kudryavtsev1 (947411), страница 47
Текст из файла (страница 47)
«ГаГ Определение 5. Если множество Е, является прямой (см. п, 18.2), проходящей через точку хги' в некотором направлении, то в зпюм случае предел функции г' по множеству Е, при х- хгм называется пределом функции в данном направлении в точке хг ю. Определение б. Если множество Е, является множеством точек некоторой кривой, проходящей через точку хгь>, то в углом случае пРедел фУнкции )' по множеапвУ Еь пРи х-» хгю называегггсн пРеделом функци л апо данной кривой в точке х'м. Очевидно, что если у функции г существует предел в точке х„ то он существует в этой точке и по любому направлению и по любой кривой, причем все эти пределы совпадают с указанным пределом функции. кар Пример.
Пусть !(х, у) = —,, Эта формула задает функцию во всех точках плоскости, кроме начала координат (О, 0). Исследуем пределы этой функции по различным направлениям в точке (О, 0). Уравнение прямой, проходящей через начало координат (О, О) в направлении вектора (а, р), имеет вид х= а1, у = рг, а'+ б»> О. Имеем 1(а(, (1«) = —...
— 0 при ! — О, а"бг т. е. предел по любому кап!гавлениго существует и равен нулю. Если же у=х«, то ! )(х, х»)= — —, 2 ' и, значит, предел вдоль параболы у х' также существует, но ра! вен —. 2' й >9 Предел и непрерывность к)ганкин!> лногих иереаенных ху хх.(- ух Аналогично случаю функций одного переменного для пределов функций многих переменных по множеству имеют место соответствующие теоремы о пределах сума>ы, произведения и частного, так нан в силу приведенного выше определения предел функции и переменных по множеству также сводится н понятию предела последовательности (см. и. 4.0). Наряду с указанными пределами у функций многих переменных можно рассматривать н пределы других видов, связанные с последовательным переходом к пределу, например по различным координатам, т.
е. пределы вида )пп Игп ... И>п )> (х„..., хн), н> !"> !'> х! -ах!, кп„-к к;, х! -кх! п х где (>и !',, ..., >„) — некоторая перестановка чисел 1,2,..., и, х!о> = (х!!">) ~ Еа и функция / определена в некоторой окрестности точки х>">, кроме, быть может, самой этой точки.
Пределы указанного вида называются повторны.ии пределами; опи представляют собой специфику функций многих переменных. Рассмотрим функцию 1(х, у) = хз!и — + уяп —, если х+О и у+О, 1 . 1 у х ' О. если х=О или у=О, определенную на всей плоскости. Исследуем различные ее 1РЕДЕЛЫ.
Очевидно, !нп ) (х, у) =- О. Что же касается повторных !х, у> !о, о> >РЕдЕЛОВ ! .. 11 . Г.. 1 .. 11 1цп~!1п> хяп — + 1нпуяп — ~ и 1пп ~1ппхяп — -1- Иглу яп — ~, оГк- о у х о х о~у о у у. о ;о они не существуют, так как ухсе не существуют И>п уяп — (у+ 0) и 1нп хяп — (х+ 0).
1 1 «-«О у о у Таких> образом, для рассмотренной функции существует один и тот же предел по л>обому направленшо, а предел по указанной параболе, хотя и существует, отличен от общего значения пределов по направлениям, тем самым просто предел в точке (О, 0) не существует. У и р а >в и е и и е 3. Исследовать пределы по направлению в точке (О, 0) фуикпив 2аэ /9.Л Предел Функции Для функции же 1(х, у)= —,,—;, определенной этой формух1' лой на всей плоскости, кроме начала координат, оба повторных предела существуют и !нп Игп 1(х, у) = Игп Ищ !(х, у) = О.
о у-о у-о о Просто же предела нет„ибо, как легко видеть, предел вдоль координатных осей равен нулю, а вдоль прямой у = х предел 1 равен — . 2 ' Таким образом, только из существования предела функции в данной точке не следует существования повторных пределов в этой точке, и наоборот, из существования повторных пределов не следует существования предела в соответству(ощей точке. Тем не менее, определенная связь между этими понятиями может быть установлена.
Теорема 1. Пусть Функция )(х, у) определена на л(ножестве Е, содержа(цем все точки некоторой прямоугольной окрес(пнос(пи Р((хо, Уо)' бы ба) точки (х„уо), кроме, бьапь люжет, тенек пряных "= хо и У = Уо. Если существуегп предел Функции !" в (почке (х, у„) по мноохеству Е и если при любом у б (Уо — бм Уо + ба) У чь Уо суп(рствует предел"'> (19.1) !нп )(х, у)=-д(у), «к, то повторньа! предел !цп !пп !(х, у) существует и у у„к-+»„ Игп Ищ 1(х, у)=- 1нп )(х, у). (19.2) у у«к к«(«,у( (к,, у«), (к, ужс Доказательство.
Пусть !нп !(х, у) =. А и пусть (.У> (ке,У«1, (к, У(ЕЕ фиксировано произвольное и у О. Сушествует прямоугольная окрестность Р = Р ((хм у); (!(, т(о), 0 <" тИ " бы О ( тИ ~ б„такая, что если 0(!х — хо )(т((, 0(! у — уо ! к' Чо, то ! ! (х, у) — А ! ( -'- . (19.3) В силу существования предела (19.1) для любого числа у такого, что 0(1У вЂ” уо! т(„из (19.3) следует, что !й(У) — А ~ < 2 к' в, а это и означает, что ! нп а (у) =- А. у у Теорема доказана.
«1 Как всегда, под пределами понимаготси конечные пределы. 270 э лд Г!редел в неврепивносгь фин«ива яноги«вепеяеннн« Как и для случая функций одной переменной, для функций г(х) многих переменных можно определить предел !пп /(х), т. е. предел, к когда точка х = (х;) неограниченно удаляется от начала координат, иначе говоря, когда ) х,' + ... + х, — +оо, а также предел по одной пз переменных х; при условии х;- оо и повторный предел по переменным хл -оо и х, — оо (1, 1 = 1, 2,..., и).
Отметим, что и в этом случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 1. Л!ажно ввести и понятие бесконечных пределов. Мы всего этого делать не будем, предоставляя это проделывать учащемуся по мере потребности. 3 а и е ч а и и е. В дальнейшем будут рассматриваться суперпазицип функций многих переменных. Для сложных функций многих переменных справедлив аналог правила замены переменного для пределов функций, установленного ранее для функций одного переменнога (см.
и. 4.5). Его формулировку и доказательство (также аналогичное одномерному случаю) мы предоставляем читателю. 19.2. Непрерывность функций Определение 7. Пусгпь функция )определена на ьлнтаестве Е<:Е'". Ф1гнкция / называегпся непрерывной в точке х~м~с Е, если для любого е > О суицествуепл такое 6 = 6(е), ппо для всех х ~ Е, удовлетворяющих условию р(х, х'М) <" 6, выполняется неравенство !)(х) — Р(х'"') 1( . (19.4) Заметили что это определение в случае и = 1 шире соответствующего определения непрерывности, данного в п.
5,1, так как мы здесь не предполагаем, что функция 1 определена обязательно в некоторой окрестности точки хпп Определение непрерывности (в отличие от сформулированного в п. 19.! определения предела) не предполагает и тога, что точка х~ь~ является пределыюй для множества Е. Точка хю~ мажет быть и изолированной; прп этом в изолированной точке множества Е функция 1 всегда непрерывна, ибо в этом случае в качестве 6> О, участвующего в определении непрерывности, всегда можно взять такое 6, что окрестность 0(х~в~; 6) не содержит других точек множества Е, кроме самой точки х<в>, а для точки х = хю'условие(19.4),очевидно, выполняется прп любом е > О.
Если же точка х<в> является предельной для множества Е, то данное определение непрерывности функции 1 в точке х~в1 эквивалентно условию (19.5) !пп Г(х)=1(хпп), «лвл. «в е 79.а Неиреривноть функций 37> Из сказанного следует, что если функция <, определенная на лн>ожестве Е, непрерывна в точке х<о> ~ ~Е, го либо х<о> является предельной точкой множества Е и тогда выполняется условие (19.5), либо х<'> является изолированной точкой.
Если в равенстве (19.5) перенести 1(х<о>) в левую часть и обозначить Лу = 7 (х) — 7 (х<о>), то условие (19.5) перепишется в виде (19.б) Иш Лу=-О. р(ь к<о> ) "~о, ~ в е Число Лу называется приращением функции в точке х<о>, соответствующим изменению аргумента от точки х = <х< > до точ<о> «о>> ки х = (х,). >вк как р (х, х<о>) = 'г'Лх>+ ... +Лх„', где Лх<=х,— х<«"', = 1, 2, ..., и, то непрерывность функции! в точке х<м означает, что ее приращение Лу в этой точке стремится к нулю, когда приращения Лх, всех ее аргументов стремятся к нулю. Лемма (о сохранении знака). Если функция 7" определена на множестве Ег:Е' и непрерывна в точке х<о> ~ Е, причем 7(х<о>)+ О, то существует окрестность 0(х<щ) а<очки х<о>, такая, что з!йп)(х)=з!дп~(х<о>) для всех х(0(х<о>) ->Е.
Доказательство. Найдем, например, сферическую окрестность, для которой выполняется указанное свойство. Пусть е = ) 7(х<о>) ~, тогда в силу непрерывности существует такое 6) О, что ))(х) — 7(х<о>)!()~(х<о>)~ для всех х~О(х<о>; 6), т. е. 7(х<о>) — ! ~(х<о>) ! ( ~(х) (7 (х<о>)+ < > (х<о>) ~ х ~ О (х<о> 6). Если ~(х<о>))0, то ~(х<о>) — $7(х<о>)$=0, и поэтол>у 7(х))0, если же 7(х<о>)( О, то ~< (х<о>)<+> (х<о>)=0, и поэтому > (х)(0 при х~<)(х<от; 6)>. Е. Лемма доказана: Совершенно аналогично случаю и = 1 доказывается, что если функции 7 н а непрерывны в точке х<о> множества Е, то функции ~+9, с((с — постоянная), (й, а еслий(х<о>)чьО, то и — также непрерывны в точке х<'>.
р >й Предел и ненрерыеноста Функций многих перел>иннах 19.3. Непрерывность суперпозиции непрерь>иных функций Пусть на некотором множестве Е,с=Е' задана система и функций гр, (г), тра(г), ..., ц>, ((), > = (По ..., >а) ( Ен и пусть на некотором мио>ксстпеЕис:Е" задана функция >(х), х=(х,,..., хн)' Е„. Если (ц > (>), ф, ((), ..., три(>)) ~ Е„для любой точки г ~ Ер то имеет смысл говорить о сложной функ п,пи 1(ц'„..., ц>„), т. е.
функции, стаипцей а соответствие каждой точке 1 ~ Е, число )(<Р>(~), ..., ц>„0)). ц>УнкциЯ ((ц>,..., фп) называечсп также сУпеупозицией функций ( и фт, ..., >р„. Теорема 2. Оус>яь ил>еет смысл сложнан функция 1(т> „..., тр„). Если функции тр„..., ц„неирерыаны е ни>ч>ге г>о> (= Е, ~ Ех, а функция) неирерыана стопке х>а>=(ц>(И>), ..., ц>„(>>о>))Г Е,~Е", то слозхнан функция Дц~„... ц1,) непрерыена е точке Н >. Доказательство. В силу непрерывности функции> а точке х>ь>=»(х>»", ..., хю>) для любого а~О существует 9=>1(е) > О, такое„ что (19.7) для всех точек х ~ Р(х<ь>; >1) - Е.'>, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
