kudryavtsev1 (947411), страница 76
Текст из файла (страница 76)
упражнение 1 в п. 33.1 и замечание после него), при этих предположениях существование предела (34.6) эквивалентно интегрируемости по Риману функции / на отрезке [а, 6[ (в точке 6 функция 1 доопределяется произвольным образом). Если предел 1!пт )(х)дх, а<. т[(Ь Ч-ьа авен оо, + оо или — оо, то соответственно пишут ь ь ь ) 7(х) дх = оо, ) [(х) дх = + оо или ) ! (х) йх = — оо. [ 7 (х) дх = г (+ оо) — г (а), а (34,7) В пункте 33.2 формулы интегрального исчисления с помощью определения (34.6) при конечном Ь обобщались на случай несобственных интегралов от неограниченных функций, Таким же точно образом указанные формулы с помощью определения (34.6), но уже при Ь = +со л1огут быть перенесены и на случай интегралов вида (34.2).
В частности, справедливы, например, следующие утверждения я. 1. Пусть функция ! непрерывна при х > а и пусть р — какая- либо первообразная функции / на полупрялюй х > а, тогда 4ВЗ За.2. Формулы интегрального игаигленил где Е(+ оо)= 1[пг Р(х), к +. причем обе часггги равенства (34.7) одновременно имеют смысл или нет. +ьь 2. Если ) ['(х) йх сходится и Й вЂ” число, то интеграл а ,[ Й['(х) йх также сходится и а + + ) Й7(х)йх=Й ) 7(х)йх.
3. Если интегралы ) 7(х)йх и ) д(х)йх сходятся, то а а [[(х)+д(х)[йх скодится и а ~ Д (х) + д (х) [йх = ~ 7 (х) йх + ~ д (х) йх. 4. Если функции и„о непрерывно дифференцируемы на полу- прямой х ) а, тпо +а +со ) ийо=ио~[, — ) ойи, а а + +О~ + причем если любые два из выражений ) ийо, ио ( и ') ойгг а а илгеют смысл, то имеет смысл и оставшееся. 5. Пусть функция 7 непрерывна при х - а, функция г[(г) определена и непрерывна вместе со своей производной на полуинтервале [а, [г), и < [[ < + оо, причем а = тгг(а) тгг(г) к,.
(11пг г[(1) =- + о, тпогда +. Р ~ [ (х) йх = ~ Р [гу (К)[ чг' (1) о[1. (34.8) При впюм оба интеграла в формуле (34.8) одновременно суи[ествуют или нет. б ач Песпбственныв интегралы с бесконечными пределами Отметим, что всякий несобственный интеграл ) ) (х) г(х, — к. а ( Ь ч" + о, а Ы+а а — и '- ~+) ° "- (~+1)г "' (34.9) получим ~ ) (х) с(х = (с — и) ~ ) ~, + 1 ) (1 + 1).
° Г О Отсюда следует, что прн выполнении условий, обеспечивающих возможность замены переменной (34.9), всякое утверждение для несобственных интегралов от неограниченных функций по конечному отрезку может быть перефразнровано в утверждение для несобственных интегралов по неограниченным промежуткам, и наоборот. П р н и е р ы. !. Вычислить интеграл 1 Делая замену переменного х= —, получим 2. Пусть 1„= ~ х" е — кг(х. Интегрируя по частям, получим + +ю 1+ г„= ~ хп е —" с(х = — х" е-" ~ „+ л ~ х"- ' е — ' с)х = от неограниченной функции ) может быть заменой переменной све- ден к несобственному интегралу по неограниченному промежутку. Действительно, делая, например, замену переьсенных ЗАЛ.
Нееабетвенние сснтегяали ат неатлицательнььт сссССнксСсса Замечая. что + !+ е — кс(х е — к О окончательно имеем с'„=. и! 34.3. стесобственные интегралы с бесконечными пределами от неотрицательных функций Для указанных в заглавии интегралов справедливы теоремы, аналогичные теоремам, доказанным в п. ЗЗ.З, для несобственных интегралов от неотрицательных неограниченных функций. Теорема 1. ссусспь функция / определена и неотрицательна для х > а и интегрируема по Римнну на любом опсреаке (а,т~), + а < т) < +со. Для того чпюбы несобственныб инпсеграл ') с(х) дх сходился, необходимо сс достаточно, чппобы исипегралы ч ~ ~ (х) ссх, а < т( «+ оо, были бы ограничены в совокупноспш, причелс в ганом случае ч + эпр ~ ((х) дх= ) )-(х) с(х.
тс Условне ограниченности интегралов ~ ((х) с(х при Ч н а равносильно условию ограниченности этих интегралов при т) .е а', где а' .- а. В самом деле, в силу неотрицательности функции (, если а<тих<а', то а' ~ )(х)с(х < ~)(х)асх, а а тс т. е. чнтсгралы ) ((х)ссх, а(т((а', всегда ограничены. 4ай 4 Н. Несобственные ингег)голы с аегконеенасии аггеделоесо Заметим еше, что в случае, если интеграл от неотрицательной функции ) расходится, тс в силу монотонного возрастания функции г (г)) = 1 1( ) дх ее продел прн П вЂ” +во равен +со, поэтому, согласно сделанному в и.
34.2 соглашению„в этом случае ) (х)с1х=+ оо. а В дальнейшем в этом пункте будем предполагать, что функции и д определены и неотрицагельны при х>а и интегрируемы по Римаггу на лгобом о т р е з к е (а, г)1, а < ч < +со Теорема 2 (признак сравнения). Пусть ~(х)=(?((г(х)) прп х- -(-ооа), +« ч тогда, если интеграл 1 д(х) с(х сходится, то сходится и ~ 1(х)г(х, а а а если интеграл ) 1(х) с(х расходится, то расходится и итпе- грал ) д(х) дх. Следствие. Лусогь у(х)+ О и 1!гп . (х) =й, а (х) тогда: +а 1) если интеграл ) д(х)дх сходится и О < й<-)-оо, то а интеграл ~ 1(х) дх также схог?ится; о е 2) если интеграл 1 д(х) с(х расходится и О <й <+ оо, то +« интеграл ) 1(х) дх также расходится.
а г В часа ности, если ) (х) н а (х). ИЛ Несобственные интеграла т нетрш1ительних Функций В частности, если ) — 8 (см. п. 8.3), пто интегралы +с +сю г(х)дх и 1е )(х)дх сходяп1ся или расходтпся одноврел1енно. Осе эти теоремы доказываются совершенно аналогично теоремам п. 33.3. Если в теореме 2 и ее следствии в качестве фу'нкции сравнения о(х) взять функцию д(х)= —, а~О, 1 то получится след)юшая теорема. Теорема 3. Пусть 1(х) > 0 при х > а) О. Тогда если 1(х)=-О~ — ), х- +со, и ~1, т! л то шапеграл ) 1(х)с1х (34.10) сходипгся, если втсе — =0()(х)), х — +со сс се<1, ! хи то интеграл (34.!0) расходится.
Следстви е. Пусть О Ш Х11 ) (Х) =- (г, 1(х) то инп1еграл (34.10) сходсипся при и > 1 и расходится при тх (1. Г1 р и ки е р ы. 1. Интеграл 1 сходится. тогда: 1) если а(1 и 0(А<+ оь, то интеграл (34.10) расходится: 2) если а ) 1 и 0 < 11 ( + оь, то интеграл (34.10) сходится. В частпности, если 4 а4 Несабесненнме ингеепакн е аеенанежьмса ииеделалил Действительно, возьмем се== — — е, е ~ О, тогда з л г к !ил !и к (пп л-4 л 3 2 — — е)1, Ю вЂ” !пп — = О.
(34.12) ек 1нп Выберем а так, чтобы тогда интеграл (34.13) ;ходится, а значит, в силу следствия теоремы 3 сходится и интеграл (34.11). В случае, когда сразу не ясен порядок подынтегральной функ- а пи~, следует попытаться выделить ее главную часть в виде (с и а — постоянные), прибегнув, например, к формуле Тейлора. 2. Исследуем сходимость интеграла 1п сил— с(х. ка Здесь подынтегральная функпия всюду отрппательна. Очевидно, интеграл (34.14) сходится или расходится одновременно с интег- ралом 10 1 1и сил— — — с(х, ! «а у которого подынтегральная функция всаоду положительна.
1 Раскладывая функцию !п соз — по формуле Тейлора, получим л (34. 15) 1 !п сик— к" ка Таким образом, 1п син 1 к 1 при х-и лг со, кл акт-!-а и, значит, интеграл (34.14) сходится при 2+ р > 1, т. е. при ре — 1, и расходится при р . — 1. ЗИ. Крггтертт Когии Лбсолютно сходяагиеся несобстееннне интегралы 469 34.4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы с бесконечными пределами.
Метод улучшения сходимости интегралов Будем снова предполагать, что функция / определена для всех х > а и янтегрируема по Рнмапу па снобом отрезке 1а, Ц, а 9~+со. Теорема 4 (критерий Коши). Для того чтаобы инагеграл ~ /(х)с(х а (34 16) был сходни(ил!ля, необходимо и достаточно, чтобы для любого е и О суи(есглеиеало такое число Ь = Ь(в) > а, что если Ь' > Ь и Ь" > Ь, то (рис. 111) л" ~~ /(х) дх1(в.
5 и е" л Эта теорема, подобно соот- Рис, Ш зетствующей теореме из и. 33.4, .разу следует из критерия Коши существования предела при ~1-и-! оо у фушстши р(т)) = /(х)дх, т! > а, !!тп тр(т!) = ~ /(х)с(х 12-+ и 1гр(т!") — тр(т!')) =- Ц /(х)с/х ~. и Определение !. Интеграл (34.!6) назыыгегггсн абсоглиоягно схо!ягг(ггмич если сходится ингиегйал + ) (/(х)1с/х. (34. ! 7) Как всегда, здесь предполагается, что фупхппя / пнтегрнруема !о Риману на любом отрезке 1и, й), где й > и. 4 гб Нигсбственньм ингеграьи с бегхьнечныяь чрегелаяи Критерии сходимости интегралов от неотрицательных функций, очевидно, применимы также и в качестве критериев абсолютной сходимости интегралов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
