kudryavtsev1 (947411), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В случае очень громоздких выражений для второй производной иногда приходится ограничиваться рассмотрением тех свойств графика, которые можно изучать лишь с помощью первой производной. П р и м е р 1. Построить график функции хг — Зх — 2 п.) =,+, Эта функция определена и непрерывна для всех х + — 1. Она, как мы уже знаем (см. п. 14.4), имеет асимптоты у = х — 4 и х = — 1, причем 1пп 1(х) = + аа, 1нп 1(к) = — са. --1+о --1 — а Мы видели также, что 2 х = к — 4+ —, поэтому 1( ) Рыс.
44 1(х) ) к — 4 при х ~ — 1 (график функции находится над асимптотой) и 1(х) < к — 4 при х . — 1 (график функции лежит под асимптотой). График функции 1(х) пересекает' ось Ох в точках, в которых 3~гг!7 ке — Зх — 2 = О, т. е. при к,, х, = — или приблизителыю в точках х, = З,З, х, — — — 0,5. Ось Оу график пересекает в точке у = — 2. Это позволяет нарисовать график функции /(х) в виде, указанном на рнс. 44. Дальнейшее исследование имеет своей целью нахождение точек экстремума, точек перегиба и интервалов выпуклости вверх или вниз графика функции.
Для этого найдем у' и у": хе+ 2х — ! х (х+ 1)' (х-1- 1)а де Исгледоеанае ноаееенин функции Отсюда видно, что у' = 0 в точках х = — 1 — ~/2= — '2,4 и х =- — 1 + ут2 =. 0,4. В точке х = — 1 производные у' и у" не существуют. Составим таблицу изменения знака первой н второй производных в зависимости от изменения аргумента, включив в нее критические точки. Теблиее ! — ~-лте Не сущест- вует Не сущест- вует Из этой таблицы видно, что функция г(х) в точке х = — 1+ )/2 имеет строгий минимум, а в точке х = — 1 — у 2 — строгий максимум; при х < — 1 функция строго выпукла вверх, а при х > — !в строго выпукла вниз.
Точек перегиба нет, так как при х = — 1 функция разрывна. Мы нашли обший характер поведения функции. Чтобы построить график более точно, надо найти рнд точек графика, как это отмечалось выше. В дальнейшем для краткости таблицы, подобные табл. 1, будем называть таблицами поведения функций и иногда сразу отмечать в них точки экстремума, точки перегиба и интервалы ныпуклости, Пр имер 2.
Построить график функции ! (х) =(х+1)'т'х'. Область определения втой функции — вся вещественная прямая, причем оиа непрерывна в каждой точке и потому не имеет верти- кальных асимптот. Из того, что 1пп — = со, 1(х) к следует, что нет и наклонных асимптот. Для построения вчерне графика функции !(х) заметим, что 1) !(х) обращается в ноль в точках х = — 1 н х =- 0; 2) 1>0 прн х> — 1, хт'= 0; 3) 1<0 прн х < — 1; '4.б. построение грифонов 4куикчиа 20! 4) 1цп 1(х) = + и ИП1 1(х) =— х +ь х -ь Приблизительный вид графика функции, который можно нари".овать на основании этих замечаний, изображен на рис. 45.
Проведем теперь более подробное исследование функции с помощью производных. Находим у' и у": (х+ г)а(1! т+ 2) у з— 'гх 2 (х+ 1) (44х" + 16х — 1) у = а Зх тех Отсюда видно, что у'=О 2 прн х= — 1 и хьь — —; !Г Рис. 42 у" = О при х = — 1, а также р когда 44х'+15х — 1 = О, т. е. приблизительно при хт:= —— 1 И и х,= —. Прн х = О производные у' и у не сущестнуют.
Составляем таблицу по- У ведения функции — таблицу 2. Теперь график функ! ции у = (х+ 1)а(г х' можно нарисовать более точно. Его вид изображен на рис. 46. Как видно, с помощью исследования про- 1 У Ы -! х,— дог, уточнили вид графика (ср.
с рис. 45). Развитый аппарат по- зволяет строить н графики Рис. 46 функций, заданных параметрически: х — — х(1), у=у(!)*!. Сделаем лишь несколько замечаний. Для нахождения асимптот, параллельных оси Оу, надо найти такие значения (еье1, для которых '"! при этол~ здесь не предполагается, по пара фунгсциа х = х(О, у.= у(О определяет однозначную функцию у = у(х) или х = х(у). '*> Здесь и а дальнейшеи гь — число или один из сииаолоа + еь, — оо.
( а ) з И ( — ы кб бм -Ьиа [ — х. — ы ни аы Не су- снеству- Убыва- Макси ние Выпук- лость Точкз Точка пере- гиба лость вверх пары сиба пары тиба вниз Интсрвалы монотонности и точки зкстрему- Интервалы выпуклости и точки пераспбз Выпуклость вверх Возрастзинс Выпуклость вниз Выпуклость вверх !'.е су- шеству- ет Таблипа 2 Воз раста н ие Выпук- Точка И.б Поеспроенае графиков функлиа существует конечный предел [ппх(1) = а или [пп х(1) = а, а Ит у(1), с-,+о ю .„-О с-с,+о соответственно Иш у(1), равен + оо нлн — оо.
с-с„-о Если такие значения с, существуют, то х=а (14. [3) есть уравнение искомой аснмптоты. стналогнчно для нахождения аснмптот, параллельных оси Ох, надо найти такие значения 1си для которых существует конечный предел Иш у(1) = Ь нлп [пп у(1) = Ь, а !пп х(1), соответственно С се(с с- с,-п с-~с~+а Исп х(1), равен + со или — оо. Ес "си окагкется, что такие анас с,— о чения 1, существуют, то ([4.[4) есть уравнение искомой асимптоты. Наконец, для нахождения асимптот, пе параллельных нн оси Ох, нн осн Оу, надо найти такие значения 1сь для которых пределы Ит х(1) и Ищ у(1) (нли пределы !пп х(1) и Ипс у(1)) с-ьсч+о с с,+о с- с,— о — с.— о равны +со нли — оо и существует конечный предел Игп — = уИ) +с,х (с) у (с) = й + 0 (соответственно [пп — = ст).
Если для этого значения 1а, с, о х (с) кроме того, существует конечный предел Игп [у(1) — йх(1))=1 с-~с,+о (соответственно !пп [у(1) — Ах(1)!), то прямая с- с,-о ([4.[сз) является асимптотой рассматриваемой функции. Здесь везде 1„может быть как конечным, так и бесконечным. У и р а ж н е н н е 7. Вывести уравнения аснмптот (14.13), (14.14) н (14.15), исходя на того, что аснмптотой называется прямая, расстояние до которой ос точки (х(с) у(с)) графняа функции, заданной параметрнческн, х = х(б, у=у(й, стремятся к нулкс, когда точна стремятся по графику функцни н бесконечность, т. е. когда сс ха(с) + Ут(с) -«са пРн с -» се+ о нлн с- с — о.
Прн предварительном вычерчивании графика функции, заданной параметрически, часто бывает напевно предварительно построить в отдельности графики функций х == х(1) и у = у(1). Для определения нозрастання и убываняя функции, заданной параметрически, определения ее точек экстремума, точек перегиба, выпуклости вверх н вниз надо использовать выражения для производных у'„и у",„через производные х,', у„хи и у'„. При этом следует иметь в виду, что функции, заданная параметрически Э !4. Иееледиаиике киеедении Фиикиии 1 х=— 4 Наклонных асимптот в данном случае нет.
Для построения графика функции вчерне полезно написать таблицу изменения знаков переменных х и у в зависимости от изменения ( и некоторых характерных значений х ну. Так, в данном случае полезна следующая таблица. Таблица 1 4 1 4 ! 2 Теперь строим график (рис. 47). Для наглядности на графике укавано, как ветви графика соответсгвуют изменению параметра. Далее, 1+ 2! — (Р ° 1 х~=, у~= 4(1 — !) ' (!+!)а ' поэтому (1+ !)а (1+2! — и) Хх 4(! — !)а (14.17) в целом, вообще говоря, задает не однозначну!о функцию у = у(х), так что при исследовании графика функции надо все время внимательно следить затем„какая кветвь» графика рассматривается. Иногда бывает полезнее рассматривать, наоборот, х как функцию от у.
П р н м е р 3. Построить график функции Р+1 х= 4 (1 — !) У= Параметрическое представление имеет смысл для всех 1, кроме ! = ~1. Лсимптоты, параллельные оси Ох, получаются при 4 = 1 и ! = ~об; их уравнения соответственно 1 у= — и у=1. 2 Асимптота, параллельная оси Оу, получается прн ! = — 1; ее урав- нение 14.5 Построение ерафикоо фракция В данном случае лучше рассматривать х как функцию от у, а не наоборот, так как из нарисованного графика видно, что естест- 1 венно ожидать, что х является однозначной функцией от у, у+— н у чь1. с-мо Рис, 47 Таблица 4 1 ! )1+ 1/2 — !! !1 — 1' 2 !+- о (+( )+~ о — о Макси Мини. ыуи Экстр а- ыуиы 11з (14.17) видно, что х,, = О прп 1 = — 1 и когда 1+21 — 1а=О, т.
е. при 1=1+1/2 и 1= 1 — 1/2. Значению 1=- — 1 не соответствуег никакая точка графика, а при 1= 1+ 1/2 н 1 = 1 — $/ 2 соответственно 1+ 1/2 1/2 1 — 1/2 1/2 У= — и у=— 2+1/2 2 2 — 1/2 2 Составим теперь таблицу изменения производной х и точек вкстремума. а 14. Иееледованне ооведенна функлаи Из таблшгы видно, что в точке у= — функция х= х(у) ел 2 2 имеет максимум, в точке у = — — — минимум и строго моно)/2 2 тонна на интервалах — оо, — —, — —, —, —, —, —, 1, (1, +со). Следует обратить внимание на то, что, взяв переменную у за независимую, а переменную х — за зависимую, т.
е. взяв ось Оу за первую координатную ось, а ось 0х — за вторую, мы получили систему координат, ориентированную противоположно рассматриваемой нами все время системе координат, у которой первой осью является ось Ох, а второй — ось Оу. Читателю полезно убедиться, что доказанные нами выше критерии, например, для экстремумов и точек перегиба геометрически не связаны с той или иной ориентацией осей координат. Для исследования выпуклости и точек перегиба функции х(у) найдем хне: О+Он(з+зе — зг +~) хге —— (хе), (е— 2(1 Оз Производная х равна нулю при 1= — 1 я когда Р (1) = 3+ 31 — Згз+ гз = О.
Замечая, что Р'Я = 3(( — 1)з> О, причем Р' = 0 только в одной точке ~ = 1, видим, что РЯ строго монотонно возрастает на всей вещественной оси (почему?). Следовательно, существует единственное 1з, такое, что Р(1з) = О. При этом Р(0) = 3 ~ О, а ~з Р( — 1)= — 4< О, отсюда — 1(тз<" О. Если у,= ", то,очевидно, 1+ге — оо < у, < 0 (можно, конечно, получить и более точную оценку у, выбирая более близкие ез и ~з, такие, что Р(!з) < О, РЩ 0). Составим теперь таблицу изменения производной х,, и определим с ее помощью интервалы выпуклости вверх и вниз, а также точки перегиба — см. таблицу 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
