kudryavtsev1 (947411), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Именно, чтобы получить й""г, надо взять (если, конечно, это возможно) дифференциал от дифференциала й"г порядка т 6(апг) и положить бх =- ах, бу = а)к При этом справедлива формула г!о г =--.„л С вЂ” — с(хп-л г)ух в=о дх" д у (21.9) е!пг--! — ах -1- --йу) Т(х,у), /д д т() (,дх 6» (21.1О) ее обычно символически записывают в следующем виде, более удобном для запоминания: Э Я. Частные производные и дифференяиалн внешах ггорпдное Докажем формулу (21.9) по индукции. При п = 1 она, очевидно, верна. Пусть она справедлива при некотором и, покажем ее справед. ливость при п+ 1.
Имеем б (!Гл а) л / дл+! е Г1олагаем бх=О(х и бу=О(у! !(гг+! з дл+! ~ дл+! г(Хгг — Е+! Е(ул+ Э С'" !(Хл — гп Е(!гпг+! дх — л+! дре еьг ' д « — и д, +1 Е=О пг=о Заменяя во второй сумме индекс суммирования и на и — 1 и замечая, что С;;+С~ ! = С~+1, получим л л+! Е=О С„ О(хл "+' Йуа+,ув Сл е(х — е+'о(у» = е дл+! е гг — ! дл+! е дхл '1+! д У х у дх" — "+' д ' л+1 л+! л+1-е дел+! е д У Формула (21.9) доказана. 3 а м е ч а н и е. Следует иметь в виду, что если имеется сложная функция з = 1(х, у), где х =- х(и, о), у = у(и, о), то второй дифференциал функции 1, записанный через дифференциалы переменных х и у, уже не будет, вообще говоря, иметь вид (21.8), а будет, как правило, выглядеть сложнее.
Таким образом, в случае дифференциала высшего порядка (т. е. порядка большего или равного двум) це имеет места инвариантпосгь формы дифференциала относительно выбора переменных. Чтобы в этом убедиться, вычислим в рассматриваемом случае второй дифференциал функции г = Кх, у), где х = гйг дифференциалы высвист порядков = х(и, о), у = у(и, о). В силу инвариантности формы первого дифференциала имеем г(г = — дх+ — г(у. дх ду Далее вычислим дифференциал б(Ж), считая, что бн = г(и, бо = = гЬ, используя ипвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных н замечая, что дифференциал б(г(х) есть днфферег1циал функции и, значит, вообще говоря, не ноль, получим ( '=б(И )~ =б(Д ~ +,' — '~У)~ за ли = б(дх~ '(х+ б (,ду) т(у+ дх б (г(х)+ ду б Иу) ~зи и = — г(хз+ 2 — г(х г(у+ —, г(уз+ — Р х+ — У у.
дз г д'г д'г дг дг дхз дх ду дуз дх ду На практике н в этом случае обе операции: взятие дифференциалов и прнравнивание дифференциалов би = т(и, бо = й>производятся одновременно. Все сказанное, в частности определение дифференциалов высших порядков, естественным образом переносится на функции большего числа переменных. Отметим, что дифференциал пг го порядка от функций и переменных у = у(х„..., х,) имеет внд грпу= — 0х + ...+ — дхв~ у(х, ...,х„). (2),1)) Доказывается эта формула аналогично формуле (2(.10). у п р венеция.
1. Найти частные производные первогопорядка функции х г= 1п (а —, у х. Найти полный дифференциал функции и =- гхг. 3. Найти все частные производные второго порядка функции и = х гнп (х+у) + у соз (х+у). 1 4. Найти дзг, еслиг= ~ 1п(х'+уз). 5. Найти позоизвоДные пеРвых двУх поРЯдков от фУнкции в=1(и, и), где и=ха+ у, о = ау. ГЛАВА третья ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 5 22. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО И НТЕГРАЛА 22.1. Первообразная и неопределенный интеграл Определение 1. Пусть функция 1 определена на некотором конечном или бесконечном промежулисе Е, т. е.
на отрезке, инл~ервале или полуинтервале числовой оси. Функция Г, определенная на Е, называется первообразной функцией (или просто первообразной) функции / на Е, если с'(х) = 1(х) для каждого х ~ ~Еа>. Очевидно, если с" — первообразная функция функции [ на промегкутке Е, то функция с + С, где С вЂ” некоторая постоянная, также является первообразной функции [ на Е.
Действительно, [Г (х) -[- С[ =- Г' (х) =- у (х), х ~ Е. С другой стороны, в силу следствия леммы 1 п. 11.2, если с и Ф вЂ” две первообразные функции [ на Е, т. е. если Р'(х) =~(х), Ф'(х)=)(х), х~Е, и, значит, [Р(х) — Ф(х)['=О, х~Е, то они отличаются на некоторую постоянную Ф(х) =Р(х)+С, х~ Е. (22.1) Таким образом, если с" есть какая-либо первообразная функция функции А лю всякая функция вида (22.!) также является первообразной для 1 и всякая первообразная функции 1 представимо в таком виде.
Ю Как обнчно, на коппс промежутка, если он входит в рассматриваемый промежуток, речь идет о соответствующей односторонней производной. 22П Перааабралнал и неопределенный интеграл 3!9 ггпределеиие 2 Совокупность всех переообразных функции определенных на некотором промежутке Е, называется неопределенным интегралом опг функции ~ на промежутке Е и обозначается 'у (х) дх. (22.2) Если Š— какая-либо первообразная функции ( ца Е, то пишут ~)'(х) дх=р(х)+С, (22.3) хоти было бы правильнее писать ~Р(х) д =(Р(х)+С). (22.4) Мы, как обычно принято, будем употреблять запись (22 3). Тем самым один и тот же символ ) г(х)г(х будет обозначать как всю совокупность первообразных функции й так и любой элемент этого множества, т. е.
какую-то первообразную функции й Следует, однако, иметь в виду, что всякое равенство, в обеих частях которого спюяпг неопределенные инпгегралы, есть равенство между множесгпвами. Значок ) называется знаком интеграла. Под знаком интеграла пишут для удобства не саму функцию й а ее произведение на дифференциал дх.
Это делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной пишется первообразная. Например, Х 2 с хггв х' гдх = —. + С, )ха г дг = — + С; з здесь в обоих случаях берется функция, записываемая одинаково х'г, но ее неопределенные интегралг.г в рассмотренных случаях оказываются различными; в первом случае она рассматривается как функция от переменной х, во втором — как функция от переменной г. Другие удобства, вытекаюшие из употребления записи ~ )(х)дх, будут указаны в дальнейшем (см. замену переменного в интеграле„ п. 22.3).
В формуле (22.2) под знаком интеграла, очевидно, стоит дифференциал любой из первообразных Р функции й аР (х) =- Р' (х) дх =. Г (х ггх, х ~ Е. (22.5) Основные свойства неопределенного интеграла Будем предполагатгн что все рассматриваемые функции определены па одном и том же промежутке. У 22. Определение и гвозогва неопределенного интеграла 1.
') с(Р (х) =. Р (х) -)- С. Справедливость этого равенства вытекает из определения не- определенного интеграла как совокупности всех функций, диффе- ренциал которых стоит под знаком интеграла (см.(22.5)) и общегс вида (22.1) всех первообразных данной функции. 2. д~~(х)йх=~(х)с(х.
В данной формуле под ~ 1(х)дх понимается любая первообразная Р функции Е Справедливость этой формулы также очевидна в силу (22.5). 3, Если функции /, и (е имеют переюбразные, то и функция 1 + /г также имеет первообразную, привел~ ~ Д(х)+),(х))йх — — — ~~,(х) йх+ ~~г(х) йх. (22.6) Это равенство выражает собой совпадение двух множеств функ- ций и означает, что сумма каких-либо первообразных функций 1, и ге является первообразной для функции!, + 1, и что всякая первооб- разная функции )т + )г. является суммой каких-либо первообразных 1, и )г.
Свойство интеграла, выражаемое формулой (22.6), называется аддитивносгпью интеграла относительно функций. Пусть ~~,(х)йх=-Р,(х)+С, )1 (х)дх=Р,(х)+С и, значит, Р; ==~„Р;=--г„положим Р = Р,+Р.„тогда Р'= = Р~+Рз=),+~г, т. е. Р==Р,+Р, является первообразной для Г +ге, поэтомУ (см. 22.1) ~ 1~, (х) + ), (х) ) йх:= Р (х) + С = Р, (х) -й Р, (х) -1- С. Таким образом, левая часть формулы (22,6) состоит из функций вида Р, + Р, + С, а правая — из функций вида Р,+ С,+ Р, + С,. Ввиду произвольности постоянных С, С, и Сг этн совокупности сов- падают.
4. Если функция 1 илгсегп первообразную и й — посгпоянная, то и функция я)(х) также илгеегп первообразную, причелг при й ~ь О справедливо ривенстм ~)г)(х)бхай~~(х) йх. (22.?) Действительно, пусть ~ /(х)йх =- Р(х) + С или Р' = 1, тогда (яР)' =- Ц. Поэтому левая часть формулы (22.7) представляет собой совокупность функций вида ЙР + С, а правая, очевидно, является в силу определения интеграла совокупностью функций вида й(Р + С,) =- ~гР'+ еСо Ввиду произвольности постоянных С и С и условия я ть О, обе совокупности совцадьчот, г2.г Таахвчнаге интегралы Вопрос о существовании первообразной будет изучаться несколько позже (см.
п. 29.2), а теперь рассмотрим методы вычисления перво- образных для различных классов элементарных функций. У и р а ж н е и и е 1. доказать, юо функция Маях ие ивеет иервооаразной на всей всшсствевноГ! оси. 22.2. Табличные интегралы Операция нахождении неопределенного интеграла от ванной функции, называемая операцией интегрирования, является операцией, обратной операции дифференцирования, т. е. операции нахождения по данной функции ее производной (см. свойства 1 и 2 неопределенного интеграла в п.
22.1). Поэтому всякая формула для производных конкретных функций, т. е. формула вида Е'(х) = )(х), может быть обращена (записана в виде интегральной формулы): ')Г(х)дх= Р(х)+С. Используя это соображение, напишем таблицу значений ряда интегралов, получающуюся непосредственно из соответствующей таблицы производных элементарных функций (см. $ 9). х 1. ) л" дх= — +С, х.>0, а ~: — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
