kudryavtsev1 (947411), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Заметим, что формулы (20.49) аналогичны формулам (20.43), однако, если (20.43) надо было доказывать„то (20,49) принимаются за определение. Очевидно, что из (20.48) и (20.49) следует, что 3!О Е ГЕ Частные нроазвадные и дифференциалы амсших нарядное з В!. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 21.1. Частные производные высших порядков Пусть задана функция ~(х, у), тогда ее частные произ. д1(х, у) д1 1х, у) водные (если онп, конечно, сущехтвуют) — ' н дх ду снова явлшотся функциями двух переменных и ог них также д гд11 можно брать частные производные.
Частная производная — ! —.) дх 1дх1 д'1 а н)1, обозначается — нли 1 часгная пооизводная — ( — ~ обознадх' на~ ду (дт ~ дЧ чается -, — или 1.„. Таким образом, оу дх нх д 1д1') д'1 ду 1г)х ) ду дх кк Аналогично д 1г)1') де 1 д" ) ду / дх ду д 1д1х д" 1 ду )ду! дут тх' Все зги частные производные называкпся частными производными второго порядка.
Берн от производных второго порядка снова частные производные, получим всевозможные частные производные третьего порядка: дЧ дз1 дз1 дз1 — — — — ит. д. дхз дудхз дуздх ~ дхдудх Определение 1. Частная производная от частной г)роизвпдной порядка п — 1, и = 1, 2, ...*', называется частной производной порядка и. Часгпнпя производная, содержащая дифференцировпние по различным переменным, называется сметанной чпстной производной. Чпстная же производная, содержащая дифференцирование только по одной переменной, назывпется чистой частной производной.
Число различных частных производных при увеличении и, очевидно, возрастает, однако оказывается, что пра определенных пред- м Частной производной нулевого порядка для удобства обозначений считается сама функция. ейа Чвпнне производные высыв«порядков а!! »ву (хо Уо) = »уя («оэ Уо). (21.1) До к аз а тел ьст во. Пусть функция»(х, у) определена вместе с производными»„, »уо»„и» „в б-окрестности точки (х„уо) и пусть Лх и Лу фнксирова!оы так, что Лх' + Лу- < б'.
Будем обозначать, как и раньше (см. п. 20.!), символом Л„, соответствевно символом Л, приращение функции» по аргументу х, соответственно по аргументу у, в точке (лгн у,)*!. Положим Л„у»= Л„(Л,»), Лу»=Л,(Л,») н покажем, что Действительно, (21.2) Л„у»= Л.„». Л„у»=Л„(Л 0= Л„[»(«о, Уй+ Л)) — »(х, У )1= = [» (х, + Лх. )о+ Лу) — » (хо+ Лх,)о))в — [»(хо, Уо+ Лу,— »(«о Уой (21.3) Аналогично Л „» = Л (Л„») = [» (х„+ Лх, у,+ Лу) — » (х„у, + Лу)[в [»(хо+ Лхо Уо) — »(хо Уо)1. (21.41 Сравнивая (21.3) и (21.4), убеждаемся в справедливости (21.2). Положим теперь ор (х) = » (х, у, + ЛУ) — » (х, у,), тогда (21.3) можно переписать в виде Л„у, » = ор (х, + Лх) — ой (х ). В силу того, что в рассматриваемой окрестности точки (х„у,) су!цествует частная производная»„, функция ое(х) днфференцируема на отрезке с концами в точках х, и «о+ Лх.
«! дяя всякой фуикяяя Г (я, у) а» е (хо Уо) = и !«о + Я«: Уо! Р !«о Уо). Ду "1"о Уо! = " !«н Уо + аул — Р (Яо, Уо! положениях многие пз пих совпадают, а именно частные производные ие зависят от порядка дифференцирования. Более точно, имеет место, например, следующая теорема. Теорема 1. П1»сть функция»(х, у) определена влоесте со своими частныли производными»„», »„„и» „в некоторой окрестности точки (х„у„), причел произео3ные "» й» „непрерывны в втой пючке, пюеда д ап Частнме проиоводнме и дяфференнноло~ вмсигих порядков По теореме Лагранжа о конечных приращениях получим Лку ! то (хо 1 Ог Лх) Лх О Ог ( 1 Но ст'(х) =-1„(к, у,+Лу) — 1„(х, уо), поэтому Л, ~ =- !)„(х + О, Лх, уо+ Лу) — !к (х + О, Лх, у„)1 Лх.
Применяя еще раз ту же теорему о конечных приращениях, но теперь уже по переменной у, будем иметь Л„у) =~е (хо-(-0, Лх, у,+Оо Лу)Лх Лу, 0(0,(1, Ок. Оо(1. (21.5) Совершенно аналогично, полагая ф (у) =- ) (хо -р Ьх, у) — ! (х„у), получим Лук(=- ор(ус+ Ьу) — ф(уо) ='Ф' (ус+ Оо Лу) Лу = = (~ (х, + Лх, у, + Оо Лу) — ! (х,, у, + О, Лу)) Лу = гук (хо+ Оо Л»' ) о+ Оо Л) ) Лх Лу' О С О, (1, О СО„<1. (21,6) Согласно (21.2), левые части равенства (21.5) и (21.6) равны между собой, значит, равны и правые;приравнивая их и сокращая на ЛхЛу при ЛхФО и Лу ФО, получим !.у(хо+ О Лх ус+ Оо Лу) =-!уя(хо+Ос Лх, ус+Оп Л)), О к О„ ( 1, ! = 1, 2, 3, 4. (21.7) В силу непрерывности частных производных )„у и ~т„в точке х,уо в пределе при Лх- О и Лу- О из(21.7) получйм (21.1).
Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Из доказанной теоремы по индукции легко следует, что, если у функции п переменных смешанные частные производные т-го порядка непрерывны в некоторой точке, то они в этой точке не зависят от порядка дифференцирования. Это следует из того, что любые две последовательности дифференцирования, отличающиеся только порядком дифференцирования (т. е.
такие, что по каждому фиксированному аргументу они содержат одно и то гке суммарное число дифференцирований), можно перевести одну в другуго конечным числом шагов, при каждом из которых меняется порядок дифференцирования только по двум переменным, а другие остаются при этом фиксированными. Таким образом, при каждом шаге фактически рассматривается изменение порядка дифференцирования у функции лишь двух переменных, т.
е. в этом з~з уп2, дифферевяиолы высших порядков случае мы находимся в условиях вышедоказанной теоремы. Тем самым общий случай и сводится к случаю функций двух переменных. Поясним это на примере. Докажем, например, что » хух )хух' Согласно вышесказанному, имеем последовательно )хух Ух)ух Ух)ху (1хх у (» хх)у (» х)ху ()х)ух )хух' 3 а м е ч а н и е 2. В заключение этого пункта отметим, что на первый взгляд доказанная теорема может показаться не очень содержательной: для того чтобы судить о том, имеет ли месю равенство )„у = )уам надо, согласно этой теореме, проверить непрерывность функций )х и )ух, а для этого надо как будто бы их знать; но если мы их уже знаем, то без всякой теоремы можем выяснить, равны они или нет. Тем не менее теорема 1 все-таки содерукательна. Дело в том, что о непрерывности функции можно иногда судить иа основании некоторых общих теорем, не прибегая к конкретному вычислению и исследованию самой функции.
Так, мы знаем, что все элементарные функции многих переменных непрерывны в своей области определения (см. и. !9.3). С другой стороны, частные производные элементарных функций сами являются элементарными, поэтому частные производные элементарных функций непрерывны в области своего определения. Задача 13. доказать, что если срункннвдх, у) определена вместе со своими частнымн производными 1 ., 1» н )ху в некоторой окресыюстн точки (х», уа), пРичем частная пронзводнан 1» нейрерывна в точке (х», у»], то в атон точке существует частнан пронзводнан )у, н 1»х(хо Уо)'=1ху(«'о 1'о). 21.2.
Дифференциалы высших порядков Функция от 2п переменных х„...,х„, у,, ...,у„или, что то же, от упорядоченной пары точек п-мерного пространства х — («т, ..., «„), у==(у,,у„) нида А(х,у)--А(х,, ...,х„; у,, ...,ув)--= ~ а„,х,у„, к а=-! где аса — заданные числа (1, й = 1„ 2, ..., и), назынается билинейной формой от х и у. Это название объясняется тем, что если одну из точек х илн у зафиксировать, то функция будет линейной относительно координат оставшейся точки. д 2Д Чпсгные производные и дси)хреренчиояся вне ик порядков сРункция А(х, х) называется квадрптачиой сроргсой, соответствующей данной билинейной А(х, у): А(х,х)=А(х„...,х„;х„...,х„)= ~ ас„хсх„.
с, н=! В случае, когда а,л=а„и с, и=1,2, ...,и, билинейная форма А(х,у) и соответсгвуюгцая ей квадратичная А(х, х) называются счмметриннымп. Например, скалярное произведение двух векторов х = (х„хг, х,) и У=(уг У Уг) ,тУ = хг Ус + х Уг+ ха Уг является симметричной билинейной форлюй точек х = (х„кг, хг) и у = (у„у„у,), а квадрат длины вектора ~х~ — соответствующей ей квадратичной: ! х~ х =х~ + хг+ хз В дальиейспем для удобства изложения будем обозначать дифференпиалы не только символом й, но и символом б, например, писать не только дг дг с1г = — с(х+ — с(у, дх ду но и бг = — бх+ — бу.
дг дг дк ду Пусть функция г = ((х, у) имеет непрерывные вторые производные в точке (хо, у,) и, значит, ее первые производные дифференцируемы в этой точке. Вычислим дифференциал от первого диффедг дг ренциала йг == — с(х+ — с(у в точке (хо, у„), счи тая йх и с(у фиксированными, т. е. рассматривая дифференциал только как функцию точки (х, у); при этом новое дифференпирование обозначим символом б: б (с(г) =- б ~ -.'-)с(х+ б ( —,,' ) с(у = дег д г т / д г д г =- — б + — — — ) ) с( + ~ — б + —, б) ) с() =- дх' иуих ) (,дхду дуе дг дег дгг дх' =- —; йх бх+ — (йх бу+ бх йу) + — с(у бу. дх ду дуг Все производные здесь взяты в точке (х, У,).
Кы получили билинейную форму переменных йх, с(у, бх, бу, являющуюся симмигрич- г!.а йпффеяекяиолы оноыих порядков з1а ной в силу теоремы о независимости порядка дифференцирования. Полагая бх =- ах, бу =- ау, получим соответствующую ей квадратичную форму, которая и называется вторым дифференциалом функции г = !(х, у) в точке (хо* уо) и обозначается г(хг. Таким образом, мы пришли к следующему определению. Определение 2, Вторым дифференциалом апг функции г= !(х, у) в данной точке называется квадратичная форма от дифференциалов ах и йу назависиликх яеременных, соотвелигявуюи(ая билинейной форме дифференциала от первого дифференциала: д' г дех дхх г(хг = — йх'+ 2 — г(хг(у+ — йу'. дх' дх ду д»х (21.8) На практике при конкретном вычислении дифференциалов обычно совмещаются оба шага — вычисление дифференциала от дифференциала 6(с(г) и приравнивание дифференциалов аргумеятов: бх = — ах, бу = йу.
Например, пусть г = ххсозх у н требуется найти ихг. Последовательно имеем аг = Зх' созх у ах — х' з! и 2уг(у, ~Р г =- Бх созх уг!х' — Зхх з! и 2у с(х ау — Зхх з! п 2у г(х ау— — 2хх сов 2у й)а =- бх созе )ч(х' — бх' з! п 2у ах г(у — 2х' созх 2у г(ух. Аналогичным образом прн непрерывности частных производных третьего порядка можно вычислить и дифференциал от второго дифференциала 6(ахг), после чего, полагая бх = ах и бу = ау, мы получим по определению третий дифференциал. По индукции определяется и дифференциал (я+ 1)-го порядка й'пхг, н =1, 2, ....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
