kudryavtsev1 (947411), страница 48
Текст из файла (страница 48)
для всех точек х=-(х„..., хп)(Е„, для которых ~х,— х1~>~«>1, >=1, 2,..., и. (19.8) В силу же непрерыаности каждой из функций ц», =1, 2, ..., п, н точке ><ь> для указанного ц ..н О существуют 6,. =- 6>(т>) О, такие, что ! ц;(Π— ц>(Н'>)! «т) (19.9) для асех Г~Е," 0(С<о>; 6';).
Обозначим через 6 наименьшее из чисел 6,, > = 1, 2, ..., и. Тогда для всех > ~ Е, 0(>>ь>; 6) н всех >= 1, 2 ..., и аыполнясгся неравенство (19.9), т. е. неравенство (19.8). где х>=тр,(>), х';"=-тр,((ил), 1=1 2,..., и. Позтому для всех >~Е,;О(>«>; 6) выполняется условие ~ ) (х) — ) (хго>) ~ «е, где х = (>р>(()), х>о> == (ц, (ро>)), что и означает непрерывность сдожной функции ((ц>>, ..., .три) а точке рь>.
Теорема доказана. »> Здесь тдозиее пользоваться прямоугольной окрест>~остью Р(х> >; т>), >о>. чеи сферической. 1рХ Теоремы о <дункцивх, непрерывных но л<ножеетввх 273 Как видна нз проведенных рассуждений, доказательство теоремы 2 по идее повторяет доказательство соответствующеп теоремы для п.=.1 (см. п. 5.2). 3 а м е ч а н и е. Если функции <р, (1), ..., <ро (1), определенные на множествс Е,с:Е", непрерывны в точке 1<о<~Е,<-Ее а функция ) <щределена в некоторой окрестности точки к<о<=(<р<(1<о<), ..., <рн(1«ч)), то существует такая окреспюсть 0(рю) точки1<о<, что для всех 1~0(1<о1) "Е, имеет смысл суперпозиция <<(<р ° " <е ).
Таким образом, когда функция / определена не на каком-то ьп<ожестве Е„, содержащем точку х<о', а на множестве, содержащем некоторую окрестность точки к<о<, го требование существования супеРпозиции 1(<Рм ..., ИРв) в Условиах теоРемы 2 можно отбРосить. Действительно, если функция 1 определена в какой-то окрестности точки х<о<, то существует и прямоутольная окрестность Р(лл<з; Ч) этой точки, в которой функция 1 также определена. В качестве же искомой окрестности точки 1<о< можно взять 6-окрестность этой точки, построенную прп доказательстве теоремы 2.
В самом деле, если 1~ 0(1<о>; Ь),Ео то, согласно неравенству (19.9), получим (<р,(1), ..., <р. (1)) (- Р(х<о>, Ч), и, следовательно, сложная функция опРеделена на 0(1<о', 6) — Еп С помощью теоремы 2 можно легко установить непрерывность функций, большей частью встречающихся на практике, а именно так называемых элементарных функций л<ногих переменных.
Определение 8. Функции, получа<оп(иеся из переменных х,, ..., х„ е помо<цыо конечного числа суперпачиций, операциИ сл<охенин, ул<ноженин, деления и ватная элементарных функций одного переменного„ нозыеаютен элел<ентарнылт 4ункциями переменных х„...,хн. х \ы хе Например, функция 1'(х, у) = хе "+х является элементарной функцией двух переменных х и у. Деьствительно, Т(х, у)=хи<, и<=в', о=-уг, г=з(п1, ~3 ' а=-ху, р=.х+у, Из теоремы 2 следует, что всякая элементарная функция многих переменных непрерывна в каждой точке области своего определения. 19А. Теоремы о фуикцинх, непрерывных на множествах Функция 1 называется непрерывной на л<ножестее Е, если она непрерывна в каждой точке множества Е.
Докажем ряд теорем о непрерывных функциях на множествах. Эти теоремы доказываются аналогично соответствующим тепрел<ам р /О Предел и ненреривноств фднкиис многое вере«мены« лля функций одного переменного. /«)ы рассмотрим нх при достаточно общих предполон«ениях, это позволит более глубоко выяснить, с чем связаны рассматриваемые свойства непрерывных функций. Начнем с обобщения теорем Вейерштрасса (см.
п. 6.1) на многомерный случай. Определение ряда понятий, которые булут рассматриваться ниже, как-то: ограниченность функпии, верхняя и нижняя грани функции и т. и. — см. в и. 4.1. Теорема 3. Если функция / определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве, то она ограничена и доапигает своей верхней и назкней граней. Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала первое утверждение об ограннчснности рассматриваемой функпии /. Допустим противное: пусть существуег ограниченное замкнутое множество А ~ Е" и определенная на нем неограниченная непрерывная функция Тогда для любого натурального т (т =- 1, 2,...,) существует точка х'"'( Л, такая, что ~/(х~ >) ~ > т.
Так как А ограничено, то последовательность (хоч) ограничена. Согласно теореме Больцано— Вейерштрасса (см. п. 18А) из этой послеловательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (х' «'). Пусть !)шхо'«'=х'"'. Так как А замкнуто, то хил~А. Теперь, с одной стороны, ~/(х' «)(> т„и, значит, /(х' «') — ~ оо при /г — оо, с другой: /(х'"м)- /(х«з) ири й Полученное противоречие и доказывает, что всякая непрерывная на ограниченном замкнутом множестве А функция / ограничена.
Пусть теперь эцр / = М. Докажем, что существуег ио крайней л мере одна точка х«о> ~ А, для которой /(хло') =- М. Допустим снова прот«юное: пусть /(х)~ М лля всех хч-А. Тогда функция ф(х) = ! ,) также определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве Л, но в силу определения верхней грани функция «р не ограничена на А. Полученное противоречие показывает достижимость верхней грани М при сделанных предположениях. Аналогично доказывается и достнжнмость н~ж~ей грани т = 1и1/. Теор ема доказана. Перейдем теперь к рассмотрению обобщения теоремы Коши о промежуточных значениях (см. п. 6.2) для случая функций многих переменных.
Теорема 4. П//сов «рднкция / определена и непрерывна в области бс- Е", тогда, принимая какие-либо два значения в С«, функция / принимает в 6 и я~сбое значение, заклял«енное л~ежду ниъш. 19.4. Теввелн о <Ьвнкциях, непрепмвних на лнвчееетвах Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция < непрерывна в области О ~Е", пусть л"и~О, х'з>с-О, Р(хн>) = а, )(х'ч>) =- Ь и, например, а( Ь. Пусть, далее, с — какое-лиГю число такое, что а(с- Ь. Согласно определению области (см. определения 24 и 25 в п. 18.2), существует такая кривая х(<), а<< <(), что х(а) = х<'>, х(()) =- х<Р> и х(<)~6 при всех <((а, р!.
Если х(<) = (х,(<)), то, по определению кривой, функции х<(<) непрерывны на отрезке (а, ()!. Согласно же теореме 2 о суперпозицип непрерывных функций многих переменных, функция )(х(0) = =- )(х>(>)„, х,(<)) также непрерывна на отрезке (а, р). Так как <(х(а)) =- а, )(х(р)) = Ь и а ( с ( Ь, то, согласно теореме Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на отрезке (см.
п. 8.2), су<цествует точка <в~(а, ()), такая, что >(х(<„)) = с. Полагая х<"> = х(г,), имеем >Р> ~6 и 1(х<в>) = с. Теорема доказана. С л е д с т в н е. ерцнкция А определенная и непрерывная в замкнупой облаоти 6, принимая какие-либо два значения, принимает в О и любое прол<еждточное. Дока вате льство. Пусть Π— область, функция ~ определена и непрерывна на ее замыкании 6, х<'> ~ 6, х<'> ~ О, ((х<»)=а, ((х<е>)=- Ь н пусть для определенности а с(Ь. Докажем, что существует точка 5 ( О, такая, что ((5)=с. Возьмем е =- гп >п (с — а. Ь вЂ” с). В силу непрерывности функции ) в точке х<'> существует такое Ь=.б(е))(>, что если х (- 0(х<'>; б) — 6, то >г(х) — Г(х<»)/(е и, значит,! ) (х) — а > ( с — а, в частности, ((х) (с. Точка х<'> (- О, т.
е. точка х<'>. является точкой прикосновения множества 6, поэтому в окрестности 0(х<'>; 8) заведомо существуег точка, принадлежащая 6, обозначим ее у<". Таким образом, у<'> ~ 0 (х<'>; б) г О, и поэтому <'(у<'>) (с. Аналогичным методом доказывается существование 1очки у<4 ~6, такой, что )(у<е>) ) с. Из существования в области О точек у<'> и у<'> с указанным свойством в силу теоремы 4 вытекает существование в 6 точки такой, что >" (5).= с.
Следствие доказано. Отметим, что пи при доказательстве сал<ой теоремы 4, ни при доказательстве ее следствия не использовалось то, что множестга 6 открыто. Использовалось лишь то, что любые две его точки можно соединить кривой, принадлежащей самому множеству, т. е. что оно связно. 276 Э И предел и непрерывность грунк>1аа многих переменных >У и р а ж и е н и е 4. Пусть фуикиия 1 определена, непрерывна н принимает звачение разных знаков нз открытом мио:ксстве. Доказать, что множество точек, в которых 1+ О, является открытьш мнил~сотном, ио нс является областью.
Задача 11. Построить пример области 6, в замыкании которой существуют две точки, не соединяемые в 0 непрерывной кривой. ! 9.5. Равномерная непрерывность функций. Модуль непрерывности Наряду с понятием непрерывности функции в точке в математическом анализе большую роль играет так называемое понятие равномерной непрерывности фушсции на множестве. Определение 9. Функция 1(х), определенная на мнозквсп>ве Ес: Е", назывиется равномерно непре!>ывног! на Е, если для лгобого в > О суи(ествуеги 6 = 6(в) ) О, >пансе, что для лабах двух гпснвк х' 1: Е, х" ( Е, удовлвтворяви(их усяовггк> р(х', х")с.
6, (19.1О) выполняется неравенство (19. !!) !) (х') — 1(х )) < а. Отметим, что если функция 1 равнол>ерно непрерывна на лшожестве Е, то оиа и просю непрерывна на Е, т. е. непрерывна в каждой точке х1о>;'1 Е. Чтобы в этол> убедиться, достаточно, например, в (19.!О) и (19 11) поло>кити х" = х1и>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
