kudryavtsev1 (947411), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Но, согласно условию 2 леммы, 1'К) = О, и, значит, 1(х,) = 1(х;-1 для любых двух точек х, и х» нз области определения функции 1, что и означает, что функция ! постоянна. у ГЬ Теорема о ереднелг длн дифференг(ируемах функииа Сл ед с та и е. Если две функции 1 и д дифференцируел(ы во всех внутренних пгочках некопюрого праиежупти и в этих точках 1' = нгг', а на кониах ггролгезсгугпка (если они в него входят) функции 1 и а непрерывны, то эггги функции отличиюгггся на расслииприваемоги пролеежупгке лигиь на попполнную Действительно, функция Р = 1 — д удовлетворяет условиям леммы, в частности, Г = 1' — д' = 0 во внутренних точках про- межутка и попому р = с. Лемма 2. Пусть функция фг 1) непрерывна на итпервале (а, Ь); 2) дифференцируелга во всех точках интервала (а, Ь), кролге, быть может, некоторой точки х, г'-(а, Ь); 3) существует 1ип ф (х), тогда существует и производная ф'(х ), причелг ф'(х )= 1ип ф(х).
к к„ Действитепьно, пусть 1ип ф'(х)=А. Если а(хч" Ь и хчьхь, х к, то по тсорсме Лагранжа ф (х) — г((хе) =ф'(ь)(х — хи) г'де 5 б(хе х). если х > х„, и й~(х, х„), если х<х„отвюда о (х) — о (хе) ф (еь) х — к„ Будем для определенности считать, что х ) хее Точка $ = й(х) является функцией от х и притом, вообще говоря, многозначной. Выберем произвольно для каждого х~(а, Ь) одно какое-либо значение К тогда получим однозначную функцию (как говорят, однозначную ветвь многозначной функции).
Поскольку хек' в(х) (х, то 11 пг (г (х) = х„. к «к Применяя правило залгены переменного для пределов функций (см. п. 4.5), получим, что существует предел 1ип ф' К) —.- А„ к к, 1ьз уу.у Георел>ы Рилли, Лпарпнжп и Коши о средних аяпчениях а следовательно, существует и предел (цп е (х> — е (хы к-кк Х вЂ” х, Это и означает, что производная гр'(ха) существует и равна Л, У и р а ж н е н и е 3.
Пусть функции > непрерывна на интервале (и, Ы и диффереицируеиа во всех точках этого юпервьла, кроне, бить может. некоторой точки х«С(п, Ь). Пусть сушссгауют !пп Р(х) и 1пп Р(х), прил,-о к к,+О чем оии ае раним х>ежду собой. Йокааатгь что при этих предположениях р(хр) не существует. Как в теореме Ролла, так и в теореме Лагранжа (а также и в нижеследующей теореме Коши) речь идет о существовании некоторой точки 5, а (й(6, как можио сказать, «средней точ к и», для которой выполияется то или иное равенство. Этим и объясияется иазваиие «теоремы о среднем» для этой группы теорем.
Дока>кем последнюю пужиую иам теорему этого типа. Теорема 4. (Коши). Пасгпь 4андг(ии / и д': !) непрерывны на отрезке (а, Ь); 2) иыюп> производные е каждой пшене интервала (а, Ь); 3) произесднан р' + О ео есек точках интервила (а, Ь), тогда саи(есу>геаепг >пинии гпочна й, ипо — — а(5(6. — РОО а(Ь) — а (о) а' (ь) (1 !.1 1) (11.12) г (х) =!(х) — ).а(к), где число ). выберем таким образом, чтобы г(а) = г(Ь), т. е.
чтобы 1(а) — )д(а) = У(Ь) — )а(Ь). Для этого нужно взять ) ) (Ы вЂ” Нп> (11.1З) а (ь) — а (й> ' Функция г" удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, поэтому существуст такая точка с, что Г($) = О, а й ' Ь. Но из (11.12) Ь»(х) = )'(к) — Ц,'(х), поэтому 1" (") — )ьйг (5) == О, Заь>стим, что из условий теоремы следует, что иаписаииая формула (11.11) имеет смысл, т.
е. а(а) ~ (!(Ь). В самом деле, если бы а(а) = д(6), то фуикция д удовлетворяла бы условиям теоремы Ролла и, значит, нашлась бы такая точка $, что д'(5) = О, а (с(6, что противоречило бы условию 3. До к аз а тел ь с т во. Рассмотрим вспомогательную функ- цию б (2 Раскрытие неопределенносгеа по привила Лопитоля 1а4 откуда следует, что р (г) а' (Е) Сравнивая (11.13) и (11.14), получим формулу (11.! !). обычно называемую 4орлфлой конечных прирпп(ений Ко!им. Отметим, что формула конечных приращений Лагранжа является частным случаем формулы конечных приращений Коши, соответствующим й(х) = х.
Эти формулы доказаны независимо, во-первых, из-за той важной роли, которую играет формула Лагранжа. а во-вторых, чтобы иметь возможность, используя одну и ту же идею, применить ее дважды в доказательствах, причем сначала для большей наглядности в более прсстом случае. Формула Коши (11.11), так же как и формула Лагранжа (11.3), справедлива не только в случае а .с Ь, но и в случае а ) Ь. Упражнение 4. Пусть 1(х)=-хэ.(п — при хфОн 1(0)=0.
Приз - 1 х пеним к этой функции на отрезке !О, х! формулу Лагранжа. 1 / 1 1! хв а1п — = ~24 Ып — — соз — ) х, ~) тле 0 < $ < х. Сократим обе часли равенства на х ф-0: 1 1 1 х з !п — =- 2 Е и! п — — соэ — . $ Переходя здесь к пределу при х 0(при этом,очевидно, ч - 0), получим 1 1пп сов — =О, о так как лва другнк слагаемых очевидным абра ом стремятся к нтлю. Вмес- 1 те с тем предел соз при стремлении аргумента к нулю нс суп(ествует! Где ошнбкау й !2. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ПО ПРАВИЛУ ЛОПИТАЛЯ Если при нахождении предела некоторой функции, заданной формулой, при стремлении аргумента к некоторой величине (числ) или одному из символов со, +оо или — оо) при формальной подстановке этой величины в качестве аргумента в формулу, задающук 0 рассматриваемую функцию, получаются выражения вида -(, —, О .
сю, оо — оо, О', оо', О или 1, то они и называются не Га!. Г(еапледе, енноегн вида О О !Оа определенносгггями, так как в этом случае по получжощимся выражениям нельзя судить о том, существует или пет указанный предел, не говоря уже о его значешш в случае его существования. Наряду с основным методом нахождения пределов функций методом выделения главной части существуют и другие способы отыскания пределов; ряд из них, носящих общее название правил Лопипгаляег, мы и изложим в этом параграфе. Иш 1(х» Р (а» к и-~-Е И (х» и (е» Для доказательства этой теоремы применим метод выделения главной части. Доказательство.
В силу условия 2 имеем (см. и. 9.2) !(х) = 1(а) + !'(а) (х — а) + о',х — а), д(х) = д(а) + д'(а) ( х — а) + о(х — а). Откуда в силу условия 1 следует, что !(х) = !'(а) (х — а) + о(х — а), а(х) = д'(а) (х — а) + о(х — а), т. е. (см. теорему 1 в п. 8.3) 1(х) /' (а) (х — а), д(х) — д'(а) (х — а) при х- а+ О. Поэтому (см. теорему 2 в п.
8.3) 1(х» . Р (а» (х — а» Р (а к е+о В (х» к ак-е К' (а» (х — а» х' (а» ' Теорема доказана. В теореме 1 предполагалось существование производных в точке а. Докажем теперь теорему, в известном смысле близкую по содер- жанию к предыдущей, в которой, однако, не будет предполагаться существование производных !'(а) и д'(а). Теорема 2. Дусть функцгги 1(х) и а(х): 1) диг)х)геренцируелих на интервале (а, Ь); 2) !!п| )(х)= — — !пп и(х)=.О; к а+О ' г. л „еби — ен! — Фг 12.1. Неопределенности вида— О О Теорема 1. Пусть Функции г(х) и д(х), определенньге на полуинтервале !а, (г), такие, что: 1) !(а) = д(а) = 0; 2) суи(еспгвуюгп произюдные (однооиоронние) 1'(а) и д'(а), причем д'(а) чи О, пгогда !66 Рг Раскрытие неопределенностей ао арааилу Лоаиталя 3) Р'(х) + 0 для всех х~(а, Ь); 4) суп(есть(тет (конечный пли бесконечныц) предел !ип !' (х) а+, а'(х) ' тогда суи(ессивует и йпт — =- !пп 1(х) .
Р (х) к»а+О о( ) к и+О о ( ) Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу условий теоремы функции Г и д не определены в точке а; доопределим ик, положив 1(и) =й(а) =-О. Теперь функции г и гс будут непрерывны в точке и и будут удовлетворять условиям теоремы Коши о среднем значении (см. п. 11.2) иа любом отрезке !о, х), где а ( ха'. Ь. Поэтому для каждого х, п<" х(Ь, существует такое с = 6(х)~(о, х), что )(х) )(х) — )(а) р(=:! (12.1) е(х! р(х) — д(а) й'(Я .
Фиксируя для простоты для каждого х одно из указанных значений $, получим, что Ищ $(х) =; о (ср. с доказательством к а+О р (х) леммы 2 в п. 11.2). Поэтому, если существует !ип, — -к,то ,+О К (х) из правила за~сны переменного для пределов функций следует, что существует и 1|ш —,— ==й. Теперь из (!2.1) получаем Г (ч) с к а+Ох (О) 1!гп — — =- 1ип —, =к.
)(х) . р(й) ,Од(Х) к,+Оис(г) Теорема доказана. Теоремы 1 и 2 остаются справедливыми с естественными видоизменениями н для случая х — а — О. Теорема 3. г)усть функции Г и йц 1) дса)сференцнруеиы при х) с; 2) 1ип )'(х)=0, !ип гт(х)=сО; .к + к -с 31 о'(х)~0 для всех х~с; 4) с!!п(ествдета (конесяый или бесконечноей) предел !!пч р (х) + е'(х) ° тогда с(гп!ествует и И Г"(х! й !'(х) а(х) к + с ''(х)' До к аз а т ел ь ст во. Без ограничения общности можно считать с) 0 (если с . О, в качестве нового с возьмем, например, о 721.
Неопределенности вида— О 167 где штрихом обозначены производные функций 1 и гг по первона. чальному аргументу. Из сказанного и условий теоремы следует, что функции / 11 ~( — ) и д( — ) на интервале (О, — ) удовлетворяют условиям 1, ~ ) о) 2 и 3 теоремы 2. Покажем еще, что из существования предела 11гп г (л) ,„.
я(е) который мы обозначим через А, следуют существование предела "( — ') 1пп „и равенство его н, т. е. что выполняется и последк) ~-+о д„( дг нее условие 4 гсоремы 2. Действительно, д)Я Я = 11гп ' =1)гп —,, =Е тав.л+ ! ' '1л) я ~ †; ) дг 1пп дя( — г) Теперь из теоремы 2, примененной к функциям )( — ) и д( — ), сле- дует, что ( — ') 1пп — = А. с+о,(1) ! т1а ! 1Г с= 1). Сделаем замену переменного х= —. Функции 1~ — ) н гт1 — 1 1' определены па интервале(О, — ); условиюх- +со соответствует 1' условие 1 -ь +О; на интервале (О, — ) существуют производные у И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
