kudryavtsev1 (947411), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В силу зтого взаимно однозначного соответствия (а также и в силу других обстоятельств, о которых речь будет ниже) комплексное число г = х+ (у геометрически удобно интерпретировать как радиус-вектор на плоскости с координатами х и у (при некоторой фиксированной прямоугольной декартовой системе координат). Угол ср, образованный радиус-вектором г, г чь О, с положительным направлением осп Ох, называется аргументом комплексного числа г н обозначается Агя г. Значения ср аргумента комплексного числа г, такие, что — л ( ср < л, обычно обозначают ага г.
Очевидно, что Агдг определяется комплексным числом г~О с точностью до целочисленного кратного 2пе1, в то время как агпг определяется уже числом г ~ О однозначно. Очевидно также, что ага г = агс1п — + )гя, У к где (г = О для первой и четвертой координатных четвертей, й =- 1 для второй и й == — 1 для третьей.
Пусть ~г~ = г, Агпг = тр, тогда х = г сон ср, у = тяп а (рис. 77), и потому г =.= х + (у = с (сок ср + 1 51 и ср). Рис. 77 Представление комплексного числа г в таком виде называется пдтигономегпрссчеокой записью комплексного числа. Сумма двух комплексных чисел г, =- х, + (у, и гх =- х, + (у, определяется согласно Формуле гт + гв = (хт + хх) + с(ух + ут). (23.1) Иначе говоря, вещественная и мнимая части суммы г, + гх равны суммам соответственно вещественных и мнимых частей г, и г,. Разнсспгв комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению, т.
е. разность г =- г, — г, является таким числом г, что г,+г==г,. Следовательно, если г =-х+ту, то х,+ х+ с(у,+у) =х,+(у. Отсюда х = х, — хтв у = у, — уя, т. е. вещественная и мнимая ) Поэтому равенства, в которых в обеих частях стоят аргументы (йтк) каких-то комплексных чисел, представлиют собой, по существу, равенство между множествами. 28.1 Конллекснме числа части разности г, — гг равны разностям соответственно вещественных и мнимых частей чисел г, и г,. Поскольку геометрически вещественная и мнимая части комплексного числа нвлщотся его координатами, и прн сложении (вычитании) координат векторов сал1и векторы также складываются (вычитаются), то формулы (23.1) означают, что геометрически комплексные числа складыва1отся и вычитаются как векторы (рис. 78 и 79).
Рис. 79 Рис. 78 Произведение двух комплекщ1ых чисел г, = к, + 1У и г, =- хг + 1У, опРеделЯетсЯ по фоРмУле гтг,=(хг+1У1)(хг+1Уг)= — (х,х,— У, Уг)+((к, Уг+У, кг). (232) Найдем формулы умно>кения комплексных чисел в тригонометрической форме. Если г,=е,(созсР,+сын чР,), гг«-ег(со51Рг+151пфг), то гт гг = Гг Гг 1(СО5 фт Соз чрг Я П срг Я П фг) + + 1 (соз фг 51 и фг+ 51п ф, соз фг)1 = Г, ег (соз (фт+ фг) + 1 ы и (фа + фг)1 и, таким образом, (гтгг)=~г1! !гг~, Агц(гг г,)=.Агцгт+Агйгг '. (23.3) Отсюда для степени г", и=..1, 2, 3, ..., комплексного числа г имеем 1г" ~=1г)«, Агпгл=п Агяг, «1 Это равенство, как и вообще нсе равенства с Лса, следует понимать как равенство множеств.
ззо а Яд Некоторые саеденил о коиолексныл. сисеак и л!ногоиеенак в частности, прн !г~=- 1, т. е. когда г=-созгр+ !5ьч!!, (СО5 С(~+ ! 5! П 27)н = — СО5 Л 2Е + !' 5! П Щ. (23.4) Операция деленая — комплексного числа г на комплексное 7 2 1 число г, тн О щ!Ределаетси как опеРациа, обРатнаЯ опеРации Умножения, т. е. число г= — ' называется частным, если г,=г,г. 72 Поэтому )г!)=-!72(!г( н Агпг! =-Агпге+Агйг, откуда )г(=! — 11= — ", Агйг=Агй — '-= Агяг! — Агягл. (23.5) -г, Формуламн (23.5) комплексное число г == — ' прн заданных г, и ге ~ь О, очевидно, определено однозначно.
Ряд других свойств комплексных чисел, как, например, коммутатнвность и ассоцнативяость сложения и умножения, дистрнбутивность умножения относительно сложения и другие свойства непосредственно следуют из формул, с помощью которых определены эти операции для комплексных чисел, и из соответствующих свойств вещественных чисел. Поэтому не будем на них подробно останавливаться. Корень и-й степени в =- 1 гиз комплексного числа г определяется как такое число щ, и-я степень которого равна подкоренному выражению: ЕСЛИ гс т(Сезар+15!Пгр), а Са=р(СО52)!+15!Плр), тО р' (соз игр+ ! 5! и ллр) = г (сов гр+ ! 53 и Ч!); отсюда и= р= тле. Здесь корень понимается в арифметическом смысле — как неотрицательное вещественное число, нбо по определеншо модуля комплексного числа р > О. Далее, пг)! = 2р+ 2)гп (й — целое), или ч+ 2йн и зз! 2дд !чол~плечсиисе числа сч!ы получим по существу различные значения аргумента при значениях й = О, 1, ..., и — 1 в том смысле, что если обозначить эти значения аргумента через ~> и положить пса = — р(спечь„+ !а!пчг ), го при р Ф О получим различные комплексные числа.
При всех тотальных й значения чр будут отличаться от указанных углов чр„иа хратное 2п, т. е. зги значения аргумента будут приводить н одному из комплексных чисел шч, А =- О, 1, ..., и — 1. Таким образом, ко- и зень 1с 2 имеет пРи 2 чь О в точности и значений псм сао ..., ш жч Рис. ап Рас. ас Геометрически числа ш„, /г = О, 1„..., и — !.
располагаются в вершинах правильного п-угольника, вписанного в круг радиуса р : центром в начале координат. Это следует из того, что аргумент ~иола нсх отличается от аргумента числа ша с при всех й =1, 2, ..., ли 2 — 1 на одно и то же число —. На рис. 80 изображен случай п = 6. и Каждому комплексному числу 2 = х+ ру соответствует число с — )у, которое называется сопряженныл к 2 и обозначается 2; = х — )у.
Геометрически числоа изображается вектором, симме;ричным с вектором 2 относительно оси Ох (рис. 81). Свойства сопряженных комплексных чисел 1. !!2(.= !г !, агй2= — агиз. 2. 22= (2',2, д. 2=-2. 4. 2,+22=2, Р 2. 5. 2,22=2,2,. 332 я гз Некоторые сведения о «омялекекых числах и мноеочлеяих Свойство 1 очевидно (см. рис. 81). Далее, согласно правилу умножения комплексных чисел, г г =- (х+ ту) (х — гу) == х'+ у'. Свойство 2 доказано.
Свойство 3 также очевидно: если г=х+!у„то г=х — !у и г = х — ту =- х+ !у —,— г. В справедливости свойства 4 можно убедиться геометрически, взяв параллелограмм, симметричный относительно оси Ох, с парал- лелограммом, натянутым на век- У торы г, н гз (рис. 82), т. е. парал! лелограмм, натянутый на век- ! торы г, и г,. Диагонали этих ьч ! ! параллелограммов будут также $% ! симметричны относительно оси и, следовательно, будут соответственно равны г, + гт и ,т еь ! г, + гх. Сдругой стороны, пох ! сг!едняя диагональ, как сумма ! ! векторов г, и гз, равна также и г, + гз. Свойство 4 доказано. Рис. ег Свойства б и 6 следуют из того, что модули и аргументы выражений, стоящих в разных частях соответствующих равенств, совпада!от. Действительно, используя свойство 1, получим ! гт гв ! =- !гт гв ! = ! г! ! ' ! гв ! = ! ~з ! )гт ! = ! гт гя ! Ага г, г, = — Агй г, г, = — (Агц гд+ Агй г,) = =.
— Агд г, — Ага гз = Агп гт + Ага гв = Агд гт г,. Свойство б доказано. Аналогично доказывается свойство б. 23.2. Некоторые понятия анализа в области комплексных чисел Понятие предела последовательности легко обобщается и на случай комплексных чисел. Определение !. Пусть задана последояательностпь *' комплексных чисел гн = х, + ту„, и = 1, 2, .... Число ь" = и + 1т) назьшается ю Функции, определепнвя нз мнонсество натуральных чисел и имсющвя своими значениями комплексные числа, нвзывннтся последоввтельностью комплексных чисел.
333 23.2 Некоторые понятия анализа я области колеллектныл»иеел ее пределом, если для любого вещественного числа е > О суи(ествует такой номер и, 'ипо при л > и. ььтолняется неравенство )г„— ~((е. В етом случае птииут Игп л„= ь и говорят, что последователь- »»» ность [г„) сходится к числу Таким образом, по форме зто определение совершенно такое же, как для предела гослсдовательносгн вещественных чисел.
Геометрически, если обозначить через М„конец радиус-вектора г„, т. е. точку с координатами (х„, у„), а через )у — точку с координатами Я, «1), то равенства 1ип г„= ь будет иметь место в том и толь- л О» ко том случае, когда Иш М„= )т' в смысле п, 18.1. Это непосредственно следует нз того, что совокуп- «ив ность концов М = (х„ у) векторао м г = х + (у, таких, что ~ г — ь1( в, образует е-окрестность тачки Ж = (й, Ч) (рнс, 83). Из сказанного следует (см. 4 и. 18.1), чта последовательное«ь г„= х„+ (у, сходится к числу с = $ + ««1 тогда и только тогда, когда Ишх„=$, Ип1у„=т). В .Вв Последовательность комплексных чисел, имаощая своим пределом ноль, называется бесконечно малой. На последовательности комплексных чисел естественным образом переносится ряд теорем о пределах последовательностей вещественных чисел, например, теорема о единственности предела, об ограниченности последовательности, имеющей предел, критерий Коши и т. п.
В 3 8 были введены обозначения «со и «0» для сравнения функций. В дальнейшем понадобятся такие же обозначения и для последовательностей. Определение 2. Будем говорит«и что последавательностпь (г„) ограничени относительно последовательности (то ), и писать г„=О(го„)»~, если существует постоянная с ) О, такая, что 1г„1(с1«о„~, п=1, 2, .... »> Иногда к етому добавляют: прв и-» о». р 28 Некоторые сведения о колнлексннх числах и многочленлх Это определение в случае сс„~ О, п = 1, 2, ..., эквивалентно СЛЕД)ЧОП(ЕМУ: ДЛЯ ДВУХ ДаННЫХ ПОСЛЕДОВатЕЛЫЮСтЕй (гн) И (гс„) СУ1цествУег постоаннаа с' л. О и номеР пв такие, что ! г„! < с' ! вк!, т = пв п, + 1, .... Действительно, полагая в этом случае получим ( г„( н с ~ тс„~, и = — 1, 2, ...
т. е. первоначальное определение. Определение 3. Если г„=О(пн) го„=О (г ), то будем говоритпь, что последовательности (г„) и (ин) одного порядка. Определение 4. Ьудем говорить, апо последовательность (г„] являепюя бесконечно малой по сравненшо с последоватлельностью (вн) и писать г„= о(го„), если с11и(ествует бесконечно малая последовательность (а„), такая, что г„=а„гс„п=.1, 2, .... Определение 5.
Если последовательности (г„) и (гон) такие„ что г„+ О, го„ч'= О, п =1, 2, ..., и ! пп -"- = 1, то вти последовагпельности называются вквивалентными и пи- игется гн — в„, и=1, 2,,... У н ра ха венк а. 2. Дока"ачтн что если ге ч'-О и вн в О, то, лла тото чтобы гн-вн необхолино а лсстагочио, чтобы г, = и„+н(в„). к =1, 2, .... 3, Доказать: если г„= св„+ о (ген), с чь О, и = 1, 2, ..., то г„= О (вн). Можно рассматривать функции комплексного аргумента и комплекснозначпые функции.
Например, 1(г) = ~ г(, 1(г) =- г'. Обе эти функции определены на множестве всех комплексных чисел, первая из них принимаес только 28.а Некотооыи понятии оиолиао в области коиилекоиьм и»сел неотрицательные иегцес>пенные значения, вторая и существенно комплексные. Геометрически, если функция )(г) определена на некотором множестве Е п-мерного евклидова пространства Е" и принимает комплексные значения, то она задает отображение этого и-мерного множества Е в плоскость.
Например, функция и> = ~г~ отображает плоскость на полупрямую, а функция и> = г' всю плоскость на всю плоскость, как говорят, двукратным образом — в данном случае это означает, что при отображении и> = гл каждая точка образа, кроме нуля, имеет прообраз, состоящий> из двух точек. Если множество Е, на котором задана некоторая функция, лежит на плоскости Е', то его можно рассматривать всегда при фиксированной системе координат как множество комплексных чисел, а заданную функцию как функцию комплексного аргумента Для комш~екснозначных функций, определенных на множестве Е и-мерного пространства Е'", можно ввести многие из понятий, введенных ранее для вещественнозначных функций (предел, непрерывность, частныс производные, диффереицируемость, интеграл и др.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
