kudryavtsev1 (947411), страница 41
Текст из файла (страница 41)
54). Следовательно, переменную длину ее дуги можно принять за параметр. Найдем соответствующее представление. ! Согласно формуле (16.11), имеем -г— — х +у™+х =' 1'и +Ь ° б! Окюда Х 'е нт ! Рис 54 «!5 ро +Ь« н, следовательно, г'= * . Поэтому искомое представление ~/«1!ь имеет внд х(з)=асов, ° У(а)д пз(п — —, ' а(а) р, . )аозт.р б« ' ' ргоз .р ал $'о«+ б« О < а< Т)lа'+ Ь'. У п р а ж н е н и е 4.
доказать, что для спрямляемой кривой без точек самопересечепия переменная длина дуги является непрерывной строго моиотонгюй фуакиией параметра а 16.4. Плоские кривые Пусть Г = (г(4); п~!<Ь) — непрерывно дифференцируемая плоская кривая, лежащая в плоскости хОу: гИ = (х(!), у(4)). и пусть з = з(г) — переменная длина дуги кривой Г; для ее производной из формул (16.11) и (16. 12) получаем (16.18) где знак «+» берется, если длина дуги з(!) отсчитывается от начальной точки г(а) кривой, н знак « †», если от конечной точки г(Ь). д сд. Длисси дуги кривой газ Из формулы (16.18) для дифференциала дуги получаем выражение с!3' =- с!х'+ с(у».
(16.19) н, значит„ с[а= ~ У!+у'дх. Рассмотрим геометрический смысл формулы (16.19) в случае, когда Г является графиком непрерывно дифференцируемой функ- ции у = /(х), а:., х«. Ь, и длина дуги кривой отсчитывается от начальной точки кривой (рис. 65). Пусть х, Г [а, Ь), хо+ с[х ~ [а, Ь), уо = с(хо). Мо = (х уо) У у„+ с«у = — 1(~,+д~), М = у +й у и = — (хо+ с[х, у, + ау), Мо!«'— о касательная в точке Мои РМ вЂ” приращение функции в 03 точке х, + с(х, РК вЂ” приращев а ние ординаты касательной в тачке х„+ с[х. Треугольник М«Л'г прямоугольный; очевидно М»Р =- с[х, Р!т' == с(у, пазтом) о х, х,+ух х М й(»...М Рз ! Ро!2 = с[х»+ с(у» == с!3«, рис. Бд т. е.
длина отрезка касательной М»Л' равна с[з. Иначе говоря, получим главную часть приращения длины дуги М»М, если заменим ее приращением длины касательной в тачке Мои Любопытно отметить,что получаетсн правильная формула(!6.19), если, совершая некоторые ошибки, применить к «криволинейному прямоугольнолсч треугольнику» М»МР теорему Пифагора: М«М» = М,Р'+ РМ, считая при атом, то его «сторона М,М» равна с[з, а не Ъ, как на самом деле, а старояа РМ ранна с!у, а не ее истинному значению Лу. В данном случае одни ошибки комише ;ируют другие и в результате получается правильный результат.
Если теперь на кривой Г в качестве параметра взята переменная алина дуги и: Г = (г(з); 0-.. 3 - 5~ ), то, согласно (!6.17), сси йу . и — — саз а, - —. --. соз [! --. зш ц, а -!. [) — = — ', (16.20) и'и с!«3 В случае, если кривая Г является графиком непрерывно дифференцируемой функции у = /(х), формула (16.18) превращается в формулу — "' =.(- ~'1+у", 233 !6 6. Фивинегииу гни гл в рппввпднпа венгг р-4ункнии гас (рпс.
56)а — угол, образованный касательной с осью Ох, а р— с оськ> Оу Отметим, что этн формулы могу~ быть получены применением к екриволпнейному прямоугольнику» М,МР (см. рнс. 55) формул, выражаюших свпус н косинус углов обычного прямоугольного треугольника через его ка~еты н гнпотенузу, считая, как н выше, стороны указанного «тре- Риг. 66 угольника» М„МР равными соответственно г(х, г(у, г(з.
Подобное обстоятельство имеет место н для пространственных формул (16.17). Такой метод получения формул (16.!7) и (16.20) является, конечно, необоснованным, однако он облегчает их запоминание. 16.5. Физический смысл производной вектор-функции Пусть теперь годограф Г непрерывно дифференцируемой зектор-функции г(г) есть траектория двнжушейся материальной точки, а параметр à — время движения.
Обозначим переменнуюдлину туги, отсчитываемую от некоторой начальной точки г(гв), через ; = З(Г). ПуетЬ С > Гв; ПОЛатая Ъ = 6(1+ ЛГ) — З(~), СОГЛаСНО (16.11), полу чим дг и е. длина вектора — совпадает с величиной скорости в рассмат- Л зиваемой точке(см. п. 9.4); сам же нектор „—, как мы знаем (см. ~Ь' ь 16.2), направлен по касательной. Вектор — называется в этом гп :лучае скорорглаю движения в данной точке и обозначается еи 17.
Кривизна вровол й !т. кРиВизнА кРиВОЙ 17.!. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие скорости Лемма !. Пусть вектор-функция г(1), определенная на отрезке (а, И, в пючке 1о( (а, И имеет производную г'(1 ). Тогда, если длина векгиора г(О постоянна на (а, И, т. е. !г(1)! = с для всех 1( !а, И, гпо векпюр г'(1о) ортогонален векгпору г(1о), т. е. г'(1о) г(1о) = О.
(17.1) До к а з а тел ь с т в о. По условию !г(1)!' = со, отсюда и г" (1) =- со ллЯ всех 1 Сс (а, И. Вычислнв пРонзвоДпУю фУнкции го(1) в точке г„получим (см. п. 15.2) 2г(1о) г (1о) =О откуда и следует (17.!) Лемма доказана. Физическая интерпретация этой леммы состоит в том, что у материальной точки, движущейся так, что она все время остается на поверхности сферы, ее скорость направлена по касательной к этой сфере и, следовательно, перпендикулярна радиус-вектору. Пусть теперь вектор-функция г(1) определена на отрезке (а, Ь), 1, ((а, Ь), 1, + Ы < (а, И и Л~р — угол между векторами г(1) и г(1о+ Л1). Будем считать, что Л<р > О при Л1 > О и Лф < О при Л1 < О.
Таким образом, всегда — > О. Определение 1. 17редел !!па — ',' если он сущеппвует, начьгваеп1ся Ле. м-о А1 скоростью вращения веюиор-функции г(О в точке 1, и обозначаепия го(1о г) Лемма 2. Пусть вектор функция г(1) определена на отрезке (а, Ь! и пусть ! г(1) ! = 1 для всех 1( (а, И. Тогда, если в точке 1 ( !а, И суи!еспмует произгодная г'(1о), то в впкй точке существует искоросагь вращения го = го(1о, г) рассмагпривпемой вектор-функции и ( вг Доказательство. Пусть 1о((а, И, 1,+ Ыо((а, И, Л1„+О, й = 1, 2, ..., !пп Л1, = О и пусть Л<р„— угол между векторами Г(1,) И Г(го + Л1„).
ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ (Л1„) РаэпбЬЕМ На ДВЕ ЧаСтИ (одна из которых может оказаться пустой), отнеся к первой из них все такие Ыо, для которых йро = О, а ко второй все остальные т. е. такие Л1о, для которых Л~ъ+ О. Перенумеровав элементы этих частей в порядке возрастания их индексов в последователь- 236 1К1 1(во вемллм г (1» + а1») — г !1о) г'(1о) = И из, = О. » с Л1 Итак, Игп —,—.-!г (1»)!.
ат» ы » (17.2) Рассмотрим теперь последовательпосгь ( л!';). Поскольку !г(1о) 1 =!г(1»+ Лг») ! =1, то ! г (1,) х г (1, + й",) ~ = ! г (1») !! г (1, + Л1;;) ~ ) эш Л~р„! = ! з(п бог", ~. В силу непрерывности фуикпии г(1) имеелл Илп Л э" = О »- Используя это„получим ля~ ! ЬЧу ! ! Л(7» ~ ! »1о ЛЧ» Игп — „= Ипз~ —.' ~ =-1пп — . Ипл » ю У»» а Л1»» ~ л!йлф»»-о Ы„ ! г Ыо! Х г (1, -1- Ь1») ) =Иш ! л1»! (1 7.З) Но г(1,+б1)=г(1„)+Г(го) Ж+е(Л!) Л1, где!Ип!е(Л1) !=О.
Пода~-о ставляя это выражение в (17.3) и замечая, что г(1„)хг(1»)=-О н что 1пп!г(1о)хе(Ж)!=О, получим ал-о Иш — „" = ! г(1о)хг'(1о)! = ! г(1о)(! г'(1 )! з!п(гг'). Л1 В силу леммы 1, г(1о)г'(1о)=~г(1»)!!г'(1,)!созгг'=О, поскольку (г(1»))=1, то либо г'(1»)=.О, либо угол г ' между векторами г(1о) н г'(1„) равен ~; в обоих случаях ) г(1.) лг'(1.) !=-!'(1.) ! ности (Л1»), получилп вообще говоря, две последовательности (Л1») и (Л1»).
Если хоть одна из указанных частей содержит лишь конечное число элементов, то ее исключим из дальяейшего рассллотрения. Для последовательности (Ы') из условия ЛЧл' =- О следует, воаог» первых, что Игп — ==О, а во-вторых, при условии )г(1о+ М;)! = » о ==!г(1)!, что г(1»+Л1»)=-г(1о).
Отсюда в свою очередь имеем 4 17. Кривизна нриаоа Такееле образолц йщ —." =~ о-.~ аЕ (17.4) Из (17.2) и (17.4) для всей неладной последовательности (езЕо) имеем и так как последовательность ИЕо) была произвольная, то !пп 1г (1 )! ае ойЕ Лемма доказана. 3 а м е ч а н и е. Используя лемму 1, можно легко получить разлепкешее производной вектор-функции на две ортогональные составляющие: в направлении вектора е (1) (раеЕеееельная состааляюа(ая) н в перненднкулярном направлении (траясеерсалоная состааляеаееЕая). Пусть вектор-функция г(1] опрсделеиа в некоторой окрестности точки (о, 1 (1) ='- О, и существует производная г'(Ео).
11оложим го(1) =' —, очевидно, 1го (е) ! = 1. В точке Ео суецесе вуег г (Е) 1 г (Е) 1 производная — — )Е 1" == =-Г„Г', еЕ1 г1 еЕ в —, ет' еЕЕ иЕ 1г( ЕЕЕ'о а значит, в точке 1, существует и производная — , которая, ле согласно лемме 1, ортогональна вектору «о(1,), а значит, и вектору г(1,). дифференцируя равенство е (1) == (ю (1)1го(1) в точке 1„, полу- чим Го+ ~ Г ! == (Гол ) Го+ ! Е ! ° (1? 5) еЕг еЕ 1 г 1 Лги, еЕго ЛЕ еЕЕ ЛЕ еЕЕ Это и есть искомое разложение. В случае, если годограф вектор-функции 1'(1) является траекторией движущейся материальной точки, то формула (17.б» дает разложение ее скоросги на составляюнеуео поступательного движения (радиальная составляющая) н составляющую вращательного движения (трансверсальная составляющая).
1772 Определение кривизна кривое и ее вачисленгге 17.2. Определение кривизны кривой н ее вычисление Пусть Г = (г(з); О < з < Л) — дифференцируемаи спрямляемая кривая, з — переменная длина дуги, О к; з, < 5 и Лз = з — з„. Определение 2. Пусть Ла — угол между касательными кривой ~ да! Г в точках г(з,) и г(зв + Лз). Если сушествует предел ! пп ~ — ~, то аг-в г ~з он назывиется кривизной кривой Г в яичке г((в) и обозна«свелся й =- йГ!.): lг= Игп ~ — !. Пусть теперь 1 = „—. Вектор 2 является единичным вектором, направленным по касательной (см. п.
16.3). Согласно определению, кривизна есть скорость вращения (см. п, 17.1) велтор-функции 8 = з(з): я= — иг(зв «). В силу лсмлгы 2 п. 17.1 отсюда получаем (17.6) Определение йн Велиггина, обрапгная к кривияне, называется ра- 1 диусам крггвггггны в даннои пгонке и обозначается К, так чпю гс = —. гг ' Пусть à — округкпость радиуса 77. В этом случае угол Ла между касательным ран.н углу, образовагггггму радиусами точек касания (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
