kudryavtsev1 (947411), страница 33
Текст из файла (страница 33)
13.3; для этого следует в случае хе + О предварительно сделать замену переменного ! = х — х„, тогда условию х- хе будет соответствовать условие 1-э О. Случай х-~ оо 1 заменой переменного х = — сводится к случаыо ! — О. Если имеется неопределенность вида †, т. е. требуется найти 1пп — „, где 1пп ) (х) = 1ппд(х) = оо то ее можно легко прны-хе 2«Х) «-», »-ы, 1 веста к расслтотренному случаю — преобразованием — = — . О У (х) Их) О 2(х) 1 1(х) Подобно вычислению пределов с помощью правила Лопиталя при применении метода выделения главной части к раскрытию неопределенностей вида О оо и оо — оо их следует преобразовать к О неопределенности вида —.
Наконец, для раскрытия неопределен- О' настей вида О", оо и 1 указанным методом надо их предварительно прологарифмировать. Посмотрим на примерах, как применяется формула Тейлора для вычисления пределов фуикц!!й. Пусть требуется найти предел е" — е "— 2х 1пп х — ы!н х Замечая, что (см. и. 13.3) ~-=1+ + —",+ —,",'+ о(хы), хы хы е '=1 — х+ — — — +о(х') 2 3! ы хы Б!пх=х — 31 +о!»ы) !ай Вь«численпе вределоо с помон(ею формулы Тейлора 133 получим хе 3 + ек — е ' — 2х Игп 1 = Игп -о " """ о х 6 Рассмотрим неопределенность вида оо — оо: хе 12 Ип!1( — ! — —., ~=Ип! ',, — Игп х — — +о(хе) ~ — хе Г 1 1 ! .
сипел — хе а!п~х) к хка!пех хе[х+о(хИе х' — — + о(х') хе[х'+ о (х')1 х' х« — — + о(х") 3 . 3 1 = [пп — = —— хе+ о(х') о х' 3 ! /а!п х! «. В качестве последнего примера вычислим предел Ип! ~ †) х г. е. раскроем неопределенность вида 1 . Согласно общему правнпу, исследуем предел логарифма выражения, стоящего под знаком предела: л + о(х") Ига — [п = [пп а!ох „х . 1п (1 + 0(х)) ° о(х) =Игл =Им х =О. к О о х «о Следовательно, ! ! к«пк пૠ— !и— ! е«пх)к ок к к о'« Уп раева ение 2.
Найти пределы! х — е1п х -о х ел †1 †х ††, 2 !п (1 -1- х -[- хе) + 1п (1 — х — хе) ха!п х ! 3 и (1+ ) х ),ю сок (спп х) — со! х «о х! 5. 1[и (с(и х)е«о к. к-о 6 1«п! — = 4 ! 1 — хе — 4е-о + 1п (1 + хе) о асс!ц х — в[п х х" = !пп е =2. 3 к о 6 И Исследование поведения фанкчт! гот(«г') — го (хе «)+ 2«' к о х .б «!н « сге к" 11гп ~ к- ~асс!Як ! 1+ '" !+к ! х хет) — „, . и 1)г'Т вЂ” ° 1 — ) —,. ~ —,+ — )" " .
(2 ЗД 1 ! Н) )ИП Макк о«с мв к 1 к о хк к 3 й 14. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ В этом параграфе с помощьюразвитогов предыдущих параграфах аппарата мы займемся изучением различных свойств поведения функций. 14,!. Критерий монотонности функции Теорема 1. Пусть функ!(ия 1 определена и дифферении руел!а на интервале (а, Ь).
Тогда если 1 (х) ) О на (а, Ь), аю 1(х) с!прага л!аког!!анно возрастает на (а, Ь), если оке г)(х) ( О, то 1(х) строга лганапюнна убывает на (а, Ь). Доказательство. Пусть а(х,(хя<, Ь, тогда по формуле Лагранжа (см. п. 11,2) 1(ха) — ((х!) = /'(~) (х, — х,), где х, ( в( ха. Так как хя — х! .к О, то 1(хД я 1(х!), если 1'К) м О и 1(ха) ( )(х!), если 1'(в) ( О. Теорема доказана. Отметим, что условие г'(х) ) О„являясь достаточным условием для строго монотонного возрастания функции |, не является в то же время необходимым. Это видно, например, из рассмотренна функции у =- х", для которой производная в нуле равна нулю и которая вместе с тем строго монотонно возрастает на всей числовой оси.
У и р а ж н е н и е 1. Доказать, что для того чтобы функция П определенная и днфференцвруемая на интервале 1о, Ь), монотонно воарастала (соответственно убывала) на атом интервале, необходимо и достаточно, чтобы П(х) ~ О (соответственно р(х) < О) для всех в < х < Ь. 14.2. Экстремумы функций. Определение наибольших и наименьших значений функций Определение 1. Пусть функ!(ия)определена в некоторой окрестности точки х,. Тогда х„натывается тачгатй лгаксимула (ссответапвенно тачкой лшнил!улга) функиии П если существует такое <85 <Ейу. Экстремумы <эрню<ай 6 > О, что )(ха + ь<х) «( г(ха)< если ( ьгх! ( 6 (соответственно )(х, + ах) ) )(х,)).
Если существует так<<в б > О, что 1(х + йх) < 1(ха) (соответственно Кхо) + й<х) ) 1(ха)) для всех с<х + О, таких, что ) глх ) < 6, то тон~а х, называетпся точкой строгого л<аксимума соогпвегпсп<венно строгого минимулга). Точктг (строгого) максимума и л<г<нилгулш называются точками (сгпрогого) экыпрел<ума.
1(ля точек строгого экстремума функции 1 и только для них приращение функции <х! = /(хо + <зх) — )(ха) не меняет знака при переходе аргумента через точку. экстремума х<о т. е. при изменении знака стх. Именно Ы ( О для точек строгого максимума и Ы > О для точек строгого минимума независимо от знака <тх. Теорема 2 (необходимые условия экстремума).
Луспть точка х, является точкой экстремума функции Л определенной в некоторой окрестнсспш точки ха. Тогда либо производная 1'(хе) не существует, либо г'(ха) = О. Это непосредственно следует из теоремы Ферма (см. п. 11.1), примененной к интервалу (ха — б, х„+ 6), где 6 есть то б, которое указано в определении точек экстремума.
Отметим, что условие Т(х,) = О не является для дифференцируемой в точке х, функции достаточным условием наличия в точке экстремума, как это показывает пример функции )(х) = х", которая в точке х = О имеет производную, равную нулю, но для которой эта точка не является точкой экстремума. У и р а ж к е в в е 2 (достаточвые условия экстремума). Пусть функция г' определеаа аа ввтервале (о, Ь) а непрерывна в точке ха~ (а, Ь), Если фуакцая)(х) (строго) молотовке возрастает ва интервале (о, хе) к (строго) моаотокао убывает ва (хэ, Ь), то точка хе является точкой (строгого) максимума; а если фуакцая г(х) (строго) мокотовво убывает ка (а, хе) к (строго) монотонно возрастает ка (хэ, Ь), то точка х„является зочкой (строгого) маккмума.
Теорема 3 (достатонньле условия строгого экстремума). Пусть функция )дифференцируема на игиперваче(а, Ь), кроме, быть люжет, точки х„(- (а, Ь), в которой она является, однако, непрерывной. Если производная г'(х) меняет знак при переходе через точку х, (эпю означает, что существует тпкое б > О, чп<о значения производной 1' на каждом ингпервале (хр — 6, ха) и (х„ха + 6) имеют один и тот же знак, а на рпзных — противспо.южный), то точка хе является точкой строгого экстрелгума. Лри этом, если )'(х) > О для х, — 6 < х < ха и )'(х) < О для х, + б > х > х„пю х, является точкой строгого максимул<а, а если /'(х) ( О для хо — б ( х ( хо сс Р(х) ) О, для х„+ 6 > х > х<а гпо точка ха являегпся точкой строгого минг<л<у<ма (рнс. Зб).
б Ра Исследование поведения функции До к а з а тел ь с т в о. Рассмотрим первый случай г"(х) ) О для х < х, и 1*(х) ( О для х ) х„х ~ (а, Ь). По теореме Лагранжа (см. и. 11.2) АГ = 1(х) — 1(х„) = Г' ($) (х — хо), где $ лежит па интервале с концами х„и х. Если х<хги тох — х,<О и /'К)>О,таккакх<$<хе. Если х) ха, то х — х, ) О и г'($) ( О, так как в этом случае г' О гйе гьв ха х Рис. 86 хз( 5 < х.
Таким образом, всегда А(< О, т. е. в рассмотренном случае точка х, является точкой строгого максимума. Аналогично рассматривается второй случай. Теорема доказана. Задача 4. Построить пример функции, которая двфференцируема на юоервале, достигает в некоторой его точке хэ строгою экстремума, а ее производная в любой окрестности точки кс, как слева,так и справа от этой точки, принимает и положительные и отрицательные значения (таким образом, условие изменения знака производной в данной точке, являясь достаточным условием строгого экстремума, не является вместе с тем необходимым).
Введем еще одно понятие, полезное для дальнейшего. Определение 2. Пусть функция ( определена в некоторой окресгггносгпи точки хв. Точка хс назаваегпся гпо кой возрастания (убывания) функции й если суи(ествует такое б ) О, что 1(х) < 7(х,) (соответственно г(х) ) г(хз)) при х, — 6 ( х < х, и /(х))1(ха) (соответсгпвенно 1(х) < 1(хс)) при хз ( х < ха+ К Таким образом, точки возрастания и убывания функции / характеризуются тем, что при переходе через них приращение функции А( меняет знак, а именно с « — » на «+» в точке возрастания и с «+» на « — » в точке убывании (рис.
Э7). Не следует думать, что если функция определена на интервале, то всякая точка этого интервала является либо точкой экстремума функции, либо точкой возрастания, либо точкой убывания: могут И,а Экстрел»уны функция существовать точкгг, ие принадлежащие ни к одному из указанных пшов. Например, точка х = О для функции 1 хазгп — при к+О, У= 0 при х=О пе является пп точкой экстремума, пи точкой возрастания, пи точкой убывания. луев ~ 'лг о » » хе ,т Рес. 37 Уп ражиеиие 3. Ло»»азата, что функция 1 х з1п при хеьо — х О при х=о ииеет производную при х О. Дадггм теперь достаточные условия строгого экстремума, а также точек нозрастания и убывания в терминах значений высших производных в точке х,.
Теорема 4. Пусть функция 1 определена в некопюрой окрестности точки х, и пусть в яичке хе у функции 1 сугцествуют производные до и«прядка п включительно, причем »ггг«(хе) — О длл 1 1» п 1 ° 11 «(хе) чь О. (14.1; Тогда, если п=2й, й=1, 2, ..., т. е. п — чепгное число, то функ. ция 1 имеет в тсигке х, строгий екстремулг, именно максимум пои 1«ее«(хе)(0 и минимум при«гаа«(хе))О. Если еке п=2я+1, у=О, 1, ..., т. е. и — нечетное число, то функция 1' не имеет в точке х, зкстрелгума, впгп пючка является точкой возраста ния при 11еа+г«(хе)ьО и убывания ггри Ггее+г«(хе)(0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
