kudryavtsev1 (947411), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Представления же х = соз 1, у =.= ып 1, — — < ! <— и я 2 2 х=)ткт(2 — т), у=т — 1, О<.;т(2, задают одну и ту же кривую, если допустимыми преобразованиями параметра считаются все непрерывные строго монотонно возрастающие преобразования. Действительно, фушгция т = 1+ ып ! непрерывна, строго монотонно возрастает на отрезке ~ — о, ~-~ и переводит одно представление в другое.
К(ножеством точек кривой, т. е. ее носителем, является в этом случае полуокру>кность х»+ у' = 1, х > О. Определение 6. Пусть задана кривая !' = (г(т), а<!(Ь), причем в касчспме класса допустимых тгреобразазаний тгараметпр«1 вз»~ти к,тес ыпрооо монотонно возрастаютцих непрерьсвньтх функций. 220 у 16. Блина дуги крикьд Пусть 1 = 1(т) — строго люнотонно убыва>ои(ая и непрерывная на отрезке [а, [)[ функция, »ричел«1(а) = Ь, 1([)) = а, Кривая, определяемая представлением г = г(1(т)), а < т < [>, называепюя кривой ориентированной противополоясно кривой Г и обозначается — Г. Если т« ~ [а, [)[ и >ь = 1(т«), то точки г(1«) и г(1(ть)) соответственно кривых Г и — Г называются соответствующими друг другу. Одна точка кривой Г предшествует другой точке этой кривой тогда и только тогда, когда точка кривой — Г, соответстау>ьц>ая первой точке, следует за точкой, соответствующей второй.
Этим оправдывается термин «противоположно ориентированная криваям Подобным же образом определяются противополо>кно ориентированные кривые и при других допустимых преобразованиях параметра. Если г((), а <1«Ь, — представление кривой Г, то г(а + Ь вЂ” т), а < т< Ь, является представлением противополо>кпо ориентированной кривой — Г, ибо функция 1 = а + Ь вЂ” т, а-..т-<Ь, сгрого монотонно убывает. В заключение сформулируем еще несколько полезных для дальнейшего определений. Определение 7. Пусть задана кривая Г=(г(1); а(1 <Ь). Если [а', Ь'[с:.[а, Ь[, то кривая Г'= (г(1); а' <1 < Ь') называепюя часпило крисой Г (или ее дугой) и пии>е>пся Г~Г.
Есл и 1«с (а, Ь), Г, = [г (1), а < 1 < 1«), Г, == (г (1), 1« ~< 1 < Ь'й то кривил Г называется сумл>ой кривых Г, и Г, и пии>ется Г=Г, .Г,. Аналогично определяется сумма конечного числа кривых. Определение 8. Пусть Г =- (г(1); а < 1-. Ь) — плоская кривая, расположенная на плоскоспш х, у. Если суи(есрлвует непрерывная функция Р(х, у), такая, что геолргтрическое место точек (х, у), удовле»и>оряюи(их условию Е(х, у)=О, (16.1) совпадает с носшиелем кривой Г, >по говорят, что уравнение (1б.1) являл>пся неявным представлением кривой Г.
Следует, однако, иметь в виду, что, вообще говоря, геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнеишо вида (1б.1), где Е(х, у) — некоторая непрерывная функция, не является множеством точек какой-либо кривой в вышеопределенном смысле. Например, геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению (х'+ у') (х'+ у' — 1) =- О представляет собой окружность х' + у' = 1 и точку (О; О). Можно показать, что зто множество не является непрерывным образом отрезка.
!б.а Касательная к крякай 22» Наконец, отметим, что множество точек кривой всегла ограничено, т. е. лежит в некотором шаре; это слелует из того, что функции координатного представления кривой, согласно теореме Больнгпо — Вейерштрасса, ограничены в силу их непрерывности. Вместе с тем уже в элементарной математике встречаются неограниченные кривые, к таковым относятся, например, прямая, парабола, г»»пербола„синусоида, график (и х н т. п. Чтобы охватить и такие «кривые», можно определить класс так называемых «открытых кривых» по схеме, подобной вышеприведенной, в которой за основу взята непрерывная вектор-функция, определенная уже на интервале, а пе на отрезке, как это было сделано выше.
Открытые кривые, в частности, могут быть и неограниченными. Полробиое и точное формулирование всех этих понятий предоставляется проделать учащемуся по мере потребности. 16.2. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной вектор-функции !»»и 1(Л!) ": 1а л» о (16.2) Пр»» наполнении этого условия под»»редельныл»»юлпжением секущей в точке г(!а) будем панилиип», »»рл»л»»»»о, проходящую через точку г(!а) и ппраллельную веки»пру 1„. Из формулы (!6.2) следует, что угол межлу секущей и ее предельным положением стремится к пулю, когда И->-О.
ь> Э»О ОЗНаЧаст, ЧтО СуШЕСтаует б > О, таКОЕ, ЧтО дЛя ВСЕК Л», удОВЛЕ«ВО. ря»антик неравенству ! Л! ! (б, можно осу»аествнть указанный выбор вектора !(ЛО. Пусть задана кривая Г=-(г(1); а <! < 6) и пусть ! б(а, й), !а+Л16(а, 61. Прямую, проведенную через точки г(1,) и г(!а + Л!), назовем секущей кривой Г и обозначим 1л,. Если г(!а)+ г(1, + Л!), то такая прямая ел»»ястве»»»»а. (Для простоты в дальнейшем буде«» прелполагать, что условие г(1,)+ г(1, + Л!) выполняется для всех достаточно малых значений Л!.) Возьмем какой-либо единичный вектор 1(И), параллельный секущей 1л».
Например, если Лг = г(!а + И)— — г(!а)+О, то можно взять 1(М)= — „, ибо, очевидно, ~)1(Л!) ! = 1. Лг Определение 9. Будел» говорить, ипо секущая 1>» стремится к предельному положению, когдп точка г(1„+ И) кривой Г стремится к точке г(1,) (т. е. кпгди И- О), если для всех дсс»па»псчно малых по пбсомоп»ной величине энпчений И можно тпк выбрать указаннцю Яьпне единичнУю векгпоРтфУнкчию 11Л!)а», что длЯ нее сУ- щеспаует предел б 1б. Данин дуги кривое Поскольку из (16.2) следует, что 1!ю (1(Л1) ! =! 10 1, о то 1„— также единичный вектор. У п р а ж и е н и е !.
))оказать, что прямая, являгошаяся нредельным иолоигением секущей, единственна, т. е. доказать, что если в предположениях определения 9 для оеиоторого единичного вектора 1,(ЛО, параллельного секушей 1„«, сушествует )!ш 1(ЛО, то он равен либо ге либо -1(см. ()б 2)), Л«-о Заметим, что если для некоторого вектора 1а(Л1) (не обязательно единичного), параллельного секущей 1„, существует предел )гнп1*(Л1)=1п+О, (165) Л! и $ то существует и 1!гп "(И) = — „' ты о ! х' [л«)1 '!!о( Но вектор 1* (лй 11ь (Л«) ! е очевидно, единичный; поэтому со- гласно сделанному определению, Рнс. 5! в этом случае секущая 1„стремится к предельному положению.
Определение 10. Иредельное положение секущей в точке «(1е) (если онп, конечно, существует) малыши«пся касательной к данной кривой в точке «(1„). Лемма. 17йсть век««юр-«гредсталление г(1) кривой Г ди«рфеоенцируелю в «поч«е 1, с (а, И и «грс««ть «'(1„)+ О. Тоеди кривая Г гглгее««! касательную в пючке «(1,) и производная г'(1,) направлена по этой «сасательносг.
Доказательство. Действительно, вектор Ле=-г(1,+ Л1) — «(1„), лг а значит, и вектор —, очевидно, параллельны секущей 1 Л! лг (рис. 51). Согласно предположению, 1! и! — =- и' (1а) 4= О, Лг д«- и лг т. е. выполняетсн условие (16,3) для вектор-функции 1(Л1) = лг Л« ' т62 Касптеяьноя к кривой 223 что и означает, что вточкег((е) существует касательнаяа( и что она параллельна вектору г'((в) Лемма доказана. Отметим, что в рассматриваемом случае дит)х)жренциал с(г ((е) =. г'(тв) с(( также направлен по касательной к кривой, ибо он отличается от производной лишь скалярным множителем с(т.
Вектор й= —, г'+О, является единичным вектором, на(г'! правленным по касательной. Вектор Лг при Л()0 направлен от тачки кривой с меньшим значением параметра и точке с большим значением параметра, поэтому можно сказать, что вектор Лг при Л()0 показывает направление, в котором параметр на кривой возрастает, т. е., каи говорят, Лг положительное направление на кривой. Вектор — при Л() О имеет л( Лг то же направление, что и вектор Лг.
Поскольку !пп — — =г'((), то а Л) естественно говорить, что вектор г'((), а значит, и вектор Ф, который отличается, быть может, от вектора г'(() положительным числовым 1 множителем —,, также направлены в сторону возрастания парв! е'(О !' метра и что их ориентация (направление) соответствует ориентации кривой. Направление вектора к (или, что то же, вектора г') будем называть положительным направлением пасоо~ельной. Уравнение касательной и кривой Г в точке г((о), для которой г'((е)+ О, в векторной записи имеет вид т"=г((в)+т ((е)т "о(т(+ оо где г — текущий радиус-вектор касательной. В координатной за.
пиен уравнение насательной в этом случае имеет вид х = л (те)+ л (тв) т у=у((а)+у ((а) т. г=-х((в)+'((е) т. — оо ч т(+ оо. у п раж не ние 2. Пусть вектор-представление «(О, а < т< Ь, кривой Г дважды дифференпируемо в точке (ос [а, 6! и пусть г' (!е) = о, г" Ов) фв. йокааать, что кРиваЯ Г имеет в точке г((е) касательнУю, и УРав. кение втой касательной будет г = г ((в) + г" ((в) т, — о. < т ( + оа. «) Справедливость неравенства г((а) Ф г((е + Лй при всех достаточно малых Л( (лишь при выполнении которого было сформулировано определение касательной) в рассматриваемом случае следует иа предположения, что г ((а) ~О. 224 В Сб. Ллина дуге чгпепл Определение П. Точка дис)хСсеренссируемпй кривой' Г = (с'(С)), в коспорой г'+О, называется неособой, а точка, в копсорой г' = О, — особой. Если с = (х(С), у(!), г(С)), то из равенства (г'! =- 1~хм ) ) гс+г" (см.
п. 16.2) имеем". тачка (х(С), у(С), г(С)) кривой Г неособая тснди и только тогда, когдп вней х' + у' + г' ) О, т. е. хоть одна нз пронзводыьсх х', у' и г' не обращается в ноль. Согласно доказанному выше, во всякой неособой точке кривой Г суи(есссгвуелс касательная. Если допустимыми преобразованиями параметра являются строго монотонные днффересщируемые функции С = С(т) с производной, не обращающейся в ноль, тогда неособая точка при одном представлении кривой будет одновременно неособой и при любом представлении: это следует из равенства и м 2 е пт 2 г хт+1'т+гт =-(хс +У~ +г~)Ст ° Рассмотрим более подробно случай плоской кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
