kudryavtsev1 (947411), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Поэтому для большей ясности и простоты наложения мы, как правило, будем подробно рассматривать лишь случаи и =- 2 или и =- 3, а в случае произвольного и — лишь формулировать соответствующие результаты или даже только отмечать возможность пх обобщения на случай произвольного и. Если же при рассмотрении какого-либо вопроса при и ~ 3 возникают какие-либо специфические трудности, то этот вопрос будет детально рассматриваться в общем случае. й 20. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЪ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 20.1.
Частные производные и частные дифференциалы Рассмотрим сначала случай функций трех переменных. ()пределе иие 1. Пусть в некоторой окрестности точки (х„уо, г,) задана функция и = и(х, у, г). Фиксируя переменные у и г так, тпо у = у„г = го, получим функцию одного переменного х: и = и(х, у„г,). Обычная производное (см. п. 9. 1) втой функции в точке х = хо называется частной производной функции и(х, у, г) в точке (х„у, го) по х и обозначаетсн Таким образом, ди (»о. Хо. »о) да (». уо- ео) ~ дх о(х ~ х еи Если вспомнить определение обычной производной д» (см. и.
9.1). то, согласно этому определению, можно напасть ди [хо Го, ео),. и(»о+Ах, уо ео) — и(»о уо 'о) = 1!и) дх д»-о Лх или, если ввести обозначение и(хо+йхз уо го) и(хо )'о. го)=б и а И Частные произ»одино. йи(О((>еренчируех(остт (Л„а — приращение функции по переменной х), ди . Ь и — = Игп —. дх д о Ьх Аналогично вводятся частные производные по у и г: дй (хо Уо, то) дй (хо У, то) ~ ду ду у у» ди(хь Уо, хо> д» (хо Уо х)1 дх дх ~те=-*б или ди, дуй дй . ахи — =1пп —, —,= 1пп —, ду ЬУ-О ЛУ " ах-О дт где Ьуи и Л,и — приращения функции соответственно по переменным у и г. По аналогии с функциями одного переменного линейные ди ди ди функции — ((х, — ((у, — ((г переменны>( с(х, ((у, ((г, называемых дх 'ду ' дх дифференциалами незаеисамых переменных, называются частными дифферен((иалахи( функции и (х, у, г) соответственно по переменным х, у, г и сбознача>отея с(„и= — ((х, (( и= — с(у, ((,и= — ((г, ди ди ди дх " ду ' * дх Аналогичные определения имеют место для любого числа переменных.
Если функция у=~(х„..., х„) определена в некоторой окрестности точки х(м = (х( >), то, по определению, (о> д( /х(о> х(о>'1 ((У Iх(о> (о) х х(о> х(о>'> ( дх, дх, (о> ' х(= хь или, что то )ке, опуская обозначение аргумента, ду . Дху —,= 1пп — * где — ~(хР, ..., х)"„хР, х)+», ..., х.'"), Для обозначения частной производнои — применяются такду дх( >ке обозначения у„или 1х. "( "и ?О.й Частные ароиааодныс и частные дифференггггахы Часгпный ди4ферениггал с(, у определяется по формуле с(. у=д Дх- — <дхг<+ ду (20. 2) и тем самым является линейной функцией переменной дхг, называемой дифферендиалоы независимой лерехгенной хь Здесь везде г = = 1, 2, ..., и. В случае п = 1 частная производная совпадает с обычной производной, а частный дифференциал — с обычным дифференциалом.
Подчеркнем, что — — единыи символ, т. е. в нем числитель и знаменатель не имеют самостоятельного смысла. С другой стороны, частная производная „†, конечно, может быть записана и ду в виде частного двух дифференциалов: ду ггс у дхг ахг Из определения частных производных, как обычных производных при условии фиксирования всех переменных, кроме одной, по которой берется производная, следует, что при вычислении частных производных можно пользоваться правилами вычисления обычных производных. дг Пусть, например, требуется найти производную — для функду х ции г=хуеУ.
Лля этого, зафиксировав в этой формуле х, получим функцию одного переменного у; вычисляя ее производнуго, получим дг — — д / х г х (у — х) аг' — =.хеу + хуан — ~ — ).== —.— —. дг* ду В заключение этого пункта отметим, что из непрерывности и данной точке функции и переменных не вытекает существование у нее в этой точке частных производных. Соответствующий пример в случае и = 1 был приведен ранее (см. п. 9.2).
Важно заметить, что нри гг > 2 из существования даже всех частных производных в некоторой точке исследует непрерывность функции в этой точке*>. чг Напомиггм, что при и = 1, т. е. дии функции одной нсрсменной, иа существовании в точке проиаводной вытекает и ггегграрывггосг.ь функнин в атой точке (см. и. 9.2). Э 20. Частные производные. Дифгференииряеиость Чтобы в этом убедиться, рассмотрим функцию )(ху), равную О, если ху =- О, и 1, если ху Ф О. Очевидно, )(х, 0) == /(О, у) — =- О. и, значит, д)(0, О) д)(0, О) — = О. дх ду Однако эта функция разрывна в точке (О, О), так как, например, ее предел вдоль прямой у = х при (х, у) — ь (О, 0) равен 1, а 6(0, 0) =- О.
Более того, существуют функции, имеющие частные производные во всех точках и все-таки разрывные. Примером такой функции является функция при ха+у') О, )(х, у) = хь+уь при х =- у =- О. (2О.З) Эта функции имеет частные производные во всей плоскости и разрывна в точке (О, 0) (почему)). 20.2. Диффереицируемость функции в точке Рассмотрим сначала случай функций двух переменных. Пусть функция г = ) (х, у) определеаа в некоторой 6-окрестности 0=-0(М„; 6) точки М,=-(хо, у„) и пусть М==- (х, у) ~ 0(Мо; 6), Лх=-х — хин Лу=у — у (рис. 73) и, значит, р = р(М, М,) = = 3 Лхт+ Луни 6. Пусть, наконец, Лг =: =) (хо+ Лх уо+ Лу) — 7(х уо)- Обычно Лг называется полным ггрирагцением функции; это название объясняется тем, что здесь, вообще говоря, все переРис. 78 менные получают приращения, отличныс от нуля.
Определение 2. Фцнкцил г = г(х, у) называется дифференцируемой в точке (х„, у„), если суи(ествуют два чис ги А и В, тикие, что Лг --АЛх-гг-ВЛу+а(Лх, Лу), (20А) где 20.2 Лнффг)мнинруглогта функции а точке гзт (20.5) дг = АЛк+ ВЛу. Вместо Лх н Лу употребляя)гся также равнозначные обозначения с)х и ду, 'г. е. пишут дг = Лдх+ Вду. Из (20.5) следует, что 1 — О и «ч«)« (20.6; Функнии п(Лх, Лу), обладая)гдие свойством (20.6), будем обозначать по аналогии с функциями одного переменного о(р) при р — Оаа'.
Применяя зто обозначение, определение дифференпируемости можно переписать в в)иге Лг = ЛЛк+ ВЛу+ о ',р). (20.7) Лемма. Условие (20.5) экеиеолентно услоеик) а(Лх, Лу)=-еа(Лх, Лу)Лх+еа(Лх, Лу)Лу, р+О, (208« 1пп е,= 1йпее=-О. р-о р-а л') о к а з а т е л лс т в о. Пусть выполнено условие (20.5), т. е, а=ар, р+ О, где е — «-0 при р — «.О, тогда а=-ер =-е )(Лх'+ Луа = = Лх+ е Лу=е,Лк+е,Лу, ~I Дха+ Ду* 3/ Дха+Ду* к) Напомним, что, согласно сделанному нами соглашению, запись 1!гп 1 рааиосильиа записи Игп 1, где р = р(М. Ма).
р-о м-и„ **) Ваоб)це для функций и и () многих переменных мы будем писать а =- а(р) при х — акга), х ч е", хга) ч еа«если а(х) = е(х)р (х) где 'Нш е(х) =- О «ьи а (Лх, Лу) = е (Лк, Лу) р, р ~ О, 1пп е(Лх, Лу) =0'). р- а Из (20.4) следует, что а(0, 0» = О. В случое дифференцирреиости функции г е точке (ка, у„) лпнейнол функции АЛх + ВЛу перел)енных Лх и Лу низмеоеп)ся полны,и диф- ференциилои, или простодифференциалои, функции г о точке (ха, уа) и обозночается дг. Таким образом, Гс.д Прфференцораеность функциа и гочка Полагая Лу=О, получим Лг= Л„г=АЛх+а Лх, Ища=О, ах» О откуда Ь г — =-А+ з л 'и (20.12) дг = а„г+ йч г, г.
е. полный дифференциал функции (когда он существует) является суммой ее частных лифференциалов. Заметим, что утверждение, обратное теореме 2, не имеет места: существуют функции, имеющие все частные производные во всех точках плоскости, но не дифференцируемые в некоторой точке. Примером такой функции является функция (20.3), приведенная в конце предыдущего пункта: в точке (О, 0) эта функция пе непрерывна, откуда г силу теоремы 1 вытекает, что в точке (О, О) эта функция и не лифференпируема. Цз сказанного следует, что не всегда выражение а,г + а,д когда оно имеет смысл, является полным дифференциалом функции.
Связь между дифференцируемостью фуннции в точке и существованием в этой точке частных производных сложнее, чем связь между днфференцируемостью и существованием производной у функции одной переменной. (;формулируем достаточные условия в терминах свойств частных производных для дифференцируемости функции. Теорема 3. Пусть Функция г =- 1(х, у) «некоторой окрестносоги ох оа точка (х, у,) имеет ~летные ороаысдные — „ч —, которое неаре- где при Лх — ~- 0 правая часть стремится к пределу, равному А, поэтому и левая часть при Лх -~. 0 имеет тот же предел, а это и означает (см.
(20.1)), что в точке (х„, у„) существует частная произволная — = А. Аналогично, полагая в (20.4) Лх = 0 и переходя к пределу, дх дх получим —. = В. лу Таним образом, формулы (20.9) заказаны. С л е д о т в и е. Если Функция 1(х, у) ди44еренцирлема в точке (хм у„), то сна имеет единспженный да44еренаиал. Едино~ венность дифференциала непосредственно вытекает из формул (20.9), так как частные производные в ланной точке определяются однозначно. Вспоминая формулы для частных дифференциалов (см.
(20.2)), формулу (20.10) можно переписать в виде З Ж Честные производные. ллол)лференцирремогть рьтны в самой точке (х„, у,), тогда функция г = Кх, у) дифференц ируелпо в золой точке. Д о к а з а те л ь с т в о. Обозначим через 0(6) 6-окрестность точки (х,, уо), в которой определена вместе со своими частными производными т„и (г функция 6 Выберем йх и йу так, чтобы (хо+ йх, у„+ бу)~ 0(6). Замечая, что 6 = 1(хо+ йх, у,+ йу) — 1(хы уо) = =-У (хо+ йх, Уо+ Ьу) — 1(хо. у.+ йу))+ (1 (хо. )о+ бу) — 1'(хо, Уо)) применим к выражениям, стоящим в квадратных скобках и являющимся приращениями функций только по одной переменной, формулы конечных приращений Лагранжа (см.
п. 11.2). Тогда йг = )н (х,-", Е, йх, у, + Ьу) Ьх+ 1 (х„уо+ Ео Лу) йу, о<е,<1, о<е,<1, (20 13) причем Е, и Ео зависят, конечно, от выбора точки (хо+Лх, уо+йу), т. е. от Лх и Лу. Если )н(х,+Е,ьх, у,+Ду) — )н(х„у„)='„ ),(х„уо+ Еоьу) — ),(х„, уо) ='„ то в силу непрерывности частных производных 1„и ) в точке (хо уо) имеем !пп г,= 1!юг 120.15) р"о р-о Подставляя (20.!4) в (20.13), получим 1х(хог Уо) ах+ 1у (хо Уо) лчу+ел пх+го ну.
(20,16) что в силу выполнении условий (20.15) и означает дифференцируемость функции / в точке (хо, уо) (см. (20.4) и (20.9)). Теорема доказана. Зта теорема имеет важное значение, связанное с тем, что понятие днфференцируемости функции играет первостепенную роль в ряде разделов теории функций многих переменных. Однако непосредственная проверка дифференцируемости функции (например, для выяснения возможности применения тех или иных теорем) часто бывает затруднительна, в то время как проверка непрерывности частных производных, для вычисления которых имеется удобный аналитический аппарат, оказывается проще.
Определение 3. Функция, имеюлцая в некоторой точке (или соответственно на некотором открьтюм мнозсестве) непрерывные частные производные, называется непрерывно дифференцируемой в аллой точке (сооплвелпственно ни этом мнолсестее), г0.2. дисус)серенссырувиоетв функции в совке гвс В дальнейшем нам понадобятся некоторые дополнительные свойства функций и, и е, из формулы (20.16). Определение 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
