kudryavtsev1 (947411), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Раснтнетае неопределенностей ао нраеалв Ланюалн 1 где х=- —, поэтому Ип1 (ах) ц(х) Тсорема доказана. Эта теорема остается верной при соответстаукяцем видоизменении и при х — — оо, 12.2. Неопределенности вида— Теорема 4. Пусть функт(ии !'(х) и д (х): 1) дифференцир!гелты на интервале (а, Ь); 2) Игп ~(х)=оо, Иш о(х) =со; к а+а к а+О 3) о' (х) ФО на (и, б'); 4) суи(естивует конетный или бесконечный предел Ип1 Р (х) к а+он (х)' (12.2) тогда суи(ествует и Иш — = Итп 1(х) . р (х) а+он(х) - +о а' (х)' До к а з а тел ь ство.
Без ограничения обтцпости можно считать д(х) + О и 1(х) + О. Действительно, из условия 2 следует существование такого т) ) О„что для всех х~(а, а+т)) указанные неравенства выполняются. Пусть сначала предел (12.2) конечен и Игп , = й. к ала и (х) Пусть фиксировано какое-либо а ) О. Выберем б ) О так, чтобы для всех х, удовлетворяющих условию а «" х( а+ б, выполнялось неравенство (12.3) Зафиксируем какое-либо хе так, что а«. х,«." а+ б, тогда для любого х, удовлетворяющего условию а( х( х, по теореме Коши существует такое я, что 1(х) — 1(хь) Р (О а(х) — а(хе) а'(4) ' )22 Неопределенности вада— (аа Отсюда 1(к.) 1(к) 1 1(к) 1' (2) я (к) , а ( ) я'(ч) а (к) и, значит, 1 —— к (хо) 1(к) 1' (ч) я бк) аЬ) =йа 1(к.) )в (12.4) Нам надо доказать, что левая часть, а следовательно, и правая часть этого равенства стремятся н А. Для первого сомножителя правой части равенства (12.4) прн хо, стремяшемся к п+ О, имеем !пп —, й, 1' (э) к, а+О в (о) а для второго при фиксированном л;, ) —— д (х'о) д (х) 1пп = 1.
к а+О) 1 (к) Таким образом, первый сомножитель может бить сделан сколь угодно близким к 1с за счет выбора х„, достаточно близкого и п, а второй сомножитель может быть сделан близким к единице за счет выбора х, достаточно близкого к о нри фиксированном хо. Тем самым здесь нельзя просто использовать теорему о произведении пределов, а придется сделать последовательный переход к пределу, т. е.
сначала выбрать хо достаточно близко и а, а затем, зафиксировав его, образно говоря, устремить х к и. Положим = — — 1с, хе" ~е" хо. Г (ь) а' (ч) (12.5) Точна $, а потому и функпия ок зависят от точек х и х однаяо при л>обом нх выборе, таком, что а( х( хо С а + б, в силу неравенства (12.3) имеем ф бд Рпснрагтие неопределенностей пп приняла Лопиталя !70 Положим, далее, И (ха) ! —— и (х) а,(х)= — 1, ! (х) (12. 7) очевидно, 1!п1 а,(х)=О. л а+О Из (12.4), (12.Б) и (12 7) следует, что в (х) = — = (й+ ат)(1+ ае (х)) = /с+ а, + (1 + а ) а, (х).
(12 9) (12.8) Выберем теперь б, так, чтобы при а(х(а+ б выполнялось неравенство !ае(х)((— (12. 10) 2(!ОИ е) Это возможно в силу (12.8). Из неравенств (12.8) и (12.10) следует, что для всех х, удовлетворяющих условию а ( х ( а + б„гыполниются неравенства ! тг, + ((г+ ат) аа (х) ! ( ) а, !+ ( ! )г 1+ ! а, ! ) ! аех ! ( е е ( — +!!'~+ — ~ 2 ( 2 ~2!!гг!+е) 2 2 ( — + — =. е, и потому из (12.9) следует, что ~ — — )г~(е прин(х(а+б 1(х) а (х) е, что и означает существование предела Ит — ' =-/г. ! !(х! к- а+Он (Х) Пусть теперь !нп — = ОО, тогда в некоторой окрестности ~' (х) „,+О й(хг точки а имеем 1 (х)чьО (почему7) и !пп —, = О. Поэтому, Ф д'(х) к а+О 7' (х) согласно доказанному выше, 1пп — =О, откуда и следует, д (х) +О !(х) что 1!т — = ОО. 1(х) + л() Теорема доказана.
Она остается справедливой и для случая, когда х-еа — О, а также для случая х-т. — ОО их- + ОО. Из сказанного, очевидно, следует, что правило Лопиталя справедливо ие только для односторонних, но и для двусторонних пределов. 12.2 Оеаиаеделеннагта низав Примеры на применение правила Лопиталя к нахождению пределов 1. Найти )ип — а >О. 1и х + х Замечая, что ()пх)'= — (х")'=пх'". ' х и что 1 !нп их а 1 = — 1ип — = О, К ск,= .с х получаем, что 1пп — = О. 1и х »-+» Это означает, что при х — +аа функпня !п х растет медленнее, чем любая положительная степень х.
Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз. н 2. Найти!пп —,, где и — натуральное число и а~1, и х" . (хн) . ах" .» к' к а» к (а») „.. а»1иа а1 = 1йп —,— „= О. ак 1и" а (12.11) х — 81и х (х — я1и х) х+ спи х !к+3!их) )ип . = — Иш так как предел )пп; = !пп (х — 51и л') ° 1 — сих х !х+ »!их)' „1+сикх Таким образом, при х -э + аа любая степень х" растет медленнее, чем показательная функиия а», а ) 1. 3. Следует иметь в виду, что проведение вычислений по типу (12.11) оправдано только в том случае, когда в результате получается конечный или бесконечный предел.
Так, например, было бы ошибкой написать э" !2. Раскрытие неовреоеленностеа по провалу Лопоголв не существует (почему)). Вместе с тем данная неопределенность вида — может быть элементарно раскрыта: з)п х 1 —— к — з!п х х !Пп —., = — !'ип —.= 1. +ил ~! к х У и р а ж н е п и е 1. Пусть /(х) = хз Мп —, у(х) = 51П х. Найти в этом 1 х Цх) случае!!п1 — н ааказатЬ, ЧтО дЛН ЭтоГО ПримЕра пРаапло Лопнтала нек О Ь".
(Х) применимо. 4. Неопределенности О', о ', О или 1 можно раскрыть, предварительно прологарифз!ировав соответствующие функции. Например, чтобы найти 1нп х, следует найти предел +О 1 Х )ип — = — Ищ х= О. к-+О 1 к -1-0 хз 1пп х )п х = 1! пт — =— !п х .к +О к +О 1 х Поэтому в силу непрерь>вности показательной функции 1пп хк= !)гп вк 1пк = 1.
к+О к+О 51п к — х сов х ип х+ ксОБ х 3!их — хсОБ х 51ПХ Х 51ПХ х' в 1пз к Предел первого сомножителя правой части находится непосредственно: 5!ПХ 1 ХСОБХ ° Х 1пп . — ' =- 1!и!~1+ —.— сов х)=2, О Б!ПХ О! БП1Х Неопределенности вида О со и оо — оо следует привести к виду О оо — или --.
При этом, как и всегда при применении правила Допив галя, по ходу вычислений рекомендуется упро!цать получающиеся выражения. Поясним это на примере. 1 з '1 . ипк х — хз созв х б. 1!гп~ —,— с1язх)=1)п! ' Лаз!етим, что !3 ! Пывод формулы Тейлора а предел !порого — с применением правила Лопиталя: !и л — исоа и хаю х В!п —, .- ' =11т и о лов!п к к о 2ха!пк+х соах = 1пп 1 1 х 3 ' 2+ . сов х Мпх Таким образом, /1 е 1 2 11!п ~ —, — с(цех)= —. Уп р аж вен не 2. Найти пределы: ак — ха х а, а>0.
2. !!п1 л !и х, е > О. -.ьо ! 3. 1пп х' к ! 1 4. 1!гп ~с!К х — — ) . к»о ~ х )' $12. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 13.!. Вывод формулы Тейлор» Если Функция у=1(х) имеет в точке х, производную, то ее приращение можно представить в виде Лу = АЛх+ о (Лх), где Лх=х — хо, Лу=! (л) — уо, уо — — !" (.хо) и А=!'(хо), т. е. ! (х) = уо+А (х — х,)+ о (х — хо). Иначе говоря, существует линейная функция Р,(х) = у,+А(х — х,), такая, что 1(х)=Р„(х)+о(х — х ), причем Р, (хо) = Уо = 1 (хо) Р! (хо) = А = !и (хо).
Поставим более общую задачу. Пусть функция 1 имеет в точке х„п производных. Требуется выяснить, существуег или нет многочлен Р„(х) степени не выше л, такой, что ) (х) = Р„(х) + о ((х — хо)в) (13.2) 174 4 !Л Ф««.т[хо т«дло«[[ ((ха) = ' (хо)э ( (ха) = Рп (хг) ° ~ ) (хе) = 1 в (хо). (13.3) Попробуем найти этот многочлеп по аналогии с (13.1) в виде Р„(х) =-Л[+ Л,(х — х[[)+Ах(х — хч)'+ ... -[-Л„(х — га)". Замечая, что Р„(х,) —.— Л, нз первого условия (13.3), т. е. условия ((хо)= Р„(х,), имеем Л,=)(х~).
[[алсе, Р„(х) = Л, + 2Л, ( —,)+ ... +и Л„( . „)" отсюда Р„(х,)=А„и так как Р,(х„)=Г(х„). то Л[=-Е'(х„). За-. тем находим вторую производную многочлена Р„(х[: Р„,(х)=-2.1 А+ ... +п(л — 1) Л (х — хч)" Отсюда и из условия Г (хч) = Р, (хч) получим Л, = "') и 1" (хо) 2[ вообще Ли=,' ю А=-О,1,2,...,п. [[! В силу самого построения многочлен Рд(х)= 1[«п(х' ) ![")(% ) =~(х.)+Г(хч)(х — хч)+- + м '(х — ха)'+ "+ — „,-"-(х — хч)" удовлетворяет условию (13.3).
Проверим, удовлепк[ряс[ ли он. условию (13.2). Пусть «„(х) =-1 (х) — Р„(х). Из условия (13.3) следует, что «„(хо) — «и (М= - = [и (хп) = О (13.4) Поэтому, применяя и раз правило Лопиталя для раскрытия неопределенности „ при х — х„ а именно сначала и†1 «„ (х) (~ — хо)~~ раз теорему 2 из $12, а затем теорему 1 того же параграфа, получим «„(х) «, (х) (х! 1(п[ — ", = Б[и — ' „, = ...
= 11 и[ к и (х — хд)" к-и и [х — «М"' ~ т, ч[(х хы [ХО) 178 )ДП Пилой 4орлулм Тейлора т. е, действительно ги(х) = о((х — хо)"). Итак, доказана следующая очень важная теорема. Теорема 4. Пусть функция )(х) определена на интервале (а, Ь), х, (- (а, Ь), и пусть функция 1(х) илеет в точке х, производные г)о порядка и включительно, тогда г'(~) =1" (хо)+ —;,— (х — х,) + ... + „, (х — х„)«+ 1 (ло) 1 (т«) + о ((х — хс)«), или и м) 1(х) = ~ ( ' (х — хо)«+ о((х — хо)").
Эта теорема вместе сдоказательствомостается справедливой и для функции П опредсленной наотрсзке1а, Ь) прн х«~ [а, Ь], только в случае х, = а и к„= Ь под производными следует понимать соответствующие односторонние производные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
