kudryavtsev1 (947411), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Пусть Г =- (х = х(с), у = у(!), а ( с <' ь) — непрерывно дифференцнруемая плоская кривая. Пусть точка (х (С,), у (С,)) — неособая, т. е. х' (1,) + у' (с ) > О, например, х'(С,)+ О. Пусть для определенности х'(С,) ) О, то~да в некоторой окрестности точки сь также х'(С))О и, значит, функция х(С) строго монотонно возрастает в этой окрестности; поэтому существует обратная непрерывно дифференцируемая функция С = С(х). Подставляя ее в представление кривой Г, получим у=у(1(х))=С( ), т. е.
в некоторой окрестности неособой точки непрерывно дифференцируемая кривая является графиком непрерывно дифференцируемой функции 1; точнее, существуют окрестность точки с, и непрерывно дифференцнруемая функция й определенная на этой окрестности, такие, что часть кривой, соответствующая аначениям параметра, принадлежащим указанной окрестности, является графиком функции К Определение 12. Непрерывно дисрсйеренсСссруемая криппа без особых точек называется гладкой. Крссная, пргдставссмая как сумма конечного числа гладких кривых, называвпся кусочно-гладко г. 16.3. Длина дуги кривой и дифференциал длины дуги Определение 13.
Длн всякого отрезка (а, Ь) систему ега точек Сс, с' = О, 1, 2,..., и, таких, лпо а=с„(сс(...(с с(с,(...(с„=Ь, 16З. Ллнно дуги кривой и ди45фгрен11иия длины дуги 22Ь будел1 называть его разбиением и обозначать т=(11)11:"о. Пусть задана кривая Г =(1" (1), а<1<1) и пусть т=(11)'; о— некоторое разбиение о~резка (а, 6!. Положим от= э'! г(1,) — г(11,)!. 1=! Очевидно (рис.
52), от — длина ломаной с вершинак1и г(а), г(1,), ..., г(1в,), г(Ь), т. е., кик обычно говойич, !саиной, ваисанной в криву!с Г. Определение 14. Величина 5!ни Ь1 =знро, т оа 1 где верхняя гринь взята ио всевозмоясныл1 рьабиенияги т оп!резка 1л) (а, й), нпзичаегяся длиной кри5ки1 Г. й Если Е! < + оо, то кривая Г Рис, Вй наяои5аен 1ся сирял1 ляел !ой. Б силу этого определения спрямляел1ость кривой и ее длина ие зависят от выбора представления кривой и всегла 0~<Як <+ ~.
У п р а ж н е н не 3. Доказать, что криваи, авлшоьчався частью спрямляемой криво!1, также спрвмлвема. Лемма. П11слгь Г = Г, Г, тогда ос= ос +ось. (16.4) Доказательство. Пусть а< с<б и Г=(г(1), а <1< й), Г,=(г(1), а <1<с), Г =(г(1), с <1 < Ь). Пусть т — разбиение отрезка !а, б), а ги — разбиение этого же отречка, совнала1ощее с т., если точка с входит в разбиение т и получакяцееся из г лобавлепнем к нему точки с, если эта точна не входит в разбиение с.
Разбиение се является объединением двух разбиений отрезков !а, с) и !с, й!. ксаорые мы обозначим соответственно .1, и ть !. е. х* = т, т . Очевидно, лля длин ломаных, соотвьтствУк5щих Разбиениам г*. и, и ть, спРаведливо Равенство от =о +о Е 1б. длина дуги кроной Но знрп =5г, энрот =5, следовательно, ., <5 +5,. При переходе от разбиения т к разбиению т*, быть может, лишь одно звено г(1; ~)г(1;) заменяется двумя г(1, ~)г(с) и г(с)г(1,), н поскольку [г((э 1)г(Ф;)[ <[г(1э ~)г(с)[+[г(с)г(1э)[, то от ««пт' ах ~ 5г + 5г н, следовательно, Но 51 =знр о,, поэтому .„+ ., (16.5) от +о» а *««5ьч Отсюда от «(5г — и„; фиксируя разбиение ть и переходя к верхней грани и при всевозможных т„, получим 5 < 5 — оть.
Отсюда ть " 5г ««5г — 5г, следовательно, 5г +5г < 5г. Из неравенств (16.5) и (16.6) получаем (16.4). Лемма доказана. (16.6) Задача 9. Построить пример неонрямяяемой кривой. Теорема 1. Если кривая Г= [г(1)=(х(1), у(1), г(1)), а«(1(Ь) непрерывно ди(Ь4тренцируеиа, то она спрямляема и ее длина 5г удовлетворяет неравенству т1+тээ+тэ(Ь вЂ” а) «<5г««[» М1+»Из+ Ь4э(Ь вЂ” а), (16.7) Докажем теперь обратное неравенство. Для произвольных т и т разбиений соответственно отрезков [а, с[ н [с, Ь) и разбиения т'=т, т отрезка [а, Ь[ имеем !б.д.
Длина дуги криоай и дифференциал длин!а дуги еде тг= 1пЦ х'(1) ~; та= !п(~у'(1)/; и!а=(п1 ~г'(1) ~; а~гни а~!ко а,ека (16.8) М, = зи р 1х' (1) ~; М, = я! р ~ у (1) (; М, = я!р 1г' (1)). осе~о а<!~и алеки Отметим, что в силу непрерывности производных х'(1), у' (П, г'(1) величины т„и М„конечны, А=-1, 2, 3. 1(ок а з а тел ь от в о. Возьмем какое-либо разбиение т = = (1,),':о отрезка 1а, Ь).
Тогда а а., = ~' 1 г (1!) — г (1! !) ~ = г=! а = ~' у'(х(1,) — х(1! !))'+(у(1 ) — у(1, !)]'-1-(г(1,) — г(1! !))' (169) По е!,орх!уле конечных приращений Лагранмйа (см. п. 11.2) х(1!) — х(1! — !)=х'(Ы(1! — 1е-!). 1,— !<Ь<1ь у (1!) — у (1 — ) =- у' (е)!) (1 — 1 ), 1 — < П, < 1о г(1!) — г(1! !)=г'(Ь!)(1! — 1; !), 1! — !<Ье<1г, 1=1, 2,...,п. Подставляя зти выражения в (16.9), получим а от = —,~. $1 (х'(З!)1'+! У'(па)!'+ (г'(Ь;))а (1! — 1! — !) (16.10) Из (16.8) следует, что т <!х'(еь!)~ -ч, М, т <~у'(ЧеП <М, тл <~г'(("„,.)~ М, ю=-1, 2, ...
и. Подставляя зти оценки в (16.10) и вынося множители т, + гни+,лз и й М ! + Ма+ М, за знак суммы (онп не зависят 2 г г е/ 2 о 2 от индекса суммирования), получим а а у л7! +пгг+ тз ~л~~(1! — 1! !) ~(от< 1' М !+ Мг+МЗ ~л~~~ (1е — 1! — !). ! ! ! ! а Так как, очевидно, ~, (1! — 1! !)ааЬ вЂ” а, то окончательно Р т, + !по+ га! (Ь вЂ” а) < пх <$ М ! + !Ил+ Мз (Ь вЂ” а) для л!обого разбиения т. Э 1В. Длина дуга кривое Переходя в этом неравенстве к верхней грани по т, получим утверждение теоремы. Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть кривая Г = (г(1) = (х(1), у(1), г(1)); а<1- Ь) непрерывно дифференцируема. Тогда переменная длина д11ги з, тпсчитываемая от начала «(о) кривой Г или сосвпветстаенно от ее конца «(Ь), является монотонно воэрастаюи)еи, пютветственно люнотонно убыегиои!еи непрерывно дифференцируемой функцией параметра 1; при этом (16.11) — х' +у' +г' В1 ~ Н1 соответственно — = — к х'+у +г Нв 1/,г,г,г ) в« (16.12) В1 [ Е1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в = з(1) — длина дуги кривой Г от точки «(а) до точки«(1).
Пусть 1ь~[а, Ь[, 1, + Л1~[а, Ы и Лз = в(1 + Л1) — в(1). Очевидно, что функция э = в(1) монотонно возрастает на отрезке [а, Ы, поэтому если Л! л О, то Лз> 0; если же И < О, то Лв < О. Поэтому всегда — > О. Применяя неравенство (16.7) к части кривой Г, соответствующей отрезку [1„, 1, + Л1! при Л1 ) 0 (соответственно отрезку [1, + Л1, 1,! при И<0), получим [Л1[ [/ г+ 2 ! '2 . ! Л [ [Л1ф/ [,!г+Мг Л[2 откуда т~ -)-тг+ т«< — < $ М(+Мг+ Мгн (16.13) а1 где те н М„, Ь = 1, 2, 3, — соответственно нигкние и верхш;е грани абсолютных величин производных функыий координатного представления кривой Г на отрезке [1„, 1, + Л1! при И 0 нли на отрезке [1, + И, 1„[ при Л1<0. В силу непрерывности этих производных указанные значения т, н М„, 1г =- 1, 2, 3,..., принимаются в какнх-то точках отрезка 11м 1„+ Л1! при И> 0 или соответственно отрезка [1, + Л1, 1ь! при И< О.
Итак, т~==-)п1)х'(1)[=-!х'(1в+ОЛ1)[, 0 6<1, М~ — — знр ! х' (1) ! =- ! х' (1„+ О, Л1) ), 0 < О, ( 1, ГВ.З йлини дуги иуиоив и диффеггнииил длани доги поэтому 11тт,.= 1[гад[«=-!х'((о)1; о Л~- о подобным образом [нп т, = 1нп й4г = ! у' (1о) ! Лг. о Лг- о 1яп гпо =- 1пп 1И о = — ! г (1о) !. лг о ы-о Переходя к пределу при Л1- О в неравенство (16.13), получим, Л, что ~пн — существует и что дг оЛ« [пп — '= х' +у +г Ли 2 гг го ! и« ло- о ЛО ~ вг Формула (16.11) доказана. Если теперь а = о(1) — переменная длина дуги, отсчитываемая до от конца «(Ь) кривой Г, то, очевидно, а = Зо — з, откуда — = — 1.
В силу этого формула (16.! 2) сразу следует из формулы (16.11): Теорема доказана. С л е д с т в и е 1. Если параметром на кривой является переменная длина дуги з, пю (16.14) в« ~ Это сразу следует из формулы ~ — ~= — при «=в. вг ~ гм Сл ед с т в п е 2. ([ля всякой непрерывно дгг44еренцируемой кривой Г без особых нкиик, т.
е. для всякой гладкой кривой, суп(естиует ее предггпавление « = г(з), в котором за параметр з взята переменная длина дуга кривой Г, Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть непрерывно диффереицируемая кривая Г = («(1); а<1<6) не имеет особых точек, т. е. г'(1)=е=О для всех 1~ [а, й.
В этом случае переменная длина дуги з = з(1) является строго монотонно возрастающей непрерывно днфференцируемой вг функцией, ибо — „= [г'! О во всех точках [а, б[. Поэтому существует обратная функция 1 =- 1(з), О <э<5«, которая также строго монотонно возрастает и имеет непрерывную не обращающуюся в ноль производную иа отрезке [О, 8~1, т. е. функция 1 = 1(з) является допустимым преобразованием параметра для непрерывно диффе. гзо З !а. дхиии дуги кривой ренцируемых кривых без особых точек н представление Г = Г(г(з)) является искомым представлением, в котором роль параллетра играет переменная длняа дуги.
3 ам е ч а н и е. Формула (!6.14) имеет простой геометрический смысл: !ЛГ( = !Г(1+ Лг) — Г(г)~ равно длине хорды, соединяюлцей точки г(!) и г(г + Лг)„а ! Лз! = !з(г' + Лг) — з(г)/ — длине дуги между этими точками (рис. 53), и так как ~ Дг ~ . ~ Дг ~ Г а условия Лз — иО и Лг- О равносильны, то ~ Лг ~ что означает, что предел отношения длины Рис. йд дуги к дчипс стягпваюлцей ее хорды равен единице, когда дуга стягивается в точку. Обозначим теперь через п, !) и у угиы, образованные вектором Дг Дв — или, что то же, касательной к кривой Г = (г(з)) соогветственпо , 'Дг с осями Ох, Оу иОз. Тогда из равенства ~„—,~ = 1, очевидно, сле- <Ь' дует, что проекции вектора — па оси координат равны соответстнеп- Дв но соз а, соз 1! и соз у, т. е.
— =(соза, совр, сову). Дг (16.15) Дв С другой стороны, лля вектор-функции Г(з) = (х(з), у(з), г(з)), как для всякой вектор-функции (см. п. 15.2), имеем Дг гдх Ду Дг'1 (16.16) Дв Дв Дв Дл Сравнивая (16.15) и (16.16), получим — =-соха, — =сов(), — =сову. Дх Ду Дг (16.17) Дв Дв Дв В качестве примера рассмотрим криную, называемую винтовой ипнией . Эта кривая задается представлением к==асов|, уг аз!и(, з= йг, Гб.4. Плоские крипые 23! Очевидно, что винтовая линия является бесконечно дифференцнруелюй кривой, и так как х'~+у'~+2' =паз!п«4-)-а«сова!+ Ь'= а =а'+ Ьззлб, то она не имест особых точек (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
