kudryavtsev1 (947411), страница 27
Текст из файла (страница 27)
пишут г или г . В этих обозначениях формула (9.21) имеет вид г =-г Е Д Пввавввдвая и дадхяеаенк!аал 142 Примеры 1. Пусть у=х", х >О, найдем аи а Имеем ха=в", где ис н)пх. Замечая, что „вЂ” =- —, получаем й» Лх де" к)ев аа ск, а с,— ! е . — Ев!вк п»и дк ах аа к!х .к х Таким образом, (ха)' =. ах" 2. Найдем производную функции Заметим, что если функция и =и(х) дифференцируема и и(х)+ О, то (и)'=и'янп и. Теперь л.— а 1 ~ х+а х — ак' У х+а 1 х+ а х+ а — (х — а) 1 »ах — а (х+ а)х хк — ак 3.
Найдем производную функции у=-!пах+)гх'+А!. Воспользовавшись замечанием в примере 2 о ди)ференциро ванин абсолютной величины функции, получим ! х+')/хк+ А ( )»хк+ А/ Ркхк+ А 1 4. Пусть у ==- 1и' агсз)и — . х Найдем производную и дифференциал этой функции: у'= ~(икагсз)п — ~ =21пагсз)п — ~!пагсз!и — ~ =- х~ х к~ 1 1 ( . !)' =2 !иагсз!и —, 1 (агсз)п — „) = агсгип К 143 9.7.
Производная и дифференциал сложной функции 1 ! ~7/ ! ~х) 1 2 !и агсз1п— х 1 ' ! х ! 1/хз — 1 вгссип— к 11 1 с . 1! с( ~! и' агсз)п — ) =- 2!и агсзш — д ~ 1п агсгйп — 7! х) к к/ = 2 1и агсз1п — — с( ~агсз)п — ~ = 1 1 г . 1! к 1 ~ х~ агсз!и— 1 1 1 — 2 1п агсз! и— к г(х. 1 — )х! )/х'"'-Тассе!и — „ хз 1 2 !и агсз!и — „ 1 агсз!и— х Выведем с помощью теоремы б еще одну полезную формулу. 5. Пусть у=и', где и=и(х))О, п=п(х). Вычислим —: ду дх оу аввы" й (гГв з ~и1 йк дк дх — = — = в" '" " — (и!и и) и'(„- 1п и+ — — 1! !ах и Фх~ , ди йи =ии — 1пи-1-па" ' —. йк йх ' (9.27) С помощью правила дифференцирования сложной функции можно находить н производные функг!иг1, заданных неявно.
6. Пусть днфференцируемая функция у = у(х) задана неявно уравнением Р(х, у) = 0 (см. п. 4,2). (Вопрос о том, как узнать, что данное уравнение на самом деле определяет некоторую функцию, мы пока оставляем в стороне, он будет изучен в дальнейщем.) Дифференцируя тождество Р(х, у (х)) ы 0 как сложную функцию, ыикмо вычислять производную ~~. Отсюда диф)геренциал находится непосредственно по формуле с(у=у'г(х, однако, если бы мы уже не имели готового выражения для производной, дифференциал можно было бы найти и непосредственно, используя его инвариантность относительно выбора переменных: 4 9.
Ппооееодное и дсссудсормсссиол (е")' = е" и (я и и) =- и соз сс; (сов и)' = — и' яп и; (1п и)' =- — (и ) О); (1ц и)' = и' (агсз! и и)* =- ==; ' )/1,сс ' и' (агссоз и)' =- — = 1/ 1 — и' В качестве конкретного примера вычислим производную неявной дифферепцпруемой функции у(х), определенной уравнением х'+ у' = 25.
В данном конкретном случае существование подобных функций не вызывает сомнения, так как ими, например, являются функции у = !l 25 — х' и у = — 1/26 ха. Продифференцируел! уравнение хе + у' = 25, считая у функцией от х. Получим 2х+ 2уу' = О. Отсюда у' = — —. у С подобными задачами приходится сталкиваться в геометрии. Пусть, например, надо найти касательную к окружности х' + у' = 25 в точке (3; 4). Угловой коэффициент е касательной равен производной: й= у', и,значнт, в нашем случае А = — †. Для 3. рассматриваемой точки й = — —; поэтому уравнение искомой 4' 3 касательной можно записать в виде у — 4 = — — (х — 3), т. е.
4 Зх + 4у — 25 = О. Метод дифференцирования неявных функций может быть применен к выводу формул, полученных ранее другим путем. с. Рассмотрим снова функцию у=и'. Логарнфмируя, имеем |ну=о!пи. Дифференцируя результат как неявную функцию, получим ! = о'!пи+ — и'(выражение (1пу)' =-У вЂ” называется логау И у с о рисрслссческой ссроизаодной функции у (х)/1, или у'=-у ! и' |п и+ — и'); подставляя сюда у=и', мы н получим снова формулу (9.27).
Другой пример: у=агсяпх, значит, х=япу; дифференцируя как неявную функцию, получим 1=у'соху, откуда у' — — -= сов у 1 1 , т. е. то же, что и в п. 9.6. !/1 — с! о' у 1/1 — х' 3 а и е ч а н и е. Используя теорему 6, можно все полученные нами формулы для производных основных элементарных функций записать в несколько более общем виде: если и = и(х) — дифференцируемая функция, то 145 9.8. Гипербол««четкие функции и их производные (с«а' =-- аи" — 'и' (и ) 0); (агс19 и)' = —,; (аи)' == а"и' 1п а; (агсс(ц и) = —— 1+ из Из перечисленных формул видно (при и = х), что производные основных элементарных функций являются элементарными функциямн.
Полученные же нами в совокупности формулы дают возможность конкретно вычислить производную и дифференциал любой элементарной функции в случае, если эта производная существует. Следует иметь в виду, однако, что не всякая элементарная функция имеет производные во всех точках области своего определения. Примером элементарной не дифференцируемой во всех точках функции является функция ~ х~ =- )«х', она, как мы знаем, не имеет производной в точке х = 0 (см. п. 9.2).
У п р а ж н е н и е 4. Ответить на вопросы. дк дз ду Можно влв нет дои«зать формулу — =- — — при лучио, просто умно. дх ду дх дз жна н разделив — на ду? Йх Ых 1 Можно илн нет доказать формулу — — = — при дх ~ О, рааделив числиду=ау Йх дх тель н знаменатель дроби — на дх? ду 9.8. Гиперболические функции и их производные г" +е " е' — г " Определение 4. Ф«1нк«(ии и — — назы- 2 2 лаются соол«аел«стсгнно гнперболи«егким косинусом и г««пгрболическил«синусам и обозначаются сйх и зЬх: гх+«х г" г х = с1«х, =- з(т х.
Справедлива формула сРх — зУх=1. (9.28) Действительно, сЬ х — 51«зх=-~, ) — — ( — — ) = — (гзк+2 1 г — зк гзк+2 г — зк) . 1 1 4 й 9. Прага»одна» и диффяргнягс, Справедливо также формула зй 2х= 2 з!1 хей х; в самом деле, г«;2« з'п 2х, е' — е ' е'+е ' 2 зй х с11 х — 2 з Эти формулы напоминают соотношения между обычными (как ьх иногда называют, круговымп) синусами н косинусами. Для зп х н сй х имеется и ряд других соотношений, аналогичных соответствующим формулам длн з!п х и сов х.
Этим и объясняется название функпнй зп х н сй х. Эпитет же «гиперболический» связан с тем оГютоятельством, что формулы х=ас'пР„ у —. а зп! (9.29) параметрически задают гнперГюлу, подобно тому как формулы х=.асов|, у=-агйпг (9.30) (с 11 х) —, — - =- зй х, /е«е — «'~' «! е — « (з!1 х) = =- = с!1 х. Таким образом, (сй х)' =-з!1 х, (зй х)' =-сй х. »ь» сь» Частные — и — по аналогии с обычными синусами и ко- «Ь»»Ь» синусами называются соответственно гиперболическим тангенсом и гиперболическим котангенсом н оГюзначаются »ь», сь» — =. 1п х; — — = с1Ь х. сЬ» ' »тг» параметрически задают окружность.
В самом деле„если возвести в квадрат равенства (9,29), вычесть одно из другого и воспользоваться формулой (9.28), то мы получим уравнение х' — у' =- а', т. е. каноническое уравнение гиперГюлы. Подобным же образом из уравнения (9.30) вытекает :Р + у' = а', т. е.
уравнение окружности. Найдем производные гиперболических синуса н косинуса. Замечая, что (е — ')'= — е — ', имеем 9Я Ггат пбовн югеги г!чгахдии и чг аппо«поочые х" + 1 2. у= —. хе — «+ 1' 3. у= (г х. 1 у г'х 5. у =- хз з !и 2х Ф 2х го«х ! и х. х сот « 6. У = 1 (а,« — 2 —.х х . Ь— 1 7. у =- у«т с( д 2х — 2 !п асс!2 Зх. 8. у = агсз(п х. 1 О.
у = агссоз —. х' + х'1/2 +1 1 х1~я 1О. у =- = 1п (/2 х« — «) 2+1 2 1 — хз + †. агсс!а — ,. х 11. у = х 1«аз — х'+ ох агс(2 —. а' 1.. »= (п (х+(г'к*+а~). х+ 1 !3. у = агс18 „— агсз1п х 1 1 — х 14. у= =+ — 1о— -~~ тз 2 1+х У х ° хх ф хж + а« . (ии Х)ьп «+ (со Х)тю*. 15. у= 16. у= 17„» = сй х « 18. »=,— — !и суй —,. «'и х ! 19. у= агссог —. ' сйх' 2 (ГО' — Ьз ( т / о — Ь Х ~ 26. У~ — х+ агс!Я ! ~' — !й — 1! (О К (р ~ о! а о (Г а+6 2т Упражнения. 5. Вычислить производные !Ьх н с(пх. 1!остронть графики функций у=сйх, у =зйх, у !йх н»=с!Ьх.
Найти пропзаод. ные их обратных функций. Выразить указанные обратные функции н пх производные через логарифмы. 6. Вычислить произнодные следующих функций н тех точках, в которых опп существуют: 1. у= х'(хз — 1)'. Р 10 Производные и дифференциилы высгиик порядков й 10. ПРОИЗВОЛНЫЕ И ЛИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯЛКОВ 10.1. Производные высших порядков Определение 1. Пусть функция 1(х), определенная на интервале (а, Ь), в каждой точке х ~(а, Ь) имеет производную /'(к) и пусть хв ~ (а, Ь).
Проигводнал функцгш 1'(к) в пгочке х называется впшрой производной функции / и обозначается 1"(х) или 1 "(х„). Таким образом, Г" (хв)= (Г'(х)1'!„„„или, опуская обозначение аргумента, у"=(у')'. Лвалопгчно определяется произ воднаяя у<"> любого порядка и= 1,2, ...: если сугцествуепгпроизводная у<" — '> ггорядка и — 1 (при этом под производной нулевого порядка подразумевается сама функция уш> = у), то у<"> = !у<и-г>!' Вспоминая определение производноя (см.
п. 9.1',, определение и-й производной в точке х„ можно записать в виде предела: г!<и> (к ) — йггг 1 < в+ > 1 (~е> а -о ак Отметим, что когда говорится, что функция 1 имеет в точке х„ производную порядка и, т. е. что существует ><и>(хв), то отсюда следует в силу определения производной, что в некоторой окрестности точки х, у функции 1 сугцествуют все производные низших порядков /г ( п, в частности, сама функция 1 определена в некоторой окрестности точки х,. Определение 2.
Функция (называется и раз нснрерьюно дифференцируемой на некотором промежутке, если на этом промежутке сугг<еспгвует производная и-ео порядка 1<н> функции ( и зпга проижодная непрерьтна. П р и м е р ы. 1. у=х', у'=Хх' у"=6х, у<з>=6 у<г>=у<в>=...=0. 2. у=а"', у'=а"!па, у"=а'1п'а, у<з>=а !пва. Вообще по индукции легко устанавливается, что у<"> =а"!и"а. В частности, (ек)<и>=е п.=О, 1, 2,,...
3. у=з!п х. Вычисляя последовательно производные, получим у'=созх, у"= — з!пк, у<з>=.— созк, у<'>=згпх, далее производные повторяются в том же порядке. ь!тобы получившийся результат записать одной формулой, заметим, что соьа=з1п(а+ — ), и по- 10.2 бвовство производных вмсши» порядков этому у' = созх= з(п(х+ — ~ у =сои|»+ — ~=з1п х+2 — — ~ п~ в ! п~ ! .
а~ и т. д. их По индукции (з(п»)ш1=61п1(х+а — !1для любого 11=-1,2, .... 2 ! а1 4. у=созх. Замечая, что — з(пи = соз (а+ — ~, аналогично г~ предыдущему примеру получим (созх)1п1=соз(х+а — ~1 п=1,2, ..., 2 / 10.2. Свойства производных высших порядков Теорема 1. Пусть функции у, = — 1, (х) и у, = !е (х) имеют производные и-го порядка в точке хо, тогда функции у,+у = = 1,(х)+ !и (х) и у,у» = ), (х)Г,(х) также имеют производные и-го порядка в точке х„причем (у +1,)оо = у'~'+ у1е1, (10.1) СУг, (ка — А1,1») »=о где, как обычно, С„обозначает число сочетаний из а элементов сюА,71=0, 1,2, ...,п. Формула (10.2) обычно называется формулой Лейбницав~, ее символически можно записать в следующем виде, удобном для запоминания: (у уе)'"'=-(у +уе)1")- Индекс (п) означает, что выражение (у,+ у»)(п) записывается подобно биному Ньютона, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
