kudryavtsev1 (947411), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Совокупность всех граничных точек лтножества Е называется его границей и обозначается дЕ. Очевидно, дЕс: Е. С другой стороны, каждая точка прикосновения множества Е является либо его граничной точкой, либо его внутренней точкой— других возможностей нет; поэтому Е =Е дЕ. !В.2. Различные гопы множеств Если 6 открытое множесгво, то в сумме слагаемые 6 н д6 не пересекаются. Действительно, поскольку множество 6 открыто, то всякая его точка является внутренней и тем самым не при надлежит его границе Расслютрилг примеры.
Пусть и =2, Яз =((хы хх): х';+ хз(1)— открытый круг. Если Е = 1~', то любая точка окружности 5" = = ((хы хз): х1 + хз = 1) является граничной точкой множества Е н других граничных точек нет, т. е. 5г = дЕ. В этом случае граница не принадлежит множеству Е. Если Е = ф — замкнутый круг, то снова окружность 5х является границей Е, причем в этом случае дЕ~ Е. Наконец, если Е = 5' — окружность, то каждая точка мно. жества Е является его граничной точкой н других граничных точек пет, т. е.
в этом случае Е = дЕ. Вообще, (и — 1)-мерная сфера (18.22) является границей как и-мерного открытого шара (18.20), так и замкнутого (18.21), а также совпадает со своей собственной границей (почему?). У п р а ж и е и и я. 4. Дая того чтобы маожссгво Аг:.
Е" было замкиугым, необходимо и достаточио„чтобы ВАс:А. б. Доказать, что, каковы бы ии были миожсства ьЗ ~ Е" и миожество а их индексов Я= (сг), справедливы формулы Е ~() О =П(Е~,Е„), гаем аехг Е ", П 0 = () (Е,0 ). аел аеч1 б Доказать, что псресечеиие коиечиого числа и сумма люоой системы открытых миохгеств снова является открытым мяо>кссгвом, а также что пересечение любой системы и сумма коаечиого числа замкнутых миожсств является замкиутыл~ миожсством. Для дальнейшего нам понадобится еще понятие кривой в и-мерном пространстве. Для этой цели обобщил~ данное выше определение кривой в трехмерном пространстве, не касаясь вопроса о преобразовании параметра.
Определение 22. Геометрическое место елочек х = (х,) простран. ства Е" координаты которых заданы как непрерсчвные функции х, = х,(1), 1 = 1, 2,..., и, определенные на некотором отрезке (а, Ы, назььаепшя непрерывной кривой в пространсгпве Е". Аргумент 1 называется параметром кривой. Точка х(а) = (х,(а)) называетсв началом, а пючка х(Ь) = (х;(д)) — концом данной кривой. В ?В.
?т1ножестпп нп плоскости и в пдпстдпнстве Все сказанное в п. !6.1 о кривой в трехмерном пространстве ьиожтю естественным образом перенести и на общий и-мерный случай, но мы не будем на этом останавливаться. Определение 23. ??усть хть' = (х,'-"') ~ Е" и схм ..., а„— некоторые фиксированные числа.
Геометрическое место точек х =-(х,) пространсп|ва Е", коордттнаты которых представлены в виде хт= х;"'+ит1, — оо(1(+со, «=1, 2, ..., и, называется прямой в пространстве Е", проходяи)ей через точтсу х<ь~ в «напраоленииь (а„..., сг„). Часть прямой, соответствующая изменению параметра 1 в некотором отрезке [а, Ц, называется прямолинейньтлс отрезком, а ее часть, соответствующая изменению параметра 1 на бесконечном промежутке1 =- а, — лучом. Очевидно, что в случае и =3 получается прямая, соответственно отрезок или луч„в обычном трехмерном пространстве.
а (а„а,, а,) будет являться направляющим вектором этой прямой. Если заданы две точки (х,'.) и (х',.'), то уравнение прямой, проходягцей через эти точъи имеет вид х,=х,+(хс — х,'.)1. — оь(1«+по, с=1, 2,..., и. Определение 24. Множество Е~Е", любые две лючки которого можно соединить в нем непрерывной кривой, называется связным. Иначе говоря, множество Е называется связным, если, каковы бы ни были точки х<н~Е и х<М~Е, существует непрерывная кривая х(1)=-(хт(1); а «. 1 <?т), такая, что ее началом является точка хм1, т. е. х(а)=-х'и, концом — точка хы~, г.
е, х(?т)=-хки и асе точки этой кривой принадлежат множеству Е, т. е. х(1)~ Е для всех 1(1а, Ь). Примером связных множеств являются точка, отрезок. Примером несвязного множества — пара различных точек. Определение 25. Открытое связное множество нозываепия обложные. Рассмотрим примеры. В случае и = 1 всякий интервал является областью, а множество, состоящее из двух или более непересекающихся интервалон (рис. 69), хотя и есть открытое множество, но не является областью. В случае и =- 2 всякий открытый круг есть область, а множество, состоящее из двух или более непересекающихся открытых <8.2 Роалонныс тоны множеств кру<ов <рис.
70), хоти и есть открытое множество, областью, так как две точки х и у, принадлежащие нельзя соединить непрерывной кривой, оставаясь внутри рассматриваемого множества. / < но пе является разным кругам, м / 1 1 м Рос. 69 Рос. 70 й 19. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Вэтом параграфе рассматриваются вецественпые функции, определенные на множествах и-мерного евклидова пространства Е', значениями которых являются вещественные числа. Зти функции обозначаются одним символом, например 1, или, указывая аргумент, 1(х) или)(хт,..., хв).
При и >1 эти функции Всякий и-мерный открытый шар является областькь Определение 26. Облас««<ь, любие дое пшики коп«арой' ли<жно соединить отрезком, целиком в ней лежащим, наэываеп<ся выпуклой областью. Всяки"< п-мерный открытый шар является выпуклой областью. У п р а и< и е и и е 7. Построить пример иеиыиуклой области. Определение 27. <11ноэхестоо, лежа<цее в просп<ранстве Е" и «<вляющееся замыканием некопюрой области, назь<ваеп<ся эил<кнутай областью.
Замкнутый и-мерный шар является замкнутой областью. Лемма 7. Если связное мноэхес<пво пересекается с некоторым мноэхесп«вом и гго дополнением, то оно пересекается и с границей этого множества. Доказательство. Пусть А — связное множество, А~Е",  — некоторое множество, В с Е", и пусть пересечения А гьВ и Аг (Ен' В) не пусть<. Пусть х1-А«В и у~А«-т(Е"ь В).
Поскольку А — связное множество, то сун<ествует такая непрерывная кривая г(1), а (1~(Ь, что «(а) = х, «(Ь)= у и г(1)~А для всех 1 ~ (а, Ьй Обозначим через т верхнюю грань тех 1 ~ (а, Ь), для которых «(1)(-В. Очевидно, а <т с. Ь. В любой окрестности точки г(т) содержатся как точки, принадлежащие В, так и не принадлежащие В (почемур). Следовательно, г(т)~дВ.
Поскольку г(т) е<А, то пересечение дВ гтА не пусто. Лемма доказана. в Ей Предел и непрерывность функчаа л>пегих пере«!еннык называются функциями многих переменных. В случае и = 2 вместо /(х„хг) будем писать также /(х, у), в случае п = 3 вместо /(х„хв) — также /(х, у, г). 1 9.1. Предел функции Определение 1. Пусть на множестве Е просгпранства Е' определена функция у = /(х) и пусгпь Е'„+' — (п+ 1)- черное евклидова пространство п>очек (х, у) =- (хт,..., х„, у). Геол>егприческое л>ее>по пицек пространства Е"," види (х, /(х)), еде х~ Е, называется графиком функции / (рис, >1).
Перейдем теперь и определению предела функции. Определение 2. Пусть функция / определена на множестве Ес.:Ел', пусть Е, — некоторое подмножещпьо множест!а Е и пусть точка х'"' — предельная точка множесл>ва Ее. Число а называется пределом функции / по множеству Е, при х, с>премящемся к х>т, если для любой последоеательности точек х< >~Е„>я=1, 2,..., >покой, ипо !!гй х!'"> = х<е>, числовая последовательность (/(хьв>)) сходит! ся к числу а: ! ! ! ! Пгп /(х<ы>) = а. ! ! !и-« е хг Е етом случае будел! писать !!и> /(х) = а.
г! ««„>о>, «ев, При сделанных предположениях Рнс. 7! можно дать и другое, эквивалентное прель>ду>де>лу определение функции по анаяогии с тем, нан это было сделано раньше для функций одного переменного (см. п. 4.4 и 4.6). Определение 3. Число а называется пределом функции / по иножес>пву Е, при х- хге» ", если для любого е ) О существует 5 = 6(е))О, такое, что !/(х) — а!(е для любой точки и ~ О(х>с>.
б) Е, чь Совершенно аналогично случаю функций одного переменного >оказывается эквивалентность этих двух определений. У п р а ж н е н и я. !. Доиааатьанвивалентностьдвух прнвсденныхопре>елений предела функции по множеству. й. Сформулировать и допевать критерий Коши существования предела пп / (х) по множеству Ес= Е". „„«!«>, «ее «> Кан и выше, мы предполагаем, что точна х! > является предельной точ- >ой множества Ее, содержащегося в множестве определения фувицнн /.
Ю.б Предел функции Иногда вместо «предел функции прн х, стремящемся к хгм», будем говорить «предел функции в точке х'"г». Запись х-» хгм будем считать равносильной записи р(х, хггп)- О, и потому наряду с обозначением 1Ьп 1(х) будем писать также а-ак(ап «Е еа !пп ) (х). р(к, кон)-аь, аее„ Определение 4. Если функг!ия ! (х) определена в некопюрой окрестности 0(хщг; б) точки хгиг, кроме„быть может, самой пгочки, х<ьг, то в етом слуагае предел функции !' по зиножеству Е,=О(х(м; б) при х — хои назыеаегися просто пределом функции и обозначается !пп 1(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
