kudryavtsev1 (947411), страница 24
Текст из файла (страница 24)
у=х", и — положительное целое. Используем разложение бинома: ду=(х+дх)" — х =-пх"-'дх-1- '"", 1 х" — Одхз-(-...+дхО, 4 9. Производная и дас)сг)серенииал 124 и, следовательно, — — пх + х" Лх+ + Лхн Лх 2 Так как при Лх- О все слагаемые правой части, содержащие множитель Лх в некоторой положительной степени, стремятся Л к нулю, то !ссп — ~= пхв — ', Таким образом, Л..Л = (хв)' —, п~ в- с В дальнейшем мы увидим, что эта формула справедлива, когда и является произвольным вещественным числом.
9.2. Дифференциал функции Определение 3. Пусть функция у = с(х) определена внекоторой окрестносспи точки хе и пусть Лх = х — х . Функция с называепсся дифференцируемой в пючке х„если приращение ЛУ =- с(хв + Лх) — с(хв) представимо в виде Лу= — А Лх+а(Лх), (9. 2) где А — постоянная ес и а(Лх) =- о(Лх) при Лх — О.
Линейная функция А Лх (осп Лх) низывается дифференциалом функс(ии 1 в спочке х, и обозначается йс(хв) или, короче, Иу. Таким образом, Лу=йу+о(Лх) при Лх — э-О, (9.3) йу=-А Лх. (9.4) Заметим„ что дифференциал функции йу = АЛх, как и всякая линейная функция, определен для любого значения Лх: — оо ( Лх ( + со, в то время как приращение функции Лу = с(хв + Лх) — с(хе), естественно, можно рассматривать только для таких Лх, для которых хе + Лх принадлежит области определения функции Л Если А + О, т. е. если йу ц(в О, то дифференцируемость функции в точке х, означает, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем приращение аргумента Лх, приращение функции Лу является линейной функцией от Лх, т. е., используя терминологию п, 8.4, можно сказать, что главная часть приращения функции Лу в точке х, является линейной функцией относительно Лх; при этом приращение Лу и дифференциал йу являются эквивалентными бесконечно малыми при Лх — ь О.
'с При фиксированной точке х, А есть некоторое гсссяо, не звннсвщее от Лх; конечно, прн невезении точки х„ чнсно А, вообще говоря, неияетсн. 125 9.2 Цвффелееииа» функции Если же А = О, т. е. Ау = О, то Лу = о(Лх) при Лх — О, т. е. при Лх — О приращение Лу является бесконечно малой более высокого порядка, чем Лх. Пусть / (х») = у,. Подставляя в (9.З) Лу = /(х) — у„ Лх = х — х„, йу = А(х — х„), получим / х) = у»+ А (х — хо)+ о(х — хо) при х — ~ хп. (9.6) Итак, если функция /(х) дифференцируема в точке х,, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем х — х„ она равна линейной функции; иначе говоря, в этом случае функция / в окрестности точки х«ведет себя «почти как линейная функция» у»+ А (х — х,), (9.6) причем погрешность при замене функции / линейной функцией (9.6) будет тем меньше, чем меньше разность х — х„, и, более того, отношение этой погрешности к разности х — х, стремится к нулю при х — х,. Для большей симметрии записи дифференциала переменную Лх в этом случае обозначают йх и называют ее дифференциалом независимого переменного.
Таким образом, дифференциал можно записать в виде Если функция / дифференпируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал является функцией двух переменных— точки х и переменной ах: г/у = А(х)дх. Пример. Пусть у = х', тогда Лу = (х+ Лх)' — х» = Зх'Лх+ Зх(Лх)' + Лх»; главная часть выражения, стоящего справа, при Лх- О равна Зх'Лх, поэтому ду — — Зх«йх.
Выясним теперь связь между дифференцируемостью в точке и существованием производной в той же точке. Теорема 1. Для пюго чтобы функиин / была ди44еренг/ируема в некоторой точке,х«, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную, причем в этом случае ду=/'(хо)дх. (9.7) Доказательство необходим ~сти. Пустьфункция / дифференцируема в точке к,, т.
е. Лу = АЛх+ о(Лх). Тогда 1пп -~=А+ !пп ' ) А. а» оде а» 0 э 9. Поаизаадяая и йиФфаренциал Поэтому производная Дха) существует и равна А. Отсюда ду = = 7'(х„) дх. Йоказательство достаточности. Пусть существует производная Г"' (х„1, т. е. существует предел !пп — = 7' (х,). Лу аа ОЛХ Гогда лх —— 7'(х,)+ е (Лх), где )!п1 е Лх)= — О, и для Лх+О ~ ° а Лу = )' (ха) Лх+ е (Лх) Лх, (9.8) и так как е(Лх)Лх = о(Лх), то наличие равенства (9.8) и означает аифференпируемость функции / в точке х,. Теорема доказана. Из доказанного следует, что коэффициент А, участвующий а определении дифференциала (см. (9А)), определен однозначно„именно А =- Р (х,); тем самым и д и ф ф е р е н ц и а л ф у н к ц и и в данной точке определен однозначно.
Это, впрочем, вытекает также из леммы п. 8А о единственности главной части бесконечно малых определенного вида. Из формулы (9.7) получается новое обозначение для производной функции у = )(х): ах аг Здесь правая часть представляет собой дробь, у которой числитель является дифференциалом функции, а знаменатель — дифференциалом аргумента. Формула (9.7) позволяет находить дифференциалы функций, если известны нх производные.
Так, например, используя производные, найденные в п. 9.1, получим до =-. О (с — постоянная), дз)пх=созхдх, о соз х = — Б! и х дх, дп" =па )подх, в частности, дв" = е' дх, дха = пх" — ' дх (и — положительное целое). В заключение этого пункта выясним связь между дифференцируемостыо и непрерывностью в данной точке. Теорема 2. Если функция ! диффвренцируелт в некоторой точка, то оно и непрерывно в отпой точка. 127 9.8. Гео.четрический смысл праазноднод и даЯхренииала В самом деле, пусть функция 1 дифференцируема в точке хсч т.
е. в этой точке Лу = А Ьх + о (Лх) при Ьх -ь О. Тогда 11п> Лу = А ! нп Лх + ! пп о (Лх) =-. О, Дк-о де о дл-В что и означает непрерывность функции 1 в точке х,. Заметим, что утверждение, обратное утверждению теоремы 2, неверно, т. е. из непрерывности функции ! в данной точке не следует ее дифференцируемость или, что то же (см. теорему 1), существование производной в этой точке. Наприлеер, функция 1(х) = ! х), очевидно, непрерывна в точке х = О (как и во всех других), но не имеет и этой точке производной.
В самом деле, так как 1(х) = х при х > О н 1(х) = — х при х - О, то 1 (О) = 1 и ! (О) = — 1. Следовательно, функция х ~ не имеет производной в нуле. У п р а ж н е н и е 1. Ввести понвсие Пифференцируечости функции справа (слева) в данной точке и показать, что лифференцируецость справа (слева) в точке эквивалентна суптествованию в атой точке проиаводной справа (слева). Если функция й имеет производную в каждой точке некоторого промежутка (дифференцируема в каждой точке этого промежутка), то мы будем говорить, что функция )имеет производную или что она дифферент(>трунин на указанном промежутке.
9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала Понятия производной и дифференциала функции в данной точке связаны с понятием касательной к графику фуннции в этой точке. Чтобы выяснить эту связь, определим прежде всего касательную. Пусть функция !определена на У интервале (а, (>). непрерывна в точке хос-(п, Ь) и пусть уо-=-((хо), ' а Мо = (хо уо)* хо + й-,- (о Ы, Мв = (хо+ 1> 1(хо +Ы).
уе Проведем секущую МоЛда (рис. 20). Она имеет уравнение у = й(й)(х — хо) +уо. где хеей й(с) 1(ко 1 й) 1 (>о) (л д) Рис. 20 й Покажем, что при Л вЂ” О расстояние МоМ, стремится к нулю (в этом случае мы будем говорить, что точка Л4~ стремится к точке Лд„ и писать Ма- Мо). Действительно, в силу непрерывности функции ! У 9. г/роиеоаднал и даг/гг/гереьиггал 128 в точке х, имеем 1пп (/(хо+ Ь) — /(х,)1 = О; следовательно, при ь о Ь О МоМв = О. В силу равенства (9.9) существование конечного или бесконечного предела функции Ь(Ь) при Мя - М„т. е. при Ь вЂ” О, эквивалентно существованию конечной или бесконечной производной /'(хо), причем Ь, =- ~'(хо).
Определение 4. Если сущестг/хо+ вует предел!пп Ь(/г) = Ьо, то прямая о о у='Ьо(х хо)+уо (9)О) кои горая получается из прямой у = Ь(/г) (х — хо) + уо при Ь-~ О, называется наклонной касгипельной к графику функции / в точке (хо, уо). Если Ипг Ь (Ь) =- о, то прямая ( рис.
2/) г -0 Рие. 21 х = хо, (9.11) когиорая получается из — = х — х„+ — при Ь- О, назыеаегггся У Уо 1,(М о|1(ь) вертикальной касательной к графику г/ункции / в точке (хо, уо). Прямая у = /г,(х — хо) + у, в случае конечного предела 1пп Ь(Ь) н прямая х = хо в случае бесконечного предела 11щ А(Ь) и-о ь о называются предельными положениями прямой (9.9). Поэтому данное выше определение касательной к графику функции можно перефразировать следугощим образом. Предельное положение секущей МоМо при Ь- О, или, чпго то же, при Мо — Мо, называется касательной к графику функции / в топей /(его. В результате мы пришли к следующей теореме.
Теорема 3. Пусть функция / непрерывна ири х = хо. В пгочке (х„ /(х )) суи(есггГвует наклонная касательная к грг4ак// функцгт / тогда и только тогда, когда функцггя / имеет в тоске хо производную (или, что то же, когда она дифференцируема в то~гке хо). При илом уроанение юкательной имеет вид у = /'(хо)(х — х,) + у„где уо = /(хо), (9.12) и, значшп, производная в точке х, ровни пщнгенсу угла наклона касательной к оси Ох, а дифференциал в точке хо равен приращению ординаты касательной. У.а Геометричесиис смысл ироиэводноа и ди4нреренкиоли Соответственно, в точке (хо, Г(хв)) суи(ествует верспикальная касательная к графику функции ) тогда и только тогда, когда в точке хв функция имеет бесконечную проспгодную, причем в мпом случае уравнение касательной имеет вид х = хр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
