kudryavtsev1 (947411), страница 37
Текст из файла (страница 37)
График функции (14.16) иеследован. Пример 4. Построить график функции 1+зз ' ~ ° з4 Зз Таблица б ((ч. 1( 1 2 'уу не Точна лена вниз вниз Интервал выпуклости Точки перегиба и точки разрыва разрь(ваа ( — », — () (1. + ) Функция х (у) оп реде- Выпуклос ть (-(. (> — У > Выпуклость вверх Точка перегиба (Уо — ) Выпуклость Ке существует Точка разрыва (( ° + 1 6') Выпуклость вверх Точка разрыва аоз й 14. Иго»еда«нное ноеедения Фу«ниии Лсимптот, параллельных осям координат, в данном случае нет, так как х- оо и у — » оо при 1- — 1, то, возможно, существует наклонная асимптота. Для ее нахождения вычислим соответствующие предельп Иьп — = Игп 1= — 1, т.
е. А = — 1, у !я!-! / 1» 1 Ищ (у — ~4) = И.з, +,'1 = И.! = — — ° ! — ! !!1+1 1+1 1, ! 1 !+1 з Отсюда следует, что наклонная асимптота существует и что ее уравнение имеет вид 1 у= — х — —. а Построим приблизительный вид графиков х(1) и у(1); для этого предварительно найдем производные: о)з 1(о (з) (1 + !з)~ ' (1 + 1«)з Производная х! обращается в ноль при 1 = — н меняет знак ! 3/ с «+» на « — », значит, это точка максимума; производная у! об- Рис.
48 ращается в поль при 1 =- О, меняя знак с « — » на «-1-», значит, это точка минимума и прн 1 = у'2, меняя знак с «+» на « — », значит, это также точка максимума. Из этих замечаний следует, что графики функций х(1) и у(1) имеют вид, изображенный на рис. 48. По этим графикам, зная уравнение асимптоты, можно найти приблизительный вид графика искомой функции (14.18). Он имеет вид, изображенный на рис. 49. !БЛ Понятие пределе н ненрерывноетн для вектор-финкчнн Исследование производной у, позволит уточнить размеры епетаи», образуемой графиком. Из (!4.!9] имеем ! (2 — !») ух ! 2гз з— Теперь видим„что: 1) у„' = 0 при ! = 0 и ! =1'2, т.
е. касательная к графику параллелы!а оси Ох в точках (О; О) н с ».— »в ; — ); 2) у'=оо при у 3 3 ) ! = — и ! = оо, т. е. касательная т2 к графику параллельна оси Оу в точках 1 —; — ~ н (О; 0). Таким ! уч 4 У 2 1 а7 х 3 3 ) образом, точке (О; 0) (являющейся, как говорят, точкой самопересече- ! ния графика) соответствуют два значения параметра 7=0 и (= оо, если Рне. 49 только доопределить формулу (14,18), полоукив х(оо) = О, у(оо) == О. В этой точке две части графика имеют соответственно своими касательными координа!ные осп. График функции (14.18) называется листом Декарта. Из формул (14.18) нетрудно получить его неявное задание ха+у" — ху = О.
У п р а агнец не 3. Погтроать графики сяелущщик функций. !. у=-! (х-'г !)т — ! (х — ')». 2, у = юаз х+ соз» х. 3. у —.— х»1п х. х' )/хх — ! 2х» — ! 3 Х=2! — гт, у=-.з! — Н. Гь и=! — е '. у=-2! — е П+! ! 7.х=, у — —, П вЂ” ! ге+! $ !3. ВЕКТОР-ФУИКЦиЯ 15.!. Понятие предела и непрерывности для вектор-функции Определение 1.
Если каждтомр значению (~ Т, где Т— некоторое множеспыо чисел, сов!лестен!врет определенный вектор г =- г(!) трехмерного г!роспранстт!ва, то бддел! ггеэригпь, что на Т 210 у /5 В/ктор-/)/ункс/ия определена секосор-фун/сцсся, или, что /по же, век/лоряая функция, г(!). Если в пространстве фиксирована прямоугольная система ко- ординат, то, как хорошо известно, каждому вектору соответствует упорядоченная тройка действительных чисел — его координат, и наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует век- тор, для которого эта тройка является его координатами. Поэтому задание вектор-функции эквивалентно заданшо трех скалярных (числовых) функций х(!), у(1), г(!), являющихся его координатами: г(1)= Сх(1), у(!), г(!)).
Длина всякого вектора р обозначается через !р!. Будем пред- полагать известнымн основные алгебраические свойства векторов, понятие скалярного и векторного произведений, а также свойства этих произведений. Скалярное произведение векторов а и Ь будем обозначать аЬ, а векторное ау.Ь . Введем понятия предела, непрерывности, производной и дифференциала / для векторных функций. / Определение 2. Оус/пь веклсорфункция «(!) определена в некоторой окрестности точки 1„, кроме, бьтсь сс может, салсой точки !ь, и пусть ив чекоторый' вектор.
Вектор а будем называть пределом функции гЯ прсс 1-к 1, и писать а=- Исп /. (!) (или г Я вЂ” а при (-с-(,), если для лсобого а)0 сугцествует такое б= б(в) > О, что ! /' (1) — а ! < е для всех!, удовлетворяюгцих условию ! ! — 1„! (б„ 1+ 1„(рссс. 50). Очевидно (ср. с леммой п, 4,7), что !!ш/ (1)=-а с с. тогда н только тогда, когда ! пи ! с (1) — а ! = О. (15.2) Если / (1) = (х(1), у !), г(1)) и а=(а„а,, ак), то для того чтобы а= 1!спг(!), необходимо и достаточно, чтобы !!гп х(1) = о„йп у(() == ом 1!псе(1) = ах. (15.3) с.
с с с с. В самом деле, )«Я — а)= У/!х(с) — ос!'-! (У(С) — ок!с+ 1г(1) — ак!э. (154) л / / с / г мс-а с с / (15.1) !5.! Понятие нредтеяи и неирерынноети дяя еекторнфункнии 211 11оэтому ! г(!) — а ! ) ! х(!) — а, !. ! р Х е! ! = ! о ! ! е! ! з! и ре! ~( ( р ! ! ет !. (15. 5) Поэтому, еспи р=р(!), !) =-д(!), причем И1п(р(!)/=О, а (д(!)!— !-н!, ограниченная функция, то из (15.5) имеем (см. п.
4.8) (15.6) Иш !р х а(=О. Пусть теперь !ипг,(!) =- а, Ишге(!) = Ь. г- ь т-~!. а(!) == г,(!) — а, 11(!)= ге(!) — К тогда, согласно (15,2), И!и ! а (1) ! =- 11ш ! () Д) ! = О. т-с, г-с„ Положим (15. 7) Отсюда следует, по условие !~ (!) — а!- О при (-н!е влечет за собой условие !х(!) — а, !. О при 1-н1„т. е. условие Ишх(!)=а, Аналогично доказываются другие равенства (15.3). Наоборот, если выполнено (15.3), то из (15.4) сразу получаем, что (г(!) — а!- О прп 1- !тн т.
е. а=-)ипг(!). ! а Отметим некоторые свойства пределов векторных функций, 1. Если !ипг(!)=а, то И!и(! ((1(=!а!. Это сразу следует из Е-ет„ неравенс!ва !! г( — ! а (~ () г — а !. 2. Игп(г,(!)+!' (!)! =1ипге(!)+ 1ипг,(!). у-~ т и 3. Иш( Л) г(!) = Иш((!) Иш ! (!) Д(Е) — скалярная функция). ! т. ! т, 4. И !и г, (!) е; (!) =- Иш !', (!) Иш т; (!).
! 5. И и! г, (!) х г, (!) = !ип !', (1) х 1ип г, (!). т->т В свойствах 2 — 6 все рассматриваемые функции определены и некоторой окрестности точки 1„кроме, быть может, самой точки 1„, и предполагается, что все пределы, написанные в правых частях равенств, существуют; тогда утверждается, что существуют и пре. делы, стоящие в левых частях равенств, причем справедливы на- писанные равенства.
Все эти свойства доказываются аналогично тому, как мы до- казывали подобные утверждения, встречави!неся нам раньше (см. п. 3.5, 4.6). ((окажем, например, свойство 5. Предварительно заметим, что для любых векторов р и д В 1В, Вектор.функ!Сия 2!2 Теперь г! (1) Х г,(1) = !а+ а(1)! Х !Ь+() (1)! = = а Х Ь+ а Х () (1) + а (1) Х Ь+ а (1) Х ($ (1), где в силу (15.!) и (15.6) 1пп ! а х (1 (1) ! =- и !и ! а (1) х ь ! =! ип ! а (1) х р (1) ! = О, ! !, !-+!„ !я и так как )а х Р(1)+ а(1) х Ь+ а(1) Х !) (1)! < !а х Р(1)1+ ! а(1) Х Ь! + ! а (1) х () (1) ), то и 1пп ! а Х !) (1) + а (1) Х Ь + а (1) х (1 (1) ! = О. А это, согласно (15.2), и означает, что Игпг,(1) х г,(1)=-а х Ь.
! ! Свойство 5 доказано. Отметим, что свойства 1 — 5 пределов вектор-функций могут, конечно, быть получены с помопсыо формул (15.3) из соответствующих свойств скалярных функций, если перейти к координатной записи векторов и нх скалярных н векторных произведений.
Перейдем к определени!о непрерывности вектор-функции. Определение 3. Век!пор-функцс!я г = г(1), опр!'деленная и некоторой окрестноспги !печк с 1я, нпзывиется непрерывной в точке 1я, если И гп г (1) = г (1„). Из эквивалентности условий (15.1) н (15.3) следует, что для того чтобы вектор функция г(1) = (х(1), у(1), е(1)), определенная в некоторой окрестности точки 1„была непрерывна н згой то псе, необходимо и достаточно, чтобы в точке 1 были непрерывны функции х(1), у(1), 2(1). 15.2. Производная и дифференциал вектор-функции Определение 4.
Пусть вектор-функция г = г(1) определена в некии!ирой окрестности и!очки 1 . Если суи(ествует предел г (со ц д!) — г (со) 1пп в! я Лс то он называется произссодной донной век!пир-функции в точке 1я и обозничистск г'(1„). ГДД Процааоднао и дифференциал вектор-функции 2!3 Таким образом, производная вектор-функции в точке есть вектор. Для того чтобы функция г(() = (к(г), у(1), г(()), определенная в некоторой окрес1постн точки 1„имела производную в точке йм необходимо и достаточно, чтобы функции к(!), у(() и г(() имели пронзводшис при ! = (о, причем в этом случае г' ((о) =- (к' (го)~ )'' (1о) г' (го)) )и'(! )(= Рг "(то) (-у'(1.)+ г'в(т,). Это сразу следует из эквивалентности двух подходов (15.! ) и ! 5.3) к определению предела для вг ктор-функции: г(го+ т) — г(Го) к ( 1о + Л !) — к ((о) И У(~о+И У(Го) а(Го+ Я е(го)) И Ы при И-об.
Определение 5. Векпшр функцич г=г(1), опредеееннач в некоторой окрестности точки 1о, назьгсаетпся дифференцируемой в этой гпоеке, если ее прирагцение Лг=г((о+И) — г((о) в точке !о представилго в виде Лг = а И + е (Л() Лг (15.8) где Ип1е(Лг)=0. При этол линейнал вектор-функг(ияо~ аИ на- Л. о зывается дифференциалои функции г(() в точке !о и обозначаець ся дг-- аЛВ Таким образом, Лг = дг ! е(ЛО Лг. (15.9) Очевидно, что если вектор-функция дифференцируема в точке (о, то она и непрерывна в этой точке. Как н в случае скалярных функций, из дифференцпруемости функции следует существование производной г'(г) и равенство ее вектор)' и.
В самом деле, нз (15.8) имеем !ип — =!пт1 !а+ а(Л()] =и. Лг Лг-*о Ы л! а оо Вектор-фуикиг~н аргумента Г нааываетеи лкнганав, еелн оиа имеет вид а1 -т. Ь, где а н Ь вЂ” какие-либо два фикеированнык вектора. з14 4 1Д Вектор 4инке(нл Обратно, если существует производная г (1,) = !нп —, то, Лг Лт- о Ле Лг полагая а(И)= — г'(1,), получим И Ьг =- г' (1,) И + е (И) И, где !!п1а(И)=0. Значит, г(1) днфференцируема в точке 1, и лс о с(г=.
г (1о) И. Положим для независимой переменной 1 по определению 41=.И, тогда (опуская обозначение аргумента 1а) дг==г'е(1, г'= — г. Ю Подставляя полученное выражение для е(г в (15.9), получим Лг=г И+е(И) И или Лг=г' И+а(И), (15.10) гле а (М) =- о (И) при И -~ 0*> и а (0) = О. Пусть теперь 1=1(т). Если эта функция дифференцируема в точке то~ 1а=1(то) и Лт=т — т„то нз (15.10) (обозначая для ясности г' =г,') следует, что Лг Л а (ЛЕ! — =г — + Лт т Лс Ьт Так как И-~-0 прн Лт-н0, то, как и в случае числовой функ- ции (см. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
