kudryavtsev1 (947411), страница 42
Текст из файла (страница 42)
67), ва Гга! 1 а Лз = ЯЛа. Поэтому ~ — ~ = —. ггз ~ й' в а вз По определению же кривизны для окружности имеем ~аа! 1 А=- Игп ~ — =- —. д«в ! лз гз Таким образом, в случае окружности ее кривизна й постошша (не за- Рис. 57 висит от точки) и равна обратной величине радиуса; радпус же кривизны окружности равен ее радиусу.
Отсюда и произошел термин «рад!!ус кривизны», Достаточные условия существовашгя кривизны в данной точке и метод ее вычисления даются следу!ошей теоремой. й 17. Криензеа криео» 1г' к г" 1 (г' 15 (17.7) До к а з а т с л ь с т в о. Существование кривизны при предположеппях теоремы следует из формулы (17.6). Покажем, что и формула (17.7) следует из формулы (17.6). ае Действительно, в силу того, что [Е( = 1, векторы Е и — орто- [[5 гональны (см. лемму 1 п. 17.1), поэтому либо угол между Е и а[ — равен —, либо — =О. В обоих случаях из (17.6) имеем я ох [[5 2 Ф Е =! [' !=! '[ !.!Е(з!ПЕ [ =! д хЕ!. (178) По правилу дифференцирования сложной функции 5[г, 5[[ г' Е= — =У' — = —,.
[[5 [[5 5 (17.9) 11(трихох[ здесь и в дальнейшем обозначаются производные по параметру [. Дифференцируя еще раз, имеем [[5 Е /г' '[' [ 5'г — 5 г 5[5 (17. 1О) Подставим теперь полученные выражения для Е н — в (17.8), [[Е д5 получим 1г'х г'1 й — --! — й[е! — ! — ' >; — ! — !- 1г' 1' Теорема доказана. От формулы (17.7) легко перейти к выражению в координатной записи, замечая, что у' = (х', у', 2'), и что для кривизны У =(Х,У,2) 5" ХУ"= Х' У' 2' Х У 2 Теорема 1. ))усть Г = [[У(Е); а < Е < Ь) — деождь[ диффер ею[ируех[оя кри оя без особых оин[ек, Тогда и каждой ее точке суще сок[[у вт кривизн[а и !7д Главная нормаль. Сопрггпасагощансп плотность где т',,7' и Й вЂ” единичные векторы соответственно в направлении !сей Ох, Оу, Ог), получим ~ г' х г" ~ = ) г(у'㫠— у"г')'+ (г'х" — г"х')'+ (х'у" — х у )', (17.11) другой стороны, ! г ) )Гх" +у" +е" (17.
12) подставляя (17.11) и (17.12) в (17.7), мы и получим искомое выра- ягенне. 17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость Вектор К вЂ” единичный, поэтому вектор и периендикуляреи (см. и. 17.1) вектору Формула(17. Г3) называется формулой Френеь!. Оиределение 4. Всякая прял!он, проходят(ая через точку кривой и перпендикулярная касательной в атос! точке, называегпся чор.чал!ю к критюй в данной спичке.
Нормаль ч кривой, параллельная вектору и, называется ловной норлтлью. Вектор главной нормали и с точностью до бесконечно малых золее высокого порядка, чем Лзь, указывает направление, в кагором кривая в окрестности данной точки отклоняется от своей ьасвтельной (рис.
58). Действнтелшго, выбирая на кривой в катестве параметра переменную длину дуги з, согласно формуле Тейлора для вектор-функции (сл!. п. 15.2), будем иметь оьг (пь) Лг =г(з„+ Лз) — г(зо)= — 1'1 Лз+ — 1 ') Лет+О(Лвь), гг 5 2 лп« !ли, замечая, что ггг гг«г — =-Ф, — =тси, с)5 г!$« (17. 14) «! Ж.
Фраке (180! — 1880) — французский математнк. Обюзначим через и единичный вектор в направлении век- с)Е г)г гора —, где 1 = — — единичный касательный вектор к рассматри- л5' аа эаеыой кривой. Из формулы (17.6) следует, что вектор и опредепеи лишь для тех точек, в которых кривизна 'т-ьО, и что в этих точках — = йи. (17.13) ле 4 17. Кривиэно кривой получим Лг = Лз 7+ — lгЛзоп+о(Лзо), 1 г'= — з'=з'Ф г"=з' — +з"1:=з' /гп+з"г. (17 15,', йв ао (Этн формулы, очевидно, обращают формулы (17.9) и (17.10) и мо1уз быть получены также и из ннх.) Отс1ода следует, что векторы г' и г" татке параллельны сопри.
касающейся плоскости; в силу же условии й+ О выполняется не. равенство г' х г"+О(см.(17.7)), и,значит, г' и г" це коллинеариы. Обозначим теперь через г„ г и го векторы г, г' и г" в некого. рой фиксированной точке данной кривой 1, а через г обозначим гскущий вектор соприкасающейся плоскости, тогда смешанное произ.
ведение векторов г — г„г„' и г, должно быть равно нулю. гак как все они параллельны соприкасающейся плоскости (~ го го го) = О. Это и есть уравнение указанной плоскости в векторном виде. В координатном виде оно запишется так: хо у — уо х хо )о )о х' о х о где г' =(х', у', г'), г" =.-(х", у„, г ) В случае, если в данной точке й == О, то любая плоскость, проходящая через касательную в этой точке, называется соприкасающейся. что и доказывает справедливость нашего утверждения.
Определение 5. Плоскость, проходяа(ая червз касательную и главнув нормаль в данной пючкв кривой, называется сопракасшаа(ейСн ЛЛОСКа011ЫО. В силу этого определения соприкасающаяся плоскость определена для точек, в которых Ф+ О. Найдем уравнение этой плоскости для кривой, заданной представлением г =г(!) с произвольным параметром О Как и выше, производные по переменному 1 будем обозг1ачать штрихом„а производные по длине дуги з — симвоо лом —. ов' Дифференцируя г = г(() как сложную функцию г =- «(з), з = з(1), получим (см. (17.!4)) 17.5 Формулы длз кривизны и зволюты и коквх кривил 17.4. Центр кривизны и эволюта кривой 24! Определение 6.
Точка пространства, лежащая на главной нормали к кривой в данной точке и находящаяся от втой точки на расстоянии Д в направлении векоюра и, называется централ! кривизны кривой в указанной ее точке. Таким образом, если р является радиус-вектором центра кривизны, а г, как обычно, радиус-вектор данной точки кривой, то р=-г+Яп, или, что то же (см. (17.14)), дз« р=«+ — —. вз дзз * (17.16) Найдем выражение р через производные вектор-функции г по произвольному параметру 1. Подставляя выражение для з!2«51 — =- — из (17.10) в (17.16), получим дзз дз ! з'«" — з"«' р=г+— зз (17.
17) ГДЕ З'=)Г'~= Ззк" +У'+2', ОтКУДа Х Х +!"У +22 )72' + У' -1-2' 17.6. Формулы для кривизны и эволюты плоских кривых Все сказанное в предыдущем пункте, в частности, справедливо и для плоских кривых. Заметим лишь, что если кривая Г = (1(1)) лежит в некоторой плоскости, то все производные вектор-функции г(1) также лежат в Лг этой плоскости. В самом деле, Лг = г(1+ Лт) — ! (1), значит, и— Л1 Лг лежит в той же плоскости, отсюда легко следует, что и г = 1пп-- ы-,о Лз Определение 7. Геометрическое места центров кривизны кривой называется ее зволютой. Очевидно, что формула (17.16), а также (17.17) дает представление эволюты данной кривой. Отметим, что центр кривизны всегда лежит в соприкасающейся плоскости. 4 17. Кривизна кривой 242 Обозначая (в, т)) центр кривизны кривой Г, из формулы (17.16) имеем в =х+)гг— г йгх йхг г)=у+)(г — э лгу й„г ' а из формул (17.17) и (17.18) будем иметь х'х" + у'у" х" )/ х' + у' — х'— ~= +, ( Фг+,г)3 )/„,г,г ( 'у — х'У)г (х' + у' ~г =х — у' х'+ у' х у ху (17.
19) Аналогично и'г + у'г у + х'у" — х"у' (17.20) лежит в указанной плоскости. Применяя то же рассуждение к г', мы докажем, что и г" пах<шихся в той же плоскости, и т л. Из сказанного следует, что если кривая лежит в некоторой плоскости, то касательный вектор г, а если ее кривизна й+О, то и вектор главной нормали и лежит в той же плоскости, и, значит, эта плоскость является соприкаса~ощейся плоскостно для кривой. Отметим также, что если в случае кривой Г = (г(з)), лежащей в плоскости хОу, через а(з) обозначить угол, образованный каса- тельной в точке г(з) с осно Ох (см. у рпс. 59), то Ла = а(хо+ М— и — а(з„), и если угол а возрастает Ла а вместе с з, т. е, если —, > О при и Лз ) О, то А = Ит — =- —; если Ла йа ь.-о Лг ахйа же а убывает с возрастанием з, то а х Ла йа й= — Вт — = —.
Л. ОЛг йг Риа ор Выпишем некоторые из формул, полученных в предыдущем пункте, считая, что кривая Г = (и((); а <1 <Ь) лежит в плоскости хОу: г(Е) = (х(1), у(()), Из формул (17.7), (17.11) и (17.12) получим ! 1 х'у" — х"у' 1 (17. 18 и ( ,г + „,г)г 17.5. Фар»гулы длл крнвизны я зволюгы ллоскнх кривых У и р а ж н е н в е 1.
Пусть à — дважды днфференпнруеная плоская кривая без особых точек, пусть и — угол наклона ее касательной к осн Ох Па н пусть д» = — (значвт, ! л»! = д! я И» = —, . Показать, что аз р,= х — Я» з!и гз, и = у+ Й» сос и, в также $=х — —, !у Ысс <Ь ч=ур „„.
В случае, когда кривая является графиком функции у=)(х), формулы (17.18), (17.19) и (17.20) принимают вид !У ! 3 Ф (! ! )гз) 2 (17. 21) $=х — „у', 1 + уга У (17. 22) т)=у+= !+у' У Примеры. 1. Найдем кривизну н эвол!оту параболы у=ахз, а О. Замечая, что у'= 2ах, у" = 2а, по формуле (17.21) имеем А= 1+ 4азх" Чтобы найти уравнение эволюты, воспользуемся формулами (17. 22): $ = х — + 2ах = — 4азх', 2а ! +4а»хз ба'ха+1 т)=ахз+ + 2а 2а Мы получили параметрическое представление эволюты параболы с параметром х.
Можно получить и ее явное представление, исключив этот параметр х. Для этого из первого равенства найдем $ х' = — — „„а нз второго х'= — —; —. Возводя первое получившееся 776. Фирирлн длк критилньэ и элилюти илоскил крииих 246 Если М = (х, у), где, как обычно х и у — декартовы координаты гочки М, то (17.
23) х = р соз су, у = р ми су. Обратная связь выражается формуламн р = усх'+у', ср= агс1н — „+ Фп, (17.24) где А= О, если х> О, )1 = 1, если х< О, у > О и А = — 1, если х(О, у < О. Рис 67 Рис. 62 Иногда иа угол Чэ не накладывают ограничения — п(~у < и, а обозначают через ср любой угол, для которого 1н ср = ~. В этом .лучае соответствие между упорядоченными парами (р, ~у), р+ О, л точками плоскости, исключая начало координат, уже, очевидно, ле является взаимно однозначным. Если задана непрерывная функция р=р(ку), а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
