kudryavtsev1 (947411), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Пусть А и  — два плоских множества, Ас:Е х, Вс:.Е„',, и пуспсь функс(сся Р = Р(х, у, и, о) определена для (х, у) ~ А, (и, о) ~В. Функция ) называется равнолсерно стремящейся к нулю на лиюжестве А при (и, о) — с-(ив, ов), если для любого е) 0 существует такое 6=6(е) О, что для всех (и, о), удовлетворяющих условию у (и — ив)'+ (и — ов)' ~.
6, (и, о) + (ив, о„), и всех (х, у) ( А выпал яется условие ()(х, у, и, о)( е. Общее определение равномерного стремления функции к пределу будет дано в п. 39.4. Теорема 4. Пусть функция г=)(х, у) имеет непрерывные производные с,(х, у) и )„(х, у) на открытолс множестве 6~ Е'.
Тогда для ее приращения Лг сущ ствует такое представление Лг=)„(х, у)Лх+сх(х, у)Лу+ з,Лх+елЛу, что функции в =.- =е,,(х, у, Лх, Лу) й ел=- ел(л, у, Лх, Лу) равно. черно стоелсятся к нулю при р =- уеЛхл+ Лув — + 0 на любом замкнутом ограниченном лсножестве А с: 6. Д о к а з а т с л ь с т в о. Пусть А — некоторое ограниченное замкнутое мнохкество, лежащее в 6. Тогда замкнутые множества А и Е"~6 ис пересекаются, и так как А — ограничено, то с( — р(А, Е".6):> 0 (см. лемму 4 и. 18.2). Множесгво Аг = ((х, у): р ((х, у), А) -~ — ) 2 содержится в множестве 6 и является ограниченным замкнутьслс ьшожеством (см. лемму 6 и. 18.2). Пусть теперь р=- 1/еЛхв+Лу'( — —, тогда при (х„, ув) ~ А получим (см. (20.13)) (хе+О, Лх, у„+Лу) (:А,с, (хв, у„+О,Лу) ~ А,с, 2 2 и, следовательно, согласно формулам (20.14) имеем ) ес с ~ св (Р" 1в' ~в ) с ел ) ~~ св (Р' )л~ Авс 1 лl Тс где в правых частях неравенств стоят соответственно модули непрерывности функций )в и 1„.
Из непрерывности частных производных (в и („на ограниченном замкнутом множестве А,с следует, что 1ппьс(Р; ).; Ал)=-0 и Оспы(Р; )л; А„) =О. д ед. Частнвт прои»водные„дифферениируеиоств Поэтому для любого е ) 0 существует 6 = 6(е) > О, такое, что для всех р ( 6 выполняются неравенства сй(р; г; Ае)(е, се(р; ~»; Ае)(е. Поэтому для всех р(6 и всех (х„у„) ~ А справедливы неравенства ) е, ) ( е, ) еа ( С е. Это и означает равномерное стремление к нулю при р — О функций е, и еа на множестве А. Теорема доказана, Все определения и утверждения этого пункта переносятся и на случай функции у = 7(х), х = (х„ ....
хп), любого числа п переменных, определенной в некоторой окрестности точки хче>. Например, условие дифференцируемости в данной точке хча> в общем случае выглядит так: Лу=А,Лх,+...+АпЛхп+о(р), р — »0, (20.17) где р=1/ ~ М 6у=Их, - и) — 1( )"',", Г'), у Ьхе = х, — х)"', с = 1, 2, ..., л, причем в этом случае А, = ' , ( =. 1, 2, ..., сь д) (х( оц дх, Таким образом, если функция ) дифференцируемач то Дх) = )(х(о1)+ А,(х,— х) ')+ ... + А„(х„— хГ1)+ о(р), р — »О, (20.18) т. е. функция 1 в окрестности данной точки с точностьк до бесконечно малых более высокого порядка, чем р = 1 / ~'.(х — х("'), равна линейной функции"'>. Образно говоря, е' с 1 дифференцируемость функции в данной точке означает, что функция ) «почти линейнал в окрестности этой точки; точный смысл выражения «почти линейиа» заключается в формуле (20.18).
В случае, когда имеет место (20.17), линейная функция — Лх + ... + — Лхп л переменных Лхм ..., Лх (здесь вместе д((х) д((х) дх, дх„ М Фуикииа аида у == се+ем,-р ... +с„хп, сде с,— постояииые, иааы. ааются хинейныни фунннилни и переменных, или линейныни функчианв точки хС Е", Ю 8. Пиффоренчпооооное олоохноя функччо хич написано х) называется дифференииалом фонкцпи, или, подробнее, полным дифференциалом функции в данной точке х и обозначается с)7" (х): д)(х) дх , „ д)(х) д, (20.19) дх, дх Дифференциал, как и всякая линейная функция п переменных, определен на всем и-мерном пространстве Е". Таким образом, формула (20.19) имеет смысл для всех значений Дхь о = 1, 2, ..., и, в то время как формула (20.17) — только для тех, которые не выводят за область определения 4ункции ).
Переменные дх, называются также дифференциалами переменных х; и обозначаются дхь ) =- 1, 2,, и. В этих обозначениях дифференциал функции ) записывается в виде й)() дИх) й + + )( ) (20.20) дх, ' дхо Очевидно, что д)(х)=а)(х)+о(р) при р — ~0. Если же рассматривать дифференциал и прн изменении точки х = (х,), то он будет уже являться функцией от 2п переменных: х,, ...,х„,дх„, ...,дх,, Теоремы 1 — 4 настоящего параграфа очевидным образом обобщаются на функции и переменных, поэтому мы не будем приводить их формулировки. 20.3. Дифференцирование сложной функции Теорема б.
Пусть 4ункции 'х()) и у(0 одного переменного ) диф4еренцируемы в точке )о (иво, как мы знаем, эквивалентно сугцествоеанию у них производных в точке Г„слс и. 9.2) и пусть хо = х()о) уо у()о) Если Функция г =- )(х, у) диф4ерениируелса в точке (х„у,), то в некоторой окрестности пючки )о имеет смысл суперпозиция )(х(У)„у(~)), слолсная функция х = Кх()), у())) в точке )о о)х имеет проижодную д) и в ваоой точке Е Ж "+дхФ, (29.21) д) дх Ф ду д) или, подробнее, д)(хно) УЮ) д)(хо ° Уо) дх()о) 1 д)(хо, уо) ду(~а) д) ох Ф ду э 20.
чиетнме нроиеводнме. Лнфференииррельоеть Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу днфреренцируемости функции 7(х, у) в точке (х„у,) она определена в некоторой окрестаости этой точки. Из дифференцируемости же функций х(г) и у(л) следует их непрерывность в точке ! . Поэтому, согласно замечанщо к теореме 2 в и. 19.3, в некоторой окрестности точки гь определена сложная фушьцня !(х(Е) У(г)).
Дифференцируемость функции г — '7(х У) чает, что ее полное приращение Л = !'(хь+ Лх, у + Лу) — ! (х„уе) представимо в виде Лг = — Лх + — Лу+ е уеЛхе+ Лу', (20.22) дх ду где функция е=-е(Лх, Лу) такова, что !пп е(Лх, Лу)=-0. р-о Здесь, как обычно, р= улЛх'+ Лу'. Доопределим функцию в (Лх, Лу) в точке (О, 0), положив в(0, 0)=--0 (ср.
с доказательством теоремы 6 в и. 9.7). Так доопределенная функция е(Лх, Лу) является непрерывной в точке (О, 0). Пусть теперь Лг — приращение переменной ! н Лх = х(ль+ Лл) — х(!ь), ЛУ = у (ге+ Л!) — У (Гь). Разделим обе части равенства (20.22) на Лм При Л! — «О в силу непрерывности функции х(Г) и у(Г) в точке гь получим Лх-ьО и Лу-+-О, а значит, и )нп р=0. Отсюда ал о по теореме о суперпозиции непрерывных функций (см. п.
19.3) !! гп в (Лх, Лу) = О. ал-о Далее, / +~ / = т х ("о)+У (ль). аь.и $лл ~ал/ ~аС/ Из всего этого следует, что при Лг-~-0 правая часть формулы дг дх дг ду (20.23) стремится к конечному пределу — — + — — (г = г ), ду дл е Ьг поэтому и левая часть этой формулы т. е. — — стремится к тому э йл 20Л Диффаренчироаиние с.южной функхии же пределу, а зто и означает, что в точке /в существует произв» водная — — н вырнгкается формулой (20.21).
й/ '(еорема доказана. Отметим, что, хоти в окончательную формулу производной сложд. дг ной функции (20.21) входят только частные производные — ив дх ду фупкпии г = /(х, у), по ходу доказательства существенно использовалось более сильное свойство этой функции, чем существование частных производных, а именно се днфференцируемость. У и р а ж н е н н е 1. Показатгь что прн отказе от требования дяфференцнруемостн функции х = / (х, у), а лишь прн предположения существования д» дг частных производных — н в точке(х, уз) н сук.сствованнн нронзввдных д оу йх ду — и '. а»очко /з формула (2б.гзн вообще говоря, не нмеез места п, более той/ си го, сложная функцня /(х(/), у(/)) (предполагается, конечно, что она имеет смысл), вообще говоря, могкст не нметь пронзводноа в точке бе С л е д с т в н е.
Пусгпь теперь функции х = х(и, о), у = у(и, о) определены и неконюрой всрелтпносгтги »почки (иь, оч), и функция г = /(х, у) определена в некоторой окрестности пыжики (х„, уз), еде хв = х(и„оз), у, =- (ив, о,), и и некоторой окристносл|и гпочкп (и„, св) имеет слихсл суперпозиг(ия /(хрг, с), у (и, о)). Если функция /(х, у) дифференцируеуяа в точке (х„, у„) и дх ду суи(ествуют час»нные производные — и — в точке (и ь о ), то ди ди ' ' г О дг в точке (иа, о„) суи(ествуегл чистная производная —. слодсной ди функции г=/(х(и, и), у(и, о)). Фиксируя о =- о„и рассматривая сложну1о фуикцвю г — /(х(и, о„), у(и, йи)) одного переменного и, согласно формуле дг (20.2!), получим, что производная —., в точке (иш и ) существует и выражается по формуле дг дг дх ог ду (20.24) — — — —.+ —— ди дх ди ду ди Аналогично, если в точке (и„, и,) существу1от частные производдх ду ные — и —, то у сложной срункцин г =- /(х(и, о), у(и.
и)) существует ди ди' В ео. Уносные нронееодные. Тгнфференцнруеноогь в точке (исн о,) частная производная по о и для нее имеет место фор- мула де де дх де ду — +— до дк до ду до (20.25) 20.4. Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных. Правила вычисления дифференциалов Теорема б. Пусть функция )(х), х=(х„..., х„), определена в некоторой окресгпноспги п очки х<о> =- (х<го>, .... х<о>), а г)гункции хг —— хг(г), 1=(с, ..., <к), != 1, 2,, п, определены внекотороа окресгпносош ггючгси 1 (г ! ь ".
сь ) и пусгпь х' хг (г )ь <=-1, 2, ..., и. Тогда, если функция 1" (х) дифференцируелга в точке х<">, а функции к!=-хг(1), 1= 1, 2, ..., и, дифференцируемы в с>гонке (<о>, то сложная функция г(х(1)) == г' (х,(1), ..., х„(1)) определена в некоторой окрестности точки Ро> и дифференцирцема в втой с!гонке. При этол! дшрференг<иал сЦ функции >'(х(1)) в точке г~ ' может быть записан в следуюи<их двух видах: (20.27) й)= у — — — йхь где йхг = йхг(<)>г .г<о>. ~с~ д>(х<'>>) х! г 1 (20.28) Следствие доказано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
