kudryavtsev1 (947411), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Српвнение функ»1иа Вычисление пределов 112 У1= ~ 2+ 5)п — ~ 2 — ~ ецп — ! ~ — ! = ~ 2+ 5!и — ~ < 2-!- ! з! п — ~ ( 3. Лемма. Если функции сс = а(х) и и = р (х) таковы, что а(х) ~ О, !) (х)+ О при х + хв и суи(ествуелг предел Игп — = с+ О, а (х) к к, Р(х) (8.19) то они одного порядка при х-».хге В самом деле, условие (8.19) эквивалентно (см п. 4.7) усло- виям — *=с+а,(х) и — = — +е,(х), р (х) а(х) 1 а (х) )) (х) с где Игп ет (х) = Ит е„(х) О, к к» к к» ство имеет лчесто лишь в некоторой окрестности точки х; ни о каком пределе здесь речи пет. 1 /11 ! 1 1 Например, — = 0~ — ) при х- О, нбо ~ — ~ ( — при(х)(1; х ~к») х~ к' ! /11 ! 1 1 — =0~ — ~ прн х-+со, ибо — <'~ — ~ при! Х(~~!.

Запись)(х)= к' к) хк ~ х =0(1) прн х- х, означает, по функция )(х) ограничена в не- 5)п 2х которой окрестности точки х„например — =О(1) прн х- О, 5!и 2х 51п 2к ибо Игп — =2, и, значит, функция — ограничена вокресгк о х ности точки х=О. Определение 2.

Если функции 1(х) и у(х) кие, что ).= 0(у) и У =- 0 (1) пРи х к хе, то они называюлтсЯ фУнкЦиалги одного поРЯдка при х- х,. Это понятие наиболее содержательно, когда функции 1 и у являются либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при 11 х- х,, Например, функции а = х и )) = х~2+ яп -) являются при х- О бесконечно малыми одного порядка, ибо Из 8.3. Сривкгниг функций и, следовательно, )ес(х)!(1 н )е,(х)!(1, х=рхг, в некоторой окрестности точки хс«Отсюда следует, что в указанной окрестности выполняются неравенства т.

е. р = 0(а) и а == 0(!)) при х — «х,. В качестве примера возьмем функции а=Зхг и (1=.3!п ха. р ! . Ыпкк ! Имеем 1пп — = — !пп — --= — (см. (8.1)), поэтому, согласно к. в сс 3 к в к" 3 доказанному, функции Зх' и 3!пх' одного порядка при х-« О. Определение 3. Дее функцст !'(х) и а(х), )'(х)+ О и а(х)+ О прсс х+х„называются экгигалентньсли при х- хв, если Иш — =1 к к,й(к) или, что то же, если И п! й (' ) = 1. л- кк ! (Л) Эссеиеалентносс!ь функ!(ий при х- хв бссделс обозначать след!сои!ил! образохс !" — а при х — «х„. Если ! — а при х- х, и а — Л при х- х„то и ! — й при х — «хв, (8.20) В самом деле, Игп — - == 1пп — ° !пп — =- 1. в . .. и .

.. д . „ и Из результатов и. 8.1 следует, что при х- О имеет место следующая эквивалентность бесконечно малых: х — 3! п х — (а х — агся п х — агс!а х — 1и (1+ х) — е" — 1. Из этих соотношений эквивалентности следуют и более ойцие соотношения: если и(х) — какая-либо функция, такая, что Ип!и(х)=-О, (8,21) причем и(х) ныл прн хтаО, то прн х- О и (х) — ы и и (х) — !и сс (х) — агсз!п и (х) — агс!и и (х)— — (п 11+ и (х)! — е" "— 1. (8.22) Это сразу следует из правила замены переменного для пределов функций (см.

теорему 3 п. 4.5). В В. Сроененгге фанк«ой В«тисненое оп«делов ггя Определение 4. Если а(х) = е(х)/(х), где !'ип е(х) = О, то говорят, к-ккрм что а является бесконечно малой ф!/нкг/иег! по сравнен!во с с/гонке(ией / и ггиггг!/т а = о(/) (читиепгся: «а есть о малое от /») при х-+- х„. В силу этого определения запись «а(х) = о(1) при х- хои означает просто, что функция а(х) является бесконечно малой при х- х,.

Если /(х) + О при х---/= х„, то условие а=в/, !пни=О, к кк (8.23) можно переписать в виде Ит — = О. к х, / (8.24) Таким образом, функция о (/) при х- х„ /(х) + О прн х Ф х„, может быть определена как такая функция, что !пп — =- О. о(Л к кк / (8 25) В случае, если функция / является бесконечно малой при х-ь х„ то говорят, что при х-нхо функция а е/, где Ип! а =О к кк является бесконечно малой более высокого порядка, чем /.

Например, х« =- о (ей и х') при х -н О, ибо хз хк !нп — = Итх Ит —, =О ° 1=0. к ОБ!их к о к о «гих ! г ! Подобным образом — ==о г1 — /1 и х=о(х') при х-+ оо. хк 'ук Отметим, что если /=о(я) при х-+хо. то и подавно /=0(о) при х-+хо; в самом деле, пусть /=вй, где И!не=О, тогда функк к„ ция е =в(х) ограничена в некоторой окрестности гочки хо (см. п. 4.6): (е(х)! (с, к+ х„и, значит, !/(х)) < с(я(х)~ в указанной окрестности точки х„гто и означает /=0(д). у и р а нг и е и и е !.

Пусть !! = 0 !и«! ири х ко, ! ии а = О, тогди р=-о (а! ири х хо к к, а, =-о((3), х-ьх„ аи —— о(р), х-ьхи, При использовании равенств с символами О и о следует иметь в виду, что этн равенства не являются равенствами в обычном смысле этого слова. Так, если В.2 спаммнае 4>кекчиа то было бы ошибкой сделать отсюда заключение, что а, = а„как это было бы справедливо для обычных равенств.

Например, ха = о (х) и х' =- о (х) прн х -+ О, но х' + х". Подобным образом, если имеется равенство вида 1+ о(1) = — д+ о(1) при х-~- х„ то было бы ошибкой сделать заключение, что 1 = 1х Дело состоит в том, что олин и тот же символ 0(1) или о(1) может обозначать разные конкретные функции.

Это обстоятельство связано с тем, что прн определении символов 0(0 и о(1) мы, по существу, авели целые классы функций, обладающих определенными свойствами (класс функций, ограниченных в некоторой окрестности точки х, по сравнению с функцией 1, и класс функций, бесконечно малых по сравнению с функцией 1 при х — х,), н было бы правильнее писать не а = 0(1) и а = оО), а соответственно а ( 0(1) и а ~ о(1). Однако это привело бы к существенному усложнению н большим неудобствам при проведении вычислений с формулами, в которых встречаются символы 0 и о.

Поэтому мы сохраним прежнюю запись а = 0(1) и а = о(1), но при этом эти равенства будем всегда читать, в согласии со сделанными определениями, только в одну сторону: слева направо (если, конечно„ не оговорено что-либо другое). Например, запись а=о(1), х-~х„ означает, что функция а является бесконечно малой по сравнению с функцией 1 прн х- х„но отнюдь не то, что всякая бесконечно малая по сравнению с 1 функция равна п. В качестве примера па обращение с этими символами докажем равенство о (с() =- о (1), (8.28) где с — постоянная. Согласно сказанному, нам надо показать, что, если и = о(с1), то д = о(1). действительно, если и = о(с1), то д =- ес1, гле !пп а(х) = О.

Положим е, = се, тогда д = е,1, где, очевидно, х к, Вгп еч(х) =- О н, значит, и = о(1). К Кр Равенство (8.28) доказано. В заключение отметим, что сказанное об использовании символов о н О, конечно, не исключает того, что отдельные формулы с этими символами могут оказаться справедливыми не только прн чтении их слева направо, но и справа налево; так, формула (8.26) при предполомсепкн с+ О справедлива и при чтении справа налево.

Ь В Ороянение <Ьункяи<1 Вычисление лределоя 11Ь У и р а я< и е н и я. 2. доказать, что х - хе, то при х ке о(ах) = о<а) о(с<) ° О(с<) =я(ак), о(а) + о(а) = о(а), если а — йескон чио малан при а о <а) = о <ак]„ о (а + ак) = о (а), о'(а! =о(а'). 3. Пусть!<гп /(<) =и, яр«чем /(О ~о при < фЬ в некоторой окрестности <-ь точки < = ь. Тогда, если <р(х) = о [Ь(х)1 при х и, то ч<[/(О)= о [Ь[/(<)!) при < -е Ь; а если<р(х) = О[О(х)1 при х и, тиф[/(<)1=0[га!/(1)1) при < Ь. 8.3. Эквивалентные функции Теорса<а 1. Для того чтобы две флис«ии /==/(х)и й=-й(х), /(х) та О, к(х)ФО при хчьх„были эявнвалентными при х-+.х„необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хоть одно из услови<1 И вЂ” /=о(/) (8.27) или й — /=- о(0). (8.28) Доказательство необходимости условий (827) и (8.28).

Пусть 1пп — — 1. тогда Ит <(1 — — /1 = О, откуда < / к х, г ««И 1пп и — <- =О, т. е. (см. (8.25)) и — /=о(и). Аналогично из услох «О й вия !пп — = 1 получается и — /= о(/). И х х« Д о к а з а т е л ь с т в о д о с т а т о ч н о с т и у с л о в и й (8.27) и (8.28). Пусть, например, д — / о(и), т. е. выполнено условие (8.28), тстда 1 — — =- — и 1нп — =- И<п <(! — — /1 = / о(я) . / . г о(я) Я к х« и к к« И =1 — 1цп — и- = 1 (см (8.25 ). Аналогично доказывается достаточо() х»х, ность условия (8.27).

Отметим, что из выполнения одного из условий (8.27) или (8,28) следует выполнение другого. Если, например, выполнено условие (8.27), то в силу теоремы 1 функции / и д зквивалентны при х- х„и, значит, в силу той н<е теоремы выполняется условие (8.28). Аналогично доказывается, что из условия (8.28) следует условие (8. 27). С л е д с т в и е. //усть 1! п — = с + О, где с — постоянная, <пог- И х «« / да и — с/ ид=с/+о(о при х-<-хо. 8.4. Метод наделения елооноа части функции 117 До к а з а тел ь с т во.

Если Ип! — =с+ О, то 1пп — = — 1, и, и ° а 1 .. „е1 значит, а — с1 при х- х,. Отсюда по теореме 1 имеем у=с(+о(с(), а значит (см. конец п. 8.2), а = с1+ о(1). ТеоРема 2. !!деть 1 — 1! и и — а! пРи х-«ха. Тогда если существует )пп —, то существует и Игп —, причем 6 1 л "кк а! к-к и !пп — = )пп — . И (8.29) «-к, а к «б а! До к а з а тел ь ство. На основании теоремы 1 имеем 1= 1, + о(1,) на= а! + о(д!) пРи х — «хо, поэтомУ, пРименЯЯ теоРему о произведении пределов, получаем 1+— о (1,1 Итп — =- 1пп 1!+о(1!) ° 1! 1! = Ип! к- к а х хк а!+о(ад х хк а! о(ад !+— а! о (1,) +— И й = )пп— + о (а!) х ке а! а! 1 = Игп — Итп й к к,а! х хк Теорема доказана. Поскольку обе части равенства (8.29) равноправны, то из доказанной теоремы следует, что предел, стоящий в левой части, существует тогда и только тогда, когда существует предел в правой части, причем в случае их существования онн совпадают.

Это делает очень удобным примеаение теоремы 2 на практике: ее можно использовать для вычисления пределов, не зная заранее, существует или нет рассматриваемый предел. У и р а тане н не 4. Локааать рааенстао (8.29), а случае когда 1(к) !!и! — раасн оо, + оо нлн — оо. «! а (х) 8.4. Метод выделения главной части функции. Применение к вычислению пределов Пусть () — бесконечно малая при х-ч- хте Если !) представима в виде () = а + о(о), где и — также бесконечно малая при х — х„то бесконечно малая и называется главиой частью бесконечно малой )3. Если задана бесконечно малая (1, то только по ней самой ее главная часть не определяется однозначно.

Характеристики

Список файлов книги