kudryavtsev1 (947411), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Для полного локазательства теоремы к сказанному выше достаточно лишь добавить, во-первых, что, как хорошо известно, коэффициент йо в уравнении прямой у = йь(х — х„) + у„равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси Ох; поэтому если через а обозначить угол наклона касательной к графику функции Г" в точке (х„, )(хо)), то в силу формулы (9.10) будем иметь 1 (хо)=(к а* и, во-вторых, что выражение Р' (хь) (х — х,) = 1' (хо) й, гле 6 может принимать любое значение, является дифференциалом функции ( в точке хв (см.
(9.7)). Поэтому из уравнения (9.12) следует, что с() = у — у„, гле у — текущая ордината касательной. П р и м е р. Найти касательную к параболе у = х'в точке(1; 1). Согласно п. 9.1 (см. пример 5)у'=2х, поэтому у'~„,=2. В силу формулы (9.12) искомая касательная имеет уравнение у = 2(х — 1) + 1, т.
е. у = 2х — 1. Если функция г дифференцируелеа в точке х„то, подставляя в формулу (9.5) А = г'(хо) (см. теорему 1 настоящего параграфа), имеем )(х)=у,+)'(х,)(х — х,)+о(х — х,) при х — ~-хь, и, значит, согласно (9.12), 1(х) — У„,=о(х — х,) пРи х- хь. Таким образом, наклонная касательная к графику функции обладает тем свойством, что разность орхинат графика функции и этой касательной есть величина, бесконечно малая по сравнению с приращением аргумента при х — е хв.
Обратно, если существует невертикальная прямая уир — — А (х — хо) + уь (9.13) проходящая через точку (х, уо), такая, что е (х) — у, и = о (х — хв) при х -+ хо, (9.14) то эта прямая является касательной к графику функции в точке (х, уо). Действительно, в этом случае )(х) (А(х хо) + уо(=о(х — хо) б 9. Ороизаоднал и дифференииал ~зо т. е. Лу=г'(х) — у„=А(х — ха)+о(х — х,), (х — х„), следовательно, функция / дифференцируема в точке х, (см. (9.2)) н А =- 1'(ха) (см. теорему 1), т. е. указанная прямая совпадает с касательной (9,12). 1акнм образом, условие (9.14) является необходижыле и достаптчныж условиеле того, чтобы прямая (9.13) являлась касапгельноб в тонге (х„уо). Отсюда, в частности, следует, что если существует прямая (9. Ь)„обладающая свойством (9.14), то она единственна Рис. 2З Рис. 22 Рис.
24 Рис. 2д (последнее вытекает, например, из того, что дифференциал функции единствен, илн из того, что касательная к графику функции в данной точке единственна по самому своему определению). У л р а ж н е н и е 2. Показать, что если функции у = 1(х) неорерывна в точке хе и в этой точке у' = + ос, то график функции Г имеет вид, изо.
бражениый аа рис. 22, если же у' = — чс, то — на рис. 23, а если у' =- зе, то график функции 1 может иметь один из видов, изображенных на рис, 22, 23, 24 изи 25, У.4. Физо«е<кий сл<ы<л ираизаадиай и дифф<реняиала 9.4. Физический смысл производной и дифференциала Пусть функция 1(х) определена в некоторой окрестности точки х, и, как и выше, Лх = х — х„„Лу = 1(хо + Лх,) — 1(хо). Пусть для определенности Лх ) О.
Отношение —, равное измеЛо Лх ' неп>по переменной у на отрезке !хо, хо+ лх1, отнесенному к единице измерения переменной х, естественно назвать величиной средней с»сорос<ли изменения переменной у на отрезке !Хм хо -1- Лх1 относительно переменной х. При стремлении к нулю Лх, т. е.
при стягивании отрезка !хо, хо+ Лх) к точке х„отношение — дает Лг Лх величину средней гкорости переменной у относительно переменной х все в меньше«< и меньшем отрезке, содержащем точку хо. Все сказанное, конечно, справедливо и при Лх «.. 0 для отрезка !Хо + Лх. хо1. Предел !пп —, если он существует, т. е. производную 1'(хо), лг «Лх' естественно поэтому назвать величиной скорое>пи изменения переменной у относительно переменной х в точке хо.
За»<«та«<, что если в точке х, существует производная 1'(хо), то, рассматривая предел средних скоростей переменной у относйтельно переменной х на отрезках !хо — Лх, х,+ Лх1(Лх ) 0), содер>кащих точку хо внутри себя в качестве центра, при стягивании их к точке хо (при Лх — 0) мы придем в пределе к тому же значени:о величины скорости переменной у относительно переменной х в точке хо, т. е. к 1'(хо). Действительно„величина средней скорости изменения переменной у относительно переменной х на отрезке 1(хо + Лх) — 1(хо — Лх) (х,— Лх, х, + Лх1 ранна о+ ) " (частному от деления изменения функшш па длину отрезка, на котором произошло это изменение), отсюда 1(.<о+ Лх) — 1(хо — Лх) Йп 2Л» =-,~ 1)щ —, + 1<т 1=1(х.).
1 Г . 1(хо+ Лх) — 1(хо) . 1(хо — Лх) — 1(хо)1 2 (Л„ЛХ Л» -о — Лх На интерпретации производной как величины скорости изменения одной величины относительно другой и основано применение производной для изучения физических явлений. Применение же дифференциала основано на том, что замена приращения функции ее дифференциалом позволяет заменить функцию линейной функцией, т. е. считать, что процесс изменения зависимой переменной «в озалом» происходит линейно относительно >аа Е 9, Проиавойьия и йи>1идврвнчип. аргумента. Иначе говоря, можно считать, что изменение функцщ; прямо пропорционально изменению аргумента или, как говорят, что упомянутый процесс «в малою> происходит равномерно При такой замене получающаяся погрешность оказывается беско. печно малой более высокого порядка, чел> приращение аргумента П р и м е р ы. !.
Пусть з = з(1) — закон движения материаль. ной точки (рис. 26); з — длина пути, отсчитываемая от некоторой начальной точки М,; 1 — время. за которое пройден путь з. Пуст> М М вЂ” положение точки в момент времени 1, а М' — в момент вре- 1 мени 1+ Л! и Лз — длина путь от точки М до М', т. е. Лх = н Ла г а(1+ Л1) — х(1). Тогда — ест> Л! рик уо то, что называется в ь>еханикт величиной средней скорости дви- Лв жения на участке от М до М', а )нп — и есть величина ско- Л>-о Л1 рости движения в точке М или, как говорят в механике, величина л>еноееннюй скорости в момент времени 1.
Таким образом, вели- ка чина мгновенной скорости и = -'. й1' По определению дифференциала йа = пд1; следовательно, дифференциал пути равен расстоянию, которое прошла бы точка за про. ме>куток времени от момента 1 до момента 1+ Л1, если бы она двигалась равномерно со сноростью, равной величине мгновенной скорости точки в момент 1.
Величина же Лз действительного переме>цення точки будет Ла = де + о(Л1). Мы видим, что с механической точки зрения замена Лз на да означает, что мы считаем движение на рассматриваемом участке равномерным (в смысле величины скоростии>) движением. 2. Пусть >! = д(1) — количество электричества, протекающес через поперечное сечение проводника за время!; Л! — некоторый промежуток времени; Лд = д(1+ Лг) — д(1) — количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента 1 до момента 1 + Л1.
Тогда — называется Лд Л! средней силой тока за промежутои времени Л! и обозначается 1,, лч а предел !нп 1,и — — (пп — называется силой тока в данный мол>-о л>-о л> ло мент времени 1 и обозначается 1. Таким образом, 1 = — ~ . "> Следует иметь в виду, что скорость — вектор и потому характеризуется по только величииой, ио и иаправлепием. 9.З. Гьривг>.ьи вн«и«ленив ороивводнмх ьзз Дифференциал дц = 1Л1 равен количеству электричества, протекшего через поперечное сечение проводника за момент времени Л1, если бы сила тока была постоянной, равной силе тока в момент 1.
Как всегла, Лд — сЩ = о(Л1). 3. Пусть лан неоднородный стержень длины 1 и пусть т=ггь(х)— масса части стержня длиьььь х, о < х ~ 1, отмеряемой от од>гого фиксированного конца (рнс. 27). Пусть Лт = гп(х + Лх) — т (х)— масса части стержня между точками, расположенными со- мггг ем Р х и х+ Лх от указанного е ,г х«ех 4 гьги конца. Величина — назыЛх рис. 27 вается средней линейной плотностью стержня на указанном участке и обозначается р„„. Ьл> Прелел 1нп реи = — 1нп — называется линейной плотностью стерж«*-о д --о ах лл> ня в данной точке и обозначается р.
Таким образом, р = —. лх ' Если плотность р не зависит от х, т. е. постоянна, то стержень называется однородным. Если вернуться к рассмотрению произвольного, вообще говоря, неоднородною стержня, то для него дифференциал йгп = рЛх равен массе однородного стержня длины Лх с постоянной плотностью р, равной плотности рассматриваемого стержня в данной точке. Мы видим иа этом прильере, что, интерпретируя производную как величину скорости, мы должны это понимать в широком смысле слова.
Например, плотность стержня тоже «скоросты> — скорость изменения массы относительно длины 9.5. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями Все функции, рассматриваемые в этом пункте, предполагаются определенными в некоторой окрестности точки хгл 1. Пусть функции уь = 1,(х) и у« = 1«(х) имеют производные е точке х„тогда их сумма Уь + У, = 1,(х) + 1,(х) также имеет е точке х, производную и (Уь+ Ув) Уь + У2 (9.15) Так>ель образом, произеоднал сумльы функций равна сумме про- изеодг«ых. й Д Производная и диСЬЧгврвнисгв» Действительно, пусть у = 1д(х)+ 1,(х), Луг =1, (х + Лх) — 1, (хо), Луа=1,(х,+Лх) — 1а(х,), тогда Лу=!1 (хо+Лх)+1а(хо+Лх)! — !1д(хо)+1а(хо)! =Лу.+Лу' Поэтому — = — + —, Лх+О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
