kudryavtsev1 (947411), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В дальнейшем нам придется встретиться лишь с понятием непрерывности комплскснозначных функций; сформулируем его, Определение 6. Пусть калтлекснозначная функция 7 определена на л>помес»гве Ег:.Е и пусгпь Р, ~ Е. Функция 1 называется непрерывной в точке Р„, ес>и для любого е > О существует б = 6(е) > О, такое, что ~ 7(Р) — 1(Ро)) < е для всех точек Р~ Е, удовлетворяющих условию р(Р. Ро) < е,. Мы видим, что по форме это определение полностью совпадает с определением непрерывности для вещественнозначных функций (ср. с п. 19.2).
В случае, когда Š— плоское множество и, стало быть, его точки можно рассматривать как комплексные числа г, определение непрсрыв>юсти примет вид: функция Дг) непрерывна в точке г,~ Е, если для л>обого и > О су>цествует б = 6(е) > О, такое, чп> 1(г) — !(го) ! < е для всех г ~ Е, удовлетворяющих условию го! < б. Переносятся на комплекснозначиые функции и теоремы о том, что если две функции 1 и д, определенные на некотором множестве Е:Е", непрерывны в точке Ро(- Е, то и функции (+ (ц )й, а если п(Ро) ~ О, то и — непрерывны в этой точке.
а Из этой теоремы следует. например, что любой многочлен Р, (г) = ~~".', аи г' с комплексными коэффициентами а>о й =- О, 1, ..., и, и о непрерь>вен в любой точке го (ср. с п. 7.1). аав й 28. Некоторые со»декка о комплексных кислах и мноеоеленах 23.3.
Разложение многочленов иа множители Пусть Ро(х) = Л„х" + Л„1 х"-'+ ... + А, х+ А, (23.6) — многочлен с вещественными козффипиентами Ло 1 = О, 1, ..., п. Если А„=~ О, то число и называется степенью мнпгочлена. Число г (вообще говоря, комплексное), такое, что Р„(г) = О, называется корнем многочяена (23.6). Ил курса алгебры известно, что число г является корнем много- члена Р„(х) тогда н только тогда, когда многоч.псн Ра(х) лелится без остатка на х — г (теорема Безу).
Если многочлеп Р,(х) делится на (х — г)" (й — неотривательное нелое) и нслелптся на (х — г)»+',то число й называется крап»ностью корня г. Если й равно кратности корни г многочлена Р„(х), то Р„(х)=(х — г) Я, »(х), где Я, »(х) — такой многочпен степени и — и, что Я„»(г)+О.
Из курса алгебры известно также, что всякий многочлен (23.6) степени п можно прелставить, и притом единственным образом, в следуюшем ниле: Р„(х) = а„(х — г,)' (х — гх)» ... (х — г„)»е, (23.7) тле гм г„..., г, — различные корни многочлена (23.6), а числа lп являнтгся кратностями корней г;, с = 1, 2, ..., г. Из формулы (23.7) видно, что всякий многочлен степени и имеет г, точности и корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Если число г является корнем многочлена (23.6) с вещественными коэфсбнпнентами, то сопряженное число г также является его корнем и притом той нее кратности, что н г.
Дейстнительно, п)сть Р„(г) = О, т. е. Акга-)-Л, 1г ' +...+А,г+Л»=О, тогда, замечая, что О =О, имеем Лага+Ап — 1г" — '+ ...+А,г+Ао — — О, Отоода на основании свойств сопряженных комплексных чисел (см. нх свойства 4 и 5 п. 23.1) и того, что Л, =- А„( = О, 1, ..., п (иоо А, — вещественны), имеем А„г" +Л„|га '+ ...+А,г,+А„=О, аат га.З.
яозложение нногочленов но нножпгели т. е. Р„(г) =-О, что н означает, что г — корень многочлена (23.6). Покажем теперь, что кратность г и г совпадает. Если г =г (это условие означает, что г — вещественное число), то утверждение очевидно. Пусть г ~ г (г — существенно комплексное число) и пусть г является корнем многочлена (23.б) кратности а, тогда, как мы видели, (23.8) Р„(х) = (х — г) Р„1 (х), где Р„1(х) — многочлен степени и — Е Согласно доказанному, г также корень Рн(х), поэтому (г — г)Ро 1(г) =О, и так как г — г эь О, то Р, 1(г) =-О; отсюда следует, что много- член Р„~ (х) делится на (х — г), и поэтому Ро (х) = (х г) (х г) Рп — г (х) (Р„ г(х) — многочлен степени и — 2).
Поступая далее аналогичным образом с многочленом Рн г(х), через А щагов получим Ро (х) = (х — г) (х — г) Рп — гь (х), где Р„гн(г)чьб, а значит, и Р, гн(г)+О. Таким образом, действительно кратность корня г равна я. Отметим теперь, что произведение (х — г)(х — г) является много- членом второй степени с вещественными коэффициентами.
Действительно, пусть г = а + Ьй где а и Ь вЂ” вещественны. Тогда г = а — Ь(, и поэтому (х — г) (х — г) == (х — а — Ь() (х — а+ Ь() = (х — а)'+ Ь' =- = хг — 2ах+ а'+ Ьг = х'+ рх+ д, (23.9) где положено р =- — 2а и а=а'+ Р; очевидно, р и а — вещестр2 венны. Отметим, что прн Ь+ О всегда — — а < О. 4 Из сказанного следует, что если в разложении (23.7) многочлена Р„(х) сгруппировать попарно множители с сопряженными корнями зза й га Некоторые еиеттенин о коиклекенык чиелок и многоиленол и записать произведения типа (х — г)(х — г) в виде (23.9), то, учитывая, что кратность корней г и г одинакова, мы получим в результа! е формулу Р„(х) = =Л„(х — а )а ...(х — а,)о (хк+ртх+д )"т...(х'+р,х+д,)ие, (23.1О) где г $ 2 ~„а,+2~ 3!=а, л — д.(О„!=1, 2, ..., э, =1 т=! и все козф)!ипиенты Ато а„..., а,; р„е)„..., р„дл вещественны, При этом а„..., а„суть все вещественные корни многочлена Р„(х), а каждое!у существенно кокшлексному корню г и ему сопряженному корню г соответствует множитель вида х'+ рх+д=(х — г)(х — г).
Разложение многочлена на множители вида (23.10) единственно, ибо оно однозначно опредспяется корнями этого многочлена и их кратностями, 23А. Общий наибольщий делитель многочленов Пусть дан мпогочлен Р(х). Всякий многочлен Д(х), на который делится многочлен Р(х)„ Р (х) =- Р (х) г (х), (23.11) где г(х) — также мпогочлен, называется делителем многочлена Р(х).
Мы видели, что многочлсн Р(х) можно записать в виде Р(х) = =Л(х — а!)а ... (х — а,)о' (хк+ Р, х+ де)т' ... (хк+Р,х+д,)(!л, (23. 12) где а„..., а,— вещественные корни многочлена, а множители вида хк+ р, х+ т), соответству!от существенно колгплексным корням этого многочлена, 2 —,' — аг<(), )=-1,2,...,; коэффиписнты А, р, и д (! =1, 2, ..., з) — вещественны. Ото!ода следует, что всякии делитель И(х) многочлена Р(х) может быть записан в виде Р(х) = =В(х — а,)!'~ ...
(х — а,)к (х'+р,х+ !(,)н ... (хе ( р х 1 д )ит, (23.13) 339 3ЛЕ. Общий иаибозиишй деяитем мнагочленое где )чжао 1=1,2,...,г, р,.<~л )=1, 2,..., з. (23. 14) Действительно, никаких других множителей вида (23. 15) х — а и х +рх+д, р2 где а, р и д — вещественны и 4— — а ~ О, в разложении многочлена Л(х) быть не может, ибо, с одной стороны, многочлсп Кх), как всякий многочлен, может быть разложен на множители вила (23.15), с лругой стороны, из формулы (23.11) следует, что если в разложении К(х) на множители имеется множитель вида х — а, соответственно вида к' + рк + а, то х = а, соответственно корни трехчлена х' + рх + д, являются и корнямн мпогочлепа Р(х); поэтому указанные множители вхолят в разложение (23.12).
Неравенства (23.И) также очевидны: из той же формулы (23.11) следует, что кратность корпя многочлсна й(х) ие может превыщать кратности того же корня мпогочлена Р(к). Пуль теперь ланы лва многочлена Р(х) и Я(х). Всякий многочлсн, являющийся делителем как многочлена Р(х), так и многочлена ()(х), называется их оби(им делителем.
Общий делитель двух мпогочленов, который лелится на любой общий делитель этих мпогочлепов, называется их оби(им наибольигим делителем. Если миогочлены Р(х) и Я(х) записаны в виде (23.12): Р (х) = А' (х — а,) ' ...(х — а, ) ' (х'+ р1 + д~)Р' ... ... (х'+ р, х+ а., ) ', (~(х)=А" (х — а1) ' ... (х — а,-) '" (х'+р1 х+д1) ' ... ... (х~+р, х+ б,-) ', (23.16) (23Л7) т — ад (й = 1, 2, ..., г), х'+ р, х+ а, (1=- 1, 2, ..., 3) (23.18) входят как в разложение (23.1б), так н в разложение (23.17). то всякий их общий делитель Й(х) можно записать в виде (23.!3).
где множигели зпо д 29. Векогоиые сееденик о коынлекснык кислик и нногочленик Пусть индексы у коэффициентов множителей (23.18) в разложениях (23.16) и (23.17) равны соответственно гк, )г и (к,)г, тогда в силу неравенств (23.14) имеем е,к <а °, )к(а -, /г=-1, 2,...,г, р, ((),л, 1= 1, 2, ..., к (23. 19) Для того чтобы многочлен (23.13) был общим наибольшим делителем многочлснов Р(х) н г;г(х), необходимо и достаточно, чтобы показатели степени ).к, /г = 1, 2, ..., г, и р„( = 1, 2, ..., з, были максимал~ нымн из возможных, т. е., чтобы ),„= пп'п (а, сс -1, гг =. 1, 2, ..., г, гк! р,,=пап((), ()' 1 1 — 1 2 'г ггг (23.20) то а является корнем кратности а — 1 для многочлена Р'(х). Действительно, дифференцируя (23.2!), имеем Р'(х) = а(х — а)~ 'Р,(х)+(х — а) Р; (х) =(х — а)а 'Р,(х), Действительно, при выполнении этих условий многочлен К(х) будет общим делителем многочленов Р(х) и (;г(х) и будет делиться на любой многочлен вида (23.13), для которого выполнены условия (23.19), т.
е. Й(х) будет делиться на любой общий делитель много- членов Р(х) и Я(х). Из найденного вида общего делителя н, в частности, общего наи- большего делителя следует, во-первых, что общий ванбольший дели- тель двух многочленов не едннствен; однако два общих наиболь- ших делителя двух данных многочленов могут отличаться друг от друга лишь постоянным множителем(постоянную В в формуле(23.13) можно брать произвольной, не равной нулю); во-вторых, что общий наибольший делитель двух мпогочленов имеет степень, большую, чем любой их общий делитель, не являющийся общим наибольшим делителем. В качестве примера, полезного для дальнейшего, найдем общий наибольший делитель многочлена Р(х) и его производной Р'(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
