kudryavtsev1 (947411), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Формула (13.5) называется Формулой Тейлора и-го порядка с юстаточнни членом в форне Пеона*'. Ь[ногочлен Р„(х)=1(хо)+ 11' (х — хо)+ - +, ' (х — хо)" (13.6) называется многочленои Тейлора, а функция г„(х) = ~ (х) — Р„(х) (13.7) — юстапючным членолт п-го порядка ц)ориулы Тейлора. Как показано, остаточный член г„(х) является бесконечно малой более высокого порядка, чем все члены многочлена Тейлора (13.6). Укажем другой вид записи формулы (13.5).
Полагая х — х,=Лх, Лу=)(х,+Лх) — 1(х„), получим «Ю,) Лу = Ь „, ' Лхл+г„(х). и-~ Если в формуле (13.5) х, = О, то получается частный вид формулы Тейлора, называемый обычно трормулой Маклорена**'. ", )м)(6) 1(х) = чл „, хи+ г„(х'). (13.8) м д, 1)сало (1868 — 1932) — итлльииский математик. ° «1 К. Ь)аклореи (!688 — 1746) — шотландский математик. В И. Формула Тейлора 17а Доказанная теорема позволяет любую функцию, удовлетворяюгцую условиям этой теоремы в окрестности некоторой точки, заменить многочленом с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем члены многочлена. Таким многочленом является многочлен Тейлора.
Велнг!ина погрешности при этом дается величиной остаточного члена. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано дает регулярный метод выделения главной части функции в окрестности данной точки. На этом обстоятельстве и основаны богатые и разнообразные приложения формулы ([3.5) в различных вопросах анализа. У и р а ж н е н в е 1.
доказать, что если функция [(х) в некоторой окрестности точки хе имеет производпу!о порндка л, то, какова бы ни была точка х этой окрестйости и какова бы ни была функция ф(!), непрерывная на отрезке с концами в точках хе и х, имеющая не равную нулю производную внутри этого отрезка, найдетсн такая точка $ между точквмн хр и х, что для остаточного члена г„(х) формулы тейлора фуакннн [(х) будет справедлива формула ф(.) — ф(..) [Вч)© (, ф'(й) ( — !р ( Получить отсюда следующие виды записи остаточного члена! г„(х) = (и !)! (х — хе) (х — $), р > О (форма Шлел!ильха — Роша), [Р! ! (кч) г„(х) = — „— (х — хе)' (форма Лагранжа), (1~! [хз+ В (х — хь)[ г„(х)= „! (! — В)н (х — хе)", О < В < 1 (форма Коши).
У к а з а н ив. Рассмотреть вспомогательну!о функцию н — 1 гг! (!) ч(()=[()-~ д! (-!)" ь=о и применить к функциям <р н ф теорему Коши о среднем значение. длн вывода остаточного члена в форме Шлемнльха — Роша положить ф(!) = (х — йл. !3.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки [з„(х) = ч' А ха ь-о ()з.й) Заметим предварительно, что, очевидно, всякий многочлен степени и И.2.
Многочлен Теалорп )77 для любой точки х, может быть представлен в виде о Р. (х) = .', ио(х — »о) . (13.10) о-о В самом деле, достаточно в (13.9) положить х =- х, + й и разложить правую часть по степеням й, тогда Р„(х)=а„+а, Ь+ ...-! а„й", где Ь=х — хо, т. е. мы и получили (13.10). Многочлен Тейлора степени и является многочленом, наилучшим образом среди всех многочленов степени и приближающим функцию 1 ов бесконечно малой окрестности» точки х„т. е. при условии х — !. хо.
При этом такой многочлен оказывается единственным. Более точно, имеет место следующая теорема. Теорема 2. П!)сть 4ункиия ) определено и дигрфергнциругма до порядки п включительно в точке хо и пусть ((х)=Р„(х)+о((» — х )"), (13.11) л гдг Р„(х) = ~ч~ ад(» — х,)' — некоп!орый лшогочлгн степени, леньо=.о шгй или равнои п, тогда о )) 0 )ы'(") м т. г.
многочлгн Р„(х) является многочленом Тейлора. Иначе говоря, никакой миогочлен степени, меньшей или равной п, отличный от многочлена Тейлора, не может приближать рассматриваемую функцию с точностью о((х — хо)") при х — !- хо (а значит, и с более высокой точностью о((х — хо)"), й ) и). Ло к аз а тел ь от в о. Из формул (13.5) н (13.11) следует, что (» — хо) + о ((х — »о)") = ~~ ~их (х — хо) + о ((» — 'оо)"), ) М(хо) о о-о откуда в пределе при х — !.
хо получим ао = )(хо). Отбрасывая в обеик частях равенства этот член, сокращая оставшиеся в обеих частяк выражения на (х — х,) (х+ х,) и замечая, что о ((х — х,)') = о(х) (х — х,)", где !1!и е (х) = О, К ХО и, значит, прн х-!-хо о ((х — хо)") =е х)(х — х,)" =о((х — хо)" )„ о — ! л — ! и= — 1,2, ..., й Р Формдла Тейлора (та получим 11м (х ) й( ' (х — х,)' — '+о((х — ха)' — ') = и = ~"„п„(х — хо)л — 1+о((х — х,)и '). е=! Теорема доказана.
Единственность представления функции в виде (13.11) может быть иногда использована для разложения функции по формуле Тейлора. Именно если удается каким-либо косвенным путем получить представление (13.11), то в силу теоремы 2 можно утверждать, что это и есть разложение по формуле Тейлора (13.5), т.
е. коэффициенты многочлена выражакпся по формулам (13.12). Так, например, формула (13,10) есть разло1кение многочлена (13.9) по формуле Тейлора, причем в этом случае «„(х) = О, поэтому согласно теореме 2 коэффициенты многочлена (13.10) имеют вид Р1 1(хи) Таким образом, и Ри (х) «-о (хе) (х — ха). В частности, при разложении многочлена степени и по формуле Тейлора остаток и-го порядка тождественно равен нулю. Пусть требуется разложить по формуле Тейлора функцию 1 1 1(х) = — в окрестности точки х,=О Замечая, что — есть сумма бесконечной геометрической прогрессии — =1+х+х'+ ...+х" + ..., ~х((1, и полагая Хи+1 г„(х)=х"+'+х"+'+ - =- —.
)х(~1, получим — = 1+ х+ ... + х" + г (х), ! Теперь в пределе при х — х„имеем а, = — 1'(хо). Продолжая этот процесс дальше, по индукции легко получим )М) (хи) !ЗЛ При.мери раалохеення но 4!орл йле Тейлора где г„(х)=0(хл+!! и, значит, г„(х)=о(х") при х-~0. Таким образом, представление 1 а — ==1+х+ ... +х"+о(х") = ~ х«+о(х") «=о ! и есть разложение функции — по формуле Тейлора в окрестности нуля.
13.3. Примеры разложения по формуле Тейлора 1. 1(х) = яп х. У функции з!пх существуют производные всех поряд- ков. Найдем для нее формулу Тейлора при хр — — О, т. е. формулу Маклорена (13.8). Было доказано (см. п. 10.1), что (яп х)'р> = = яп ~к+р — ), поэтому 1(е!(0)=яп —.= ~ ' е«=0, 1, 2, ..., (13.13) рп ( 0 для р= юг, !( — 1)" для р=2А+1, и, согласно формуле (13.5), ке х«хе я хе«+! япх=х — + — — + ...+( — 1)" 3! и! 71 "' (2а +! )! + о(х'н+'), — оо<.х(+ оо, п=О, 1, 2, ..., (13.14) или, короче, ке«+! з!пх= ~~ ( — 1)" " -)-о(хе«+«).
(2х+ 1)1 «=о Мы написали здесь остаточный член в виде о(ха"+х), а не в виде о(хе«+!), так как следующий за написанным членом многочлена Тейлора в силу (13,13) равен нулю. 2. ((х)=созх. Как мы знаем (см. п. 10.1), !(~!(х)=соя х + — ' 2 )' поэтому 1!р!(О рп ! О для р=2й+1 ь 0 1 (( — 1)«для р = 2А, хе х«хв и х«л созх=1 — — + — — + ... +( — 1)" +о(хе«+!). 2! 4! Б1 "' (2а)! — оос" х(+ оо, и =О, 1, 2, ..., (13.15) а тз, Форлсдла Тейлора 180 или, короче, а ххо созх=~~ ( — 1)" — "- — +о(хо"+').
(2х)Р о=о 3. )(х)=-е', Поскольку (е')00 = е", то 100(О) = 1, и =О, 1,,; поэтому х х хл е*= — 1+х+ — + — + ... + — +о(х") 2! 31 "' а! — ао<" х< "+ оо, и=О, 1, 2, ..., (13.16) или, короче, л е"= Ъ вЂ” +о(х"). лл Ы х-о Отса~да, заменяя х на — х, получим е —" = ')' ( — 1)' —,, + о(х").
(13.17) Ех — Е ох+о х 4. зЬ х — и сох= 2, складывая и вычитая (13.16) и (13.1?), получим ,хо+! зЬ х = 'э' — "+ о (хх "+'), Еы (2А+ 1)! л-о а с11х='Ч х -1-о(х'"+'), и=О 1, 2, ... — сю<" х(+ оо. (2а)! ' ' ' ' '*"' о=о и, следовательно, (1+х)"= 1+сох+со(с"' 11 хо 1 ~(" 1)(" 2) ха 1 +"1" — ')- 1" — "+'1 л1 („л) и=О, 1, 2, ..., — оо<" х(+ оо, В силу единственности ппедставления функции в указанном виде (см. теорему 2) полученные формулы являоотся формуламн Тейлора для функций зйх и сЬх. 5.
1(х)=(1+х)сс, сс — некоторое фиксированное число. Так как Тои(х)=со(сс — 1), ..., (сс — и+1)(1+х)" ", то ~00(О)=а(сс — 1) ... (сс — и+1) Ил Вглмислснрл ррсдслрр с ррмсргью фсрлсклм Гсдлрра га! или, короче, л ~м~~т~ сс(сс — г) ... (сг — гг+1) л+ й! л ! 6.
1 (х) = 1и (1+ х). Легко видеть, что )' (х) = = (1+ х)-', г"(х) = — (1+ х)-з и вообще, ~<лг(х)=( — 1)л-'И вЂ” 1)1(1-1-х) — л, )г=1, 2, Поэтому гпч(0)=( — 1)л-' (Уг — 1)1, Уг=1, 2, . „и так как г'(0)=0, то 1п (1+ х) = х — — + - + ( — 1)" ' — „+ о (х") л — 1, 2, ..., — 1 с. х( + со, или. короче, м хл 1п (1+ х) = ")' ( — 1)"-' д + о(х").
л-г 1З.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной чисти) Формула Тейлора дает простое и весьма общее правило для выделения главной части функции. В результате этого метод вычисления пределов функций с помощью выделения главной части функции приобретаетзаконченный алгоритмический характер. о Рассмотрим сначала случай неопределенности вида — . Пусть О требуется найти предел 1пп — х, где 1(ш г (х) = 1(ш о(х) = О. 1 (х) л «,м(1 л л, л лс В этом случае рекомендуется разложить по формуле Тейлора функции 1 и д в окрестности точки х, (если, конечно, это возможно), ограничившись в этом разложении лишь первыми не равными нулю членами, т. е.
взять разложения в виде г'(х) = а(х — хс)л+ о((х — хо)л), а+ О, д(х)=Ь(х — х,) +о((х — х,)"), ЬчьО, 182 5 !д Форлу»о Теаеора тогда 1(х),. о (х — хы)ы+ о((х — х,у ) 1«пт — — = 11п! ы *„2«х)» ы, Ь(» — хы) +о((х — хы)'"! 'О, если и ьпы, е о = — !цп(х — х )"-'" = — если п=гп Ь О Ь ы х, оо, если пс. тп. Часто бывает удобно для разложения функций 1 и д по формуле Тейлора использовать готовый набор разложений элементарных функций, полученный в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
