kudryavtsev1 (947411), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Множества на плоскости и в гтостоанстве тогда и только тогда, когда для любой окрестности 0(х) существует такой номер т„что для всех т ~ тв выполняется включение хою ~ 0(х). Определение 14. Точка х Г Е" называется точкой прикосновения множества Е~ Г.", если любая окрестноппь этой точки содержит ло крайней мере одну пгачку множества Е. Очевидно, что каждая точка множества Е является его точкой прикосновения, ибо всякая окрестность точки х ~ Е содержит саму точку х.
Определение 15. Если у наочки х( Е существует окрестносгпь, не содержащая никаких других точек множества Е, кроле самой пючки х, то элит точка называется полированной точкой множества Е. Определение 16. Точка х ( Е" называется предельной пючкой лтножеспию Е, если любая окрестность точки х содерж ига по крайней лере одну пючку множества Е, отличную от х. Очевидно, что предельная точка является точкой прикосновения. С другой стороны, всякая точка прикосновения множества Е является либо его изолированной точкой, либо его предельной точкой (в последнем случае она может как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству).
Рассмотрим п р и м е р ы. Пусть п = 1, Е = (О; 1), каждая точка отрезка (О; П является точкой прикосновения и предельной точкой множества Е, при этом точки 0 и 1 не принадлежат самому множеству Е. Если Е = (О; П, то множество точек прикосновения множества Е совпадает с самим множеством. Наконец, если множество Есостоит из интервала(0; 1) и точки 2, т.
е. Е=(0; 1) ~ ~(2), то точка 2 является его изолированной точкой, а множество его точек прикосновения образует множество (О; П ~(2). Определение 17. Совокупность всех точек прикосновения множе ство Е~Е" назьюается залгыканием множеспюа Е и обозначается Е. Как уже отмечалось, каждая точка множества Е является его точкой прикосновения, поэтому Е с:.Е. (18.18) Определение !8. Множесгптю Е наалтается замкнуптыя, если Е = Е, т. е. если оно содержит в себе все свои точки г1рикосновения. Например, при п = 1 интервал (О; 1) не является замкнутым множеством, а отрезок (О; П вЂ” замкнутое множество.
Все пространство и пустое миогкество являются одновременно замкнутыми и открытыми множествами (проверьте это). Лемма 2. Замыкание всякого множества является замкнутым лножест валс. И.2. Раз.н!чные гивы множеств ,!1, о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Š— замыкание множества Ег:.Е". Согласно определению замкнутого множества, надо показать, что множество Е совпадает со своим замь:капнем, т.
е., что Е = Е. Так как, согласно (18.18), Ег:.Е, то достаточяо показать, что (18.20) является открытым множеством (см. лемму 1), поэтому его часто называют также и-мерным открь!тьм шаром. Множество же в 0" = х= (х,): ~~~ (х,— а,)' <г', !=! (18.21) являющееся замыканием открытого шара 0", называется и-мерным замкнутым шаром.
В случае п=.2: 0з — открытый круг, ф — замкнутый круг; в случае и=1: 0! — интервал, 0! — отрезок, Замкнутый шар 0в получается из открытого шара Я добавлением к нему множества называемого (и — 1)-мерной сферой радиуса г с центром в точке а =. (а,). Иы ее будем обозначать 5" . В случае и =--2: 8' — окруж. носгь; в случае а=1: Зв — пара точек, ЕсЕ, (18.19) иначе говоря, надо доказать, что если некоторая точка х ~й Е, т. е.
если х является точкой прикосновения множества Е, то она является н точкой прикосновения множества Е. Пусть х~-Е; это означает, что в любой окрестности 0(х) существует точка у множества Е. Поскольку окрестность 0(х) является открытым множеством, то существует такая окрестность 0(у) точки у (например сама 0(х)), что 0(у)~0(х). Точка у является точкой прикосновения множества Е, поэтому в окрестности 0(у) существует точка г множества Е, но 0(у) ~ 0(х) и поэтому г!'.-0(х). Таким образом, в любой окрестности 0(х) точки х ~ Е содержится точка г множества Е, а это и означает, что х является точкой прикосновения множества Е. Вкл!очение (18.19), а значит, и лемма 2 доказаны.
Рассмотрим примеры. Всякий и-мерный шар й !В. Мнохсества на плоскости а в вространстве Сфера и 5" =- х=(х,): „У, (х,.— а,)ае гх т ! (18.22) также дает пример замкнутого множества (почему?). Заметим еще, что и-мерный шар радиуса 1 с центром в начале координат обычно называется и-мерным единичным итаром (замкнутым нли открытым), а (и — 1)-мерная сфера радиуса 1 с центром в начале координат — (п — !)-мерной единичной сферой.
У п ражие и ив 2. Для тото чтобы точка хЕЕн была точкой прикосиовеиия множества Е с: Е", необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность точек х1еа ~ Е, т=1, 2, ..., такая, что Испх~"'1=-х- ЭП Определение 19. Для всякого мнозсеспию Е с:Е" множество Е,"ч, Е назыеаепюя его дополнениелк Очевидно, что если множество В~Е" является дополнением множества А~Е, то и, обратно, множество А является дополнением множества В.
Лемма 3. Для того чтобы множество было открыто, необходимо и достапючно, чтобы его дополнение было замкнуто. Доказательство необходимост~. Пусть 6— открытое множество, тогда никакая точка х~ 6 не является точкой прикосновения его дополнения Г= Е" .,6, так как множество 6, бу11учи открытым, является окрестностью точки х и не содержит точек множества Г. Следовательно, все точки прикосновения множества р содержатся в самом Е, что и означает замкнутость множества Г. Д о к а з а т е л ь с т в о д о с т а т о ч н о с т и. Пусть Р является замкнутым множеством и пусть хС6=Е"~,Р. В силу замкнутости Р точка х не является его точкой прикосновения; поэтому существуег ее окрестность 0(х), не пересекающаяся с множеством Р и, следовательно, такая, что 0(х)~6. Таким образом, любая точка множества 6 является внутренней, т. е. 6 открыто. ,Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть А и  — залскнутые непересекаюи1иеся множества из Е" и лсножеспию А — ограничено, тогда суи1ествует такое число И л О, чпю р(х, у) > д для любых двух точек х ~ А и у~В, Доказательство. Пусть такого числа д не существует, Тогда для любого т=1, 2, ..., существует пара точек х< >~А и у1 '! т: В, таких, что р(х<н'1, у<м') < —. Поскольку А — ограниченное щ МНОжсетВО, тО ИЗ ПОСЛЕданатЕЛЬНОСтн (Хра1) МОЖНО ВЫдЕЛИтЬ СХО- дящуюся подпоследовагельность (х(а'а)). Пусть 1пп х(т"а) = х<щ lв.2.
Ролл<»ение тапи множеств 261 В силу замкнутости множества А имеем хнп ~А. Из неравенства р (х<~~, у< «1) ( р (х~~<, х( «1) + р (х( «1, у( «1) ( (р(х' ', х( «1)+— следует, что 1пп р ( х<~~, у(м«1) = О. Поэтому точка х<м является точкой прикосновения множества В н, в силу его замкнутости х<е'~~В. Таким образом, к<с><-А и х<м~В, а это противоречит тому, что А н В не пересекаются.
Лемма доказана. Определение 20. Для двух множеств Ех и Е, величина р(Е, Е,)= (п1 р(х, у) «ев», те<< называется расстоянием мез<сду «<ножес<пвами Е, и Е,. В частности, если Е, состоит из одной точки х, то р(Е„Е,) = р(х, ЕД называется расстоянием от яички х до мновкес<лва Е,. Применяя этот термин, лемму 4 можно сформулировать следующим образом. Два непересекающихся замкнутых мнансесп<во, из которых по крайней мере одно ограничено, находятся на положительном расстоянии.
У и р а ж н е н и е 3. Привести пример двух непересекаюшихся замкнутых множеств, расстояние между которыми равно нулю. Лемма 5. Если А — ограниченное замкнутое множество, А ~ Е", х~Е" и р(х, А)=<1, то существует у ~ А, такая, что р(х, у)=с1. Доказательство. Есля р(х, А) =1п1р(х, у)=й, то для люуел < бого и= 1, 2, ... найдется такой у<"'~А, что р(х, у<в<)(й+ — . Из л ограниченности множества А следует, по последовательность (у<и<) ограничена и, следовательно, нз нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (у("«1).
Пусть йгп у("«1= у<е». В силу замкнутости множества А имеем у<е'~А, Далее, р (х у<в<) ~ 1, (х у(~«)) 1 р (у( «) у»в<)< (й+-„, + р(у("«1. у<") Переходя здесь к пределу при й — «ос, получим р(х, у<с<) < й, С другой стороны, р(х, у<с<)> р(х, А) =<1, следовательно, р(х, у<щ)=<1. Лемма доказана. у И. А!нолкеетва на плоскости и в аространстве Обозначим теперь для всякого множества А ~Ев через Ач„ где О) О, совокупность всех точек, удаленных от множества А на расстояние не большее чем т1: А, =- (х: р (х, А) < т)).
Лемма 6. Если А — ограниченное зачкнутое множество, то при любом т1 ) О множество А, птакже является ограниченным вамкнутьив множтпвом. До к а з а тел ьс та о. Ограниченность множества А означает, что существует такое а ) О, что А содержится в шаре 0(0; а) радиуса а с центром в начале координат 0: А~0(0; а). Покажем, что А ~ 0(0; а+ т1). Если хг А,, то согласно лемме 5, найдется точка у ~ А, такая, что р(х, у) = р(х, А) < т1. Из условия же А~О(0; а) следует, что р(0; у) ( а. Поэтому р (О; х) < р (О; у) + р (у, х) к" а+ на Таким образом, х~ 0(0; а + т)).
Точка х является произвольной точкой множества А,. Следовательно, Ач ~0(0; а + т1), н потому А, является ограниченным множеством„ Покажем теперь, что А„замкнутое множество. Если х~ А„ то для любогое)О существует точкау~Ач, такая, что р(х,у)<е. Из определения множества А, и леммы б следует, что существует такаЯ точка г, ~ А, что Р(У, гв) = Р(У, А) < т1. ПоэтомУ р(х, А)=)п1 р(х, г) (р(х, г,) < р(х, у)+р(у, го)к"'т1+е.
т Е,л Это неравенство верно для любого е ) О. Устремляя е к нулю, получим р(х, А)<Ч, т. е. х~Ач, что и доказывает замкнутость множества Ач. Лемма доказана. Определение 21. Точка хс Е" нщчывсипнся граничной точкой множества Е ~ Е", если в любой окрестности этной точки сутцесп~вуют точки, как принадлсжатцие множеству Е, так и не принадлежащие ему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
