kudryavtsev1 (947411), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала Дпя большей геометрической наглндностн н для того, чтобы не вводить новых понятий, в этом пункте ограничимся рассмотрением функций двух переменных. атд геометрический сммсп чпггпмх произподпих и дадхйгргпиаплп ЗОЗ рассмотрим функцию г = т(х, у), определенную на плоском открытом множестве 6, т. е.
множестве 6, лежащем на плоскости Е'. Пусть (х„у,) ~~ 6 и пусть в точке (х„уп) существует частная произ- дг водная —. Ее геометрический смысл сразу получается нз опрелеледх' да ния частной производной — как обычной производной функции дх Рпс. 74 ((х, у) по х при фиксированном у и из геометрического смысла обычной производной (см.
и. 9.3). В самом деле, возьмем замкнутый круг () радиуса г с центром в точке (х„, у,) и лежащий в 6*>. Пусть у— кривая, заданная представлением з=Пх.)а) у =-уа х„— г (х ~хп+г, г. е. кривая, которая получается сечением графика функции .
= г(х, у), (х, у) ~ (',) плоскостью у = у, (рис. 74). сп Такой круг Я всегда существует. Действительно, в силу определении ~ткрытого множества существует такая д-окрестность О точки (ха, у„), что д ) щ б. То~да аамкнутмй круг Я радиуса — с центром в точке(ха, у„) будет 2 ~авалово лежать в б. й ев. Чиегиые производные.
Диг)хггереиггиреемоего Как известно, дг(хо, уо) д)(л, уо) 1 дх дх -(й; где а — угол, образованный касательной к графику функции 1(х, уо) в точке (хо, 1(х„уо)) с осью Ох, т. е. угол, образованный касательной к кривой ч в точке (х„уо, 1(хо, уо)) с осью Ох. Таким образом, — 1 дх — в этом и состоит геометрический смысл частной производной. Совершешю аналогично устанавливается и геометрический смысл частной производнои . ' как тангенса угла наклона, образован- дг(хо уо) ного касательной в точке (хо, уо, 1(хо, уо)) к кривой, образованной сечением графика функции г = 1(х, у), (х, у) ~() плоскостью х = хо, с осью Оу.
Что же касается геометрического смысла дифференциала, то из формулы (20.18) для нашего случая, т. е. при и = 2, получим /(х, у) =- г, + А (х — хо)+ В (у — у,)+ о (р), р -+. О, (20.39) р= ) (х — хо)о+(у — уо)" ° г =Г(х„уо). Уравнение г=ггг-1-А(х — ло)+ В(у — уо) (20.40) является уравнением плоскости, проходящей через точку (хо, у, го) и не параллельной оси Ог.
Как мы знаем, коэффициенты А и В однозначно определяготся из соотношении (20.39), причем д) (хо уог В д)(х„уо) ду Ф (20.41 ) и, значит, плоскость (20.40) однозначно определена соотношением (20.39). Эта плоскость называется касапгельной плоскостью к графику функции г = Дл, у) в точке (х„уги го). Таким образом, мы пришли к следующему определению. Определение 5. Касательной плоскоспгью к графику ф(гнкг(ии Дх, у) в Винной точке называется пигкпя плоскосгггь, чгпо разность ее аппликапгы и значения функг(ии 1(х, у) являепгся величиной, бесконечно молой по сравнению с р при р — о О. В силу (20.41) ее уравнение имеет вид г — го — (л — ло) + д (у — Уо) (20-42) д)(хо, у„) д)(хо уо) 7О Ц Прооэводноя по направленою В дальнейшем (см. т.
2 п. 50.2) мы познакомимся с другим подходом к понятию касательной плоскости. Полагая Ьх = х — х„, Лу = у — у„правую часть уравнения (20.42) запишем в виде д1 (яа, уа) дя (ха~ уа) — — Лх+ — — ' Лу. дх ду Это есть обычная запись дифференшшла с)г функции г = 1(х, У) в точке (х„, Уа). Если текущую аппликату касательной плоскости обозначить гаа„, то (20.42) перепишется следующим образом: хв яв екав еа рис 75 Таким образом, геометрически полный дифференциал фунса)ии в точке (х„, у,) ромен приращению оп плакаты каеательной плоскаопи к графику фрикции (рис. 75). 20.6. Производная по направлению Частные производные от функции, по существу, явлщотся производными в направлениях координатных осей.
Естественно поставить вопрос об определении и вычислении производной по любому фиксированному направлению. Прежде всего определим это понятие. Проведем рассмотрение этого вопроса на примере функций трех переменных. Пусть функция 1 определена в б-окрестности 0(М,; б) точки М„(- Е", пусть М, а. 0(Ма, б). Проведем через точки М„и М, прямую, За положительное направление на этой прямойс возьмем направление — а вектора 1 =- М,М„т.
е. направление от точки М„к точке М,. Для всисой точки М этой прямой обозначим через М„М ориентированную длину отрезка с началом в точке Л4а и концом вточкеМ, т. е. длину этого отрезка со знаком «плюс», если вектор М„М имеет то же направление„что и вектор 1, и со знаком «минус» в противном случае. Определение б. 17 редел )(сп 1(л)) — 1(д)а) и и, Л)аМ вов й 2О Чаетние ераиееодние.
Пнфференннрдемоето если он сугцес«пз()ет, назызатпся производной функции г" з точке Мо по напранлению нектара 1 и обозначается — '-. Ф(~ио) д) Пусть теперь в пространстве Ео зафиксирована некоторая система координат х, у, е. Пусть М = (хо, уо, ао), М = (х, у, а), Лх = х — х„, Лу = у — У„Ла = г — ао и я = МоМ. Найдем связь между координатами точки М и ориентированной длиной з отрезка М,М.
Пусть а, р и у — углы, образованные вектором М,М, соответственно с осями Ох, Оу и Ог. Тогда (рис. 76) х — х, = я сова, у — )'о = я сов р, — о= вс у. Вдоль прямой МоМ функция ) является функцией одного переменного я, а именно Ри.. 76 ((х, У, з)=Р(хо+Ясова, Уо+зсовР,з„+ЯсовУ). Производная этой функции по я(ссли она, конечно, существует) и явл петен произнодной функции ) в точке Мо по напразлению вектора М«,М» Заметим, что направля«ошие косинусы сов а, сов р и сов у вектора М,М, определяются следующим образом через координаты ~о~~~ Мо = (хо Уо, ео) н М« = (х» У» 2«): сова=-х — '' сов () =-у — 'у" сову = ' " (2б.4З) р р Р Р = (х« — хо)'+ ()'« — Уо)'+ (е« вЂ” Яо)' Вычисляется производная по направлениго по правилу дифференцирования сложной функции.
Пусть функция г(х, у, а) дифференцируев«а в ~о~~е (хо, уо, яо) и пусть к=х +зсова, у=у +ясов(),г=ао+ясову. (20.44) Согласно общей формуле для производной сложной функции, д)(Я1о) д)(то) дх д)(!Ио! ду д)(М ) Иг де Ох «Ь ду Й дг «Ь « гд.б. Праивааднал ла налрааленню но из (20.44) следует, что Дх Ду Дг — =сова, — =сои(3, — =сову, до ' Дв ' до (20.46) поэтому окончательно — — сов и-)- — 'соз)) + — ' соз у.
(20.46) д/ (Л(о) д/ (Л(о) д/ (Л(о) д/ (Л(о) д/ Рмо) д( о(в дх ду дг Это и есть искомая формула. Таким образом, доказана следуюп(ая теорема. Теорема 7. Г/усн1ь функция / диФ4еренцируела в точке (х„уо, го). Тогда в мной точке г/оункция / имеет производные ло любому наоравленшо и вти производные находятся по формуле (20.46). Очевидно, что по самому определению производной по направлению (от точки Л1„к точке М,) функции точки она не зависит от выбора прямоугольной декартовой системы координат, а определяется только точками Л1о и М„или, что то же, точкой Мо и вектором М„М, (кстати, этот факт сразу не виден из формулы (20.46)).
Вектор с координатами д/(Л(о) д/(Л(о) д/(Л(о) дх ' ду дг наоывается градиенлюм функции /(М) в точке Л1, и обозначается нгад /. Таким образом, если г,./ и й — координатные орты, то ига д / = — /+ — /+ — /г. д/ ° д/ д/ дх ду дг (20.47) Часто оказывается удобным использование символ-вектора Гииильлоонао'. .д .д д у =/ — +./ — +/г —, дх ду дг называемого наблой. Набла является обозначением определенной операции, которую следует провзвести над тем или иным обьектом. Для функции / по определению полагаем у' / = 7 — +./ — + /о —, .д/ . д/ д/ дх ду дг Формально это равенство можно рассматривать как опроизведение» вектора у на число /.
Итак, нгад / и т / являются обозначениями одного и того же выражения. »> у. Гвмильхаи (!Ь05 — (855) — виехияскиа мвтемвтик. 308 Я 20. Частные проиааодные, Дифференкирремогг« С помшдыо градиента можно коротко записать формулу для производной функции / по направлению вектора / = (соя а, соя р, соя у) следующим образом: — = сояа — +совр — + сову — =-/ дгас1/, д/ д/ д/ д/ д/ дх др дг где в правой части стоит скалярное произведение векторов/ и йгаг) 7. Отсюда, поскольку / — единичный вектор, ди — =)дгаб и)сояф, где ф — угол, образованный вектором Р и дтаг) и.
Из этой формулы видно, что в случае, если в данной точке то производная функции по направлению достнгает наибольшего значения в единственном направлении, при котором соя тр = 1, т. е. в направлении градиента. Из этого, в частности, следует, что прн заданной функции точки /(М) градиент в каждой точке однозначно определяется самой функцией, а не зависит от выбора системы коор- динат, как это могло бы сначала показаться из формулы (20.47). Возьмем теперь любую непрерывно дифференцнруемую кривую без особых точек, проходящую через точку (х, уа, г ), и такую, что « вектор Мей1, является ее касательным вектором. Обозначим через 5 переменную длину дуги этой кривой, отсчитываемую от точки Мо в таком направлении, чтобы вектор М,М, давал положительное на- правление на касательной.
Если х = х(я), у = у(я), г = г(5) предо~яв- ление этой кривой, то„как мы знаем (см. п. 17.1), На да да — = со5 и, — = соя (1, — = соя у, ду т. е. также выполняется (20.45). Поэтому если взять производную в точке (х„у„го) от дифференцируемой функции /(х, у, г) по данной кривой, т. е. при х = х(5), у = у(я), г = г(я), то мы снова получим формулу (20.46).
Все сказанное переносится на функции любого числа и переменных (и > 2). Сформулируем лишь определение производной по направлению. «) Легко проверить, что если ято условие выполняется в оююй декартовой системе координат, то оно выполняешься и в любой другой подобной системе. яв.в. Производная по поправлению Пусть в некоторой окрестности точки х(о>=(х';"') определена функция Г(х) и пусть х' '=(х< ') — точка этой окрестности. Проведем прямую через точки х(о> и х('> или, чтото же(см.п.18.2), прямую через точку х(о> в направлении < к" > — к(о! х'Н вЂ” х(о' ! п и Р Р где Гп р= 1>> ~~ (х(( > — х(о>)я ° !=1 (20.48) Ее уравнение имеет вид к(>> х(о> х>=хо'-1- ' ' в, — оо(з(+со, 1=1, 2,..., п, или, полагая х(» (о> сова,= ' ', 1=1,2...„,п, Р < х('> — к(о> < что имеет смысл, ибо ' ' < 1, получим Р (20.49) х> = х(Р> + в соз аи ! = 1, 2, ..., и, — оо ( в(+ оо.
(20.50) совка, + ... +совка„=1. Г> роизводнал функции 1(х„..., х„) в точке х'"' в направлении точки х" > или, что то же, в напровлении (соз а„..., соз ап) определяется как произ(юдноя — от сложной функции в( Й Г(х~" + зсозо„..., х('> + всозо ). В случае, если функция > дифференцируема в точке х('>, то согласно формуле для производной сложной функции, имеем в этой точке — = — сова +...+ — сова. Ф д( 4 Вя дх! ! дх (20. 51) Косинусы соз а>, ! = 1, 2, ..., п, называются нопровляющил>и косинусол(и пря>иой (20.50).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
