=-2х+о(2х) ==2х+о(х); из !ихх — х" получим !я' х = х'+ о (ха) == о (х), а из (етх — 1)' — х' получим (е-т — 1) = хо+ о (хо) = о (х). Все эти соотношения написаны при х-г-О. Теперь мы имеем 1п (1+ х+ х')+ агсз(п Зх — бх' = х+ о(х)+ Зх+ о (х) — о (х) = = 4х+ о (х), зги 2х+ !ихх+(ех — 1)'=2х+о(х)+о(х)+о(х) =2х+о(х).
Поэтому !пп — - 1!ш !и 1! -1- х+ х') + атсх!и Зх — Зхх . 4х -1- о(х) х-о х!а2х -1- !2' к+ (ек — !)' «-о 2х+о (х) Но 4х+о(х) — 4х, а 2х+о(х) — 2х при х- О, и, значит, по теореме 2 х о 2х -)- о (х) «-о 2х Таким образом, искомый предел существует и равен 2. При вычислении пределов функций с помощью метода выделения главной части следует иметь в виду, что в случаях, не рассмотренных в п. 8.3, вообще говоря, нельзя бесконечно малые заменять им эквивалентными.
Так, например, при отыскании предела выражения 1пп — было бы ошибкой заменить функцию з!п х на эквио хч валентную ей при х-г- О функцию х. Естественный метод решения этой задачи будет даи в п. 13.4. 120 1 1ип соз" 2х. -о Замечая, что 1 соз' 2х=е'""' (8.30'; видим, что следует вычислить предел — !п со!2« ! . 1п (! — 5!не 2х) Игп!псов"' 2х= Игл = — 1пп «-о «ох'2«о хк Так как 1п(1 — з(п52х) — — з!п'2х, то отсюда, согласно теореме 2 этого параграфа, имеем 5 1 .
1п (1 — 5!пк 2х) 1 . 5!пк 2х 2 «-о Х" 2 о хк но з!пе2х- (2х,', поэтому 1 . 5!п52х 1 . 4ке — — Игп =- — — 1пп =- — 2. 2 ко х' 2 «о ха Таким образом, ! 1пп.(п соз " 2х = — 2. к В силу непрерывности показательной функции из (8.30) имеем 1 «е ! Пш 1п сок 5« Игпсоз'*2х=-е' «о е 5 Метод вычисления пределов с помощью выделения главной части функции является очень удобным, простым и вместе с тем весьма общим методом.
Некоторое затруднение в его применении пока свя. вано с тем, что пока нет еще достаточно общего способа выделения главной части функции. Это затруднение будет устранено в дальИейшем (см. 2 13). У и р аж не ни е 4. Вычислить пределы: 1. 1!гп агса!п2х — епоа х к-о х! (-!и(1+ Зх) ! — соа Х 2. 11гп к о!п(1+125 х) В случае отыскания разно находить предел мер. Найдем предел Е д. Српаиеипе д!ункиий. Вычисление проделав пределов выражений вида и(х)еео целесооб их логарифмов. Рассмотрим подобный при- 2.1. Определение пронзеодноа !21 ໠— Ь" 3. 11гп -о х 12 х — згп х 4. 11п! х О Х з 1и(1+ е ) З, 1!гп и >О, й>0, .-т 1и (1 !. ей") ' 1п12» б.
!нп . у казан не: полезно сделать запену х =- — — )г. н со52х а 0 !нп (1+2125»)'~е к О ! й а. НРОНЗВОднля и диФФЕРЕНЦИЛл 9.1. Определение производной Определение 1. Пусть функция у = )(х) определена в некоторой окресогности !почки хз и пусть х — некоторан точка втой окрестности, х+х,. Если отношение 1(х) — ! (хз) Хз имеет предел при х- хз, то это!а предел назьгвается произ- водной функ!(!ги 1 в точке х, и обозначается 1'(х ). Таким образом, н(х ) 1;ш ((х) — )(х.) (9.1) х — Хз Если ввести обозначение х — хз=гзх, то определение (9.1) запишется в виде !'(х,) = !!гп "" +'") — )("~) Дх-О лх Полагая 1 (ха+ Лх) — ! (ХО) = Ьу и опуская обозначения аргумента, получим егде одну запись определения производной: у'= йгп Лн О ~» В д ггроггхвознол и диФференциал !22 Если для некоторого значения хо выполняется условие 1пп --=+со, или Огп — = — оо, или !1т — =со, ду .
др . дх Д, Одх ' Д-Одх ' Д „Одх то говорят, что для этого значения х, существует бесконечная проггзводная, равная соответственно +со, — оо или оо. В дальнейшем под выражением <функция имеет производнуюх мы будем понимать всегда наличие к о и е ч н о й п р о и з в о дн о й, если не оговорено противное.
Определение 2. Ес,иг ф!ггнкцггя ) определена в правоспгоронней (левосторонней) окрестносгпи точки хО и сугцеспгвует конечный или бесконечный предел йгп Дх-.+О ( 1(х + дх) — 1(х ) 1нп '+ ' ) „гпо он называется соответственно код< — О печной или бесконечной производной справа (слева) функции ( в точке х, и обозначается )г (х,) (или ! (х,)).
Из теоремы об односторонних пределах (см. п. 4.5) следует, что функция ((х), определенная в некоторой окрестности точки х„ имеет производную 1'(хо) тогда и только тогда, когда (' (х,) и !+ (х,) существует и г' (х<)=~", (х,). В этол< случае ('(х<)=Р' (х<)=-(' (х<).
Если функция )определена на некотором промежутке и в каждой точке этого промежутка существует производная (причем под производной в конце промежутка, который приггадле>кит промежутку, естественно, понимается соответствующая односторонняя производная),то эта производная 1' есть, очевидно, также функция, определенная на исходном промежутке. Операция вычисления производной от данной функции называется операцие(г дифференцирования. Примеры.
1. у=с (с — постоянная). Так как Лу = с — с = О, то 1!гп — = О, и, таким образом, Ду Д< ОДх= ' с'=-О. 2. у =- з! и х. Имеем Лу = гйп (х+ Лх) — сйп х = 2 сов (х+ — ) з!гг —, дхт . дх < и поэтому дх Хго —,— 2 =- соз х. (ип ох-=!Оп сов (х+ — ! Пт д -О Х Хх-О Д< О 9.Л О ~ределение произоодноа 123 Таким образом, (5(и х)' = соз х. 3. у=созх. Так как Ду = соя(х+Дх) — созх= — 251п(х+ 2 ) 51п — „ Ьхт . Лх то ах Лх1 . 2 — 1пп — = — ып х. ак О 2 И1п — = — 11п1 5(п (х+ ау Ьх ОД Ьх О Таким образом, (СО5Х) = — 51П Х 4. у=ак. Имеем Ду = а +з-" — а' = а" (ах" — 1), позтому ах ЬО а — 1 — =а' Ьх Ьх откуда в силу формулы (8.17) получаем аО . Оа' — 1 1пп — ~=а' 81п =- а' 1и а.
ОЬх а О Ьх Таким образом, (а"')' = а-О 1п а, в частности, (е")' = и". Последнее равенство показывает, что число е обладает замечательным свойством: покааательпал функция с основанием е имеет произаодную, соападаюи(ую с саз1ой функцией. Этим и обьясияется то обстоятельство, что в математическом анализе в качестве основания степени и основания логарифмов используется преимущественно число е. Это очень удобно, так как упрощает выкладки. б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
